八上全等三角形证明方法归纳经典

1、【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做 对应顶点，互相重合的边叫 对应边，互相重合的角叫对应角。概念深入理解:(1 )形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。(外观长的像)(2 )经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(位置变化)2、全等三角形的表示方法：若 ABC和 A B是;全等的，记作“ ABC A B'”C'其中，“也”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质:全等是工具、手段，最终是为

2、了得到边等或角等，从而解决某些问题。(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。(2)全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。(3 )全等三角形周长，面积相等。4、寻找对应元素的方法(1 )根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边 是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此, 由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2 )根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;可以看出其中一个是由另一个3 ）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角

3、形各种不同位置关系的观察和分析，经过下列各种运动而形成的;运动一般有 3 种：平移、对称、旋转;5 、全等三角形的判定：深入理解）边边边（SSS）边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）斜边，直角边（HL)注意：（容易出错）1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）AAA ;有两边和其中一角（2 ）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即对应相等，即 SSA 。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。 在平面几何知识应用中， 若证明线段相等或角相等， 或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知识。6 、

4、常见辅助线写法： （照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如： 过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D延长AB至C,使BC = AC在 AB上截取 AC,使 AC = DE作/ ABC的平分线，交 AC于D取AB中点C,连接CD交EF于G点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。【第2部分中点条件的运用】1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识:B，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这B把一个图形绕着某一个点旋转180两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。 这两个图形中的

5、对应点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质:（1）关于中心对称的两个图形， 对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。（2 ）关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形所以遇到中点问题，依托中点借助辅线段本身就是中心对称图形 ，中点就是它的对称中心,助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。例1、AD是 ABC中BC边上的中线,若AB 2，AC 4，则AD的取值范围是例2、已知在 ABC中，A

6、D是BC边上的中线,AF EF，求证：AC BE。例3、如图,的中线。求证：AC=2AED 是 ABC 的边 BC 上的点，且 CD=AB , / ADB= / BAD , AE 是 ABD例 4 ABCSvBOCSVCOA SvAOB中，AD、BE、CF是三边对应中线。（则0为重心）求证：AD、BE、CF交于点0。（类倍长中线）；练习求证：AB AC1、在ABC中，D为BC边上的点，已知 / BAD / CAD , BD CD ,2、如图，已知四边形 ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点,CD延长线交于 E、F，求证/ BEM/ CFM延长MN与AB、DE=2AM3、如图，AB=

7、AE , AB 丄 AE , AD=AC,AD丄AC，点M为BC的中点，求证:（基本型：同角或等角的补角相等、K型）D2、两条平行线间线段的中点（八字型”全等）如图，li / I2 , C是线段AB的中点，那么过点 C的任何直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等 I1/ 12例1已知梯形 ABCD，AD/ BC,点E是AB的中点，连接 DE、CE。已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且 / ABD / ACE=90 °，连接DE，设M为八1求证：SVDEC2 SBaBCD如图，在平行四边形 ABCD中，AD=2AB , M是AD的中点，CE丄AB于点E,/ CEM=40D

8、E的中点。求证:MB MC ;设/ BAD / CAE，固定 Rt ABD，让 Rt ACEMB MC是否成立？请证明你的结论。移至图示位置，此时EE，求/ DME的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）练习1、已知：如图，梯形 ABCD中，AD / BC , / ABC=90 .若BD=BC , F是CD的中点，试问：/ BAF与/ BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明;(1)求证:MD=ME2、Rt ABC 中，/ BAC=90 ° , M 为 BC 的中点，过 点D，过C作CE I于点E。(结合前面“8字型”全等，仔细思考)E3、如图(1 ),在正方形 AB

9、CD和正方形 CGEF ( CG > BC)中，点 B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，(1 )探究线段 MD、MF的位置及数量关系，并证明;(2 )将图(1)中的正方形 CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形 CGEF的对角线CE恰好(1 )中得到的两个与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。3、构造中位线三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开,三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而

10、三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。1（全等法）在 ABC中，D、E分别是 AB、AC边的中点，证明： DE / BC, DE= BC2证明：延长 DE至F点，使DE=EF，连接CF （倍长中线）AF三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来,将题目给出的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、求证：四边形 EFGH是平行四边形。DG已知四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且 AC=BD ,M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.练习你能

11、说出0E与OF的大小关系并加以证明吗?1、三角形ABC中，AD是/ BAC的角平分线,CBD丄AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果 AB=6 , AC=14，求DE的长。2、AB / CD , BC / AD , DE 丄 BE,DF=EF，甲从B出发，沿着 BA->AD->DF 的方向运动，乙B出发，沿着BC->CE->EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达 F点?3、等腰Rt ABC与等腰Rt CDE中，/ ACB= / EDC=90 °，连 AE、BE，点 M 为 BE的中点，连DM 。(1 )当D点在BC上时,求一的值

12、AE(2 )当 CDE绕点C顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明4、 ABC、 CEF都为等腰直角三角形，当E、F 在 AC、BC 上，/ ACB=90 ° ，连 BE、AF，点M、N分别为AF、BE的中点(1 ) MN与AE的数量关系(2 )将 CEF绕C点顺时针旋转一个锐角,MN与AE的数量关系4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形如图， ABC中，E为BC边的中点，那么显然 ABE和AEC有相同的高AD，底边也相等，故面积相等。例 E、F是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连 AF、CE交于点G,S四边形A

13、GCDS矩形ABCD扩展 如图，等腰 Rt ACD与Rt ABC组成一个四边形 ABCD , AC=4，对角线BD把四边形ABCD分成了二部分，求 SVABD SVBcD的值。【5、等腰三角形中的三线合一 ”A三线合一 ”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极 为亲密的关系。例 ABC 中，AB=AC ，BD 丄 AC 于 D，问/ CBD 和/ BAC的关系?转为同类三角形。分析：/ CBD和/BAC分别位于不同类型的三角形中，可以考虑例 在 ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，点 M 为 BC 中点,MN丄AC于点N，贝U MN=【6、直角三角形斜边上的中

14、线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中 点的一些知识。例 如图Rt ABC中，/ ACD=90 , CD为斜边AB上的中线1求证：CD= AB2(1 )利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段的二个端点的距离相等。取AC的中点E,连接DE。则DE / BC （中位线性质）Q / ACB=90 °BC 丄 AC ,DE 丄 AC则DE是线段AC的垂直平分线AD=CD（2 ）全等法，证法略。例 在三角形 ABC中，AD是三角形的高，点 D是垂足，点 E、AC的中点，求证：四边形 EFGD是等腰梯形。C练习 1、在 Rt ABC

15、 中，/ A=90°, AC=AB , M、N 分别在O为斜边BC的中点。试判断 OMN的形状,AC、 AB 上，且 AN=BM 。并说明理由。C2、 ABC 中,/ A=90 ° , D是BC的中点，DE丄DF。求证：BE2 CF2 EF2（集散思想）C3、 ABC 中,AB=AC，点 D 在 BC 上，E 在 ABAD、BE、BC的中点(1 )若/ BAC=90，贝U / PMN=，并证明(2)若/ BAC=60，贝U / PMN=上，且【中点问题练习题】请解答下列问题:1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.(1)写出一个你所学过的特殊四边形

16、中是等邻角四边形的图形的名称;(2)如图1，在 ABC中，AB=AC，点D在BC上，且 CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G .求证：四边形 AGEC是等邻角四边形;(3 )如图2，若点D在 ABC的内部，(2)中的其他条件不变，EF与CD交于点H，是否存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由.CC2、已知： ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/ ABC= / ADE=90，点M是CE的中点，连接BM(1 )如图，点D在AB上，连接 DM，并延长 DM交BC于点N，可探究得出 BD与BM的数量关系为，写出证明过程。(2 )如图，

17、点D不在AB上，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。C3、在AOB中，AB=OB=2 , COD 中，CD=OC=3 , / ABO= / DCO .连接 AD、BC ,P分别为OA、OD、BC的中点.若 A、O、C三点在同一直线上,/ ABO=60 ，则PMN的形状是，此时ADBCE点作EF丄BD交BC于4、已知：如图，正方形ABCD中，E为对角线 BD上一点,F，连接DF , G为DF 中点，连接EG , CG .(1 )求证：EG=CG ;中点G ,连接EG , CG .问(2 )将图中 BEF绕B点逆时针旋转450 ,如图所示，取DF(1 )中的结论是否仍然

18、成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3 )将图中 BEF绕B点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问(1 )中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均要求证明)全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例 1、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,于E,求证：F是BE上一点，且BF=CEFK/ AB.例2、(1) D为AC的中点，连BD,过A点作AE1 BD于E点，交BC于F点，连DF,求证：/ ADB= / CDF(2) 若D, M为AC上的三等分点，如图 2，连BD过A

19、作AE丄BD于点E,交BC于点F,连 MF判断/ ADB与/ CMF的大小关系并证明.如图 1 , ABC中，/ BAC=90 , BA=AC例3、求证:如图，在 ABC中，/ C=90 ° , M为AB的中点，DM丄AB , CD平分/ ACB ,MD=AM .A例4、为边在AD的右侧作正方形 ADEF，连接CF.(1 )若 AB=AC , / BAC=90。那么如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是 接写出结论)在 ABC中，/ ACB为锐角，动点 D (异于点B)在射线BC上，连接 AD，以AD(直如图二，当点 D在线段BC的延长上时，中的结论是否仍

20、然成立？请说明理由.(2)若AB丰AC，/ BAC丰90°.点D在线段BC上，那么当/ ACB等于多少度时？线段例5、如图所示，已知 A, B为直线I上两点，点C为直线I上方一动点， 分别以AG BC为直角边向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE满足/ CAD=/ CBE=90，过点D作DD丄I于点D,过点E作EE丄I于点E.(1) 如图，当点(2) 在图中，当 数量关系，并说明理由.E恰好在直线I上时，试说明 DD=AB;D, E两点都在直线I的上方时，试探求三条线段圉AC BC,DD, EE, AB之间的Sa山b),且 a、b 满足 JO4 14FA=FC ;BE交x例

21、6、如图1,已知点A (a, 0),点B (0,(1) 求A、B两点的坐标；,过点A作AD丄OC于点F,求证:(2) 若点C是第一象限内一点，且/ OCB=45(3) 如图2，若点D的坐标为(0, 1),过点A作AE丄AD，且AE=AD，连接 轴于点G,求G点的坐标.巩固:1、如图，已知/ BAC=90 ° , AD丄BC于点D, / 1 = / 2, EF II BC交AC于点F.试说明AE=CF .2、如图， ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC且平分BC , DE丄AB于E, DF丄AC于F.(1) 说明BE=CF的理由；(2) 如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE

22、 的长.第2题图EA=EC。舞3趣圏3、如图， ABC中，AC=2AB , AD平分/ BAC交BC于D , E是AD上一点，且 求证：EB丄AB .M , MN 丄 AC 于 N, AQ=MN . AP=AM ;PC=AN .第4题圜4、如图，在 ABC 中，/ ACB=90 °, P 为 AC 上一点，PQ 丄 AB 于 Q, AM 丄 AB 交 BP 的延长线于(1) 求证：(2) 求证：5、如图， ABC内，/ BAC=60 , / ACB=40 , P, Q分别在 BC, CA上，并且 AP, BQ分别 是/ BAC/ ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+B P6、将两

23、个全等的直角三角形 ABC和DBE按图(1)/ A= / D=30。，点E落在AB 上, DE所在直线交 AC所在直线于点(1) 求证：CF=EF ;(2) 若将图(1) 不变，如图(2). 或“=”或“<”)(3) 若将图(1) 条件不变，如图(F.中的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角 a,且0° 请你直接写出 AF+EF与DE的大小关系：AF+EF中 DBE的绕点3).请你写出此时< av 60DE，其他条件.(填“>”B按顺时针方向旋转角B,且 60°<3<AF、EF与DE之间的关系，并加以证明.180 °，其他7、如图，在平面

24、直角坐标系中，点B (-5, 0),C (2, 0) , BD丄AC于D且交y轴于E,连接CE. (1 )求 ABC的面积；O为坐标原点， ABC的三点坐标分别为A ( 0, 5),(2 )求需的值及 ACE的面积.第T题图8、如图1,在平面直角坐标系中，点 A (4, 4),点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16 .(1) / COA的值为 ;(2) 求/ CAB的度数；(3) 如图2,点M、N分别是x轴正半轴及射线 OA上一点，且OH丄MN的延长线于H , 满足/ HON= / NMO ,请探究两条线段 MN、OH之间的数量关系，并给出证明.09、在平面直角坐标系中，点(1)(2)(3) 案).10、已知，在 ABC 中，CA=CB , CA、 在直线 AC、BC 上,/ MON= / A=45 °(1) 如图1,若点M、N分别在边AC、(2) 如图2,若点 M在边AC上，点N 的数量关系，请写出你的结论(不要求证明)CB的垂直平分线的交点 0在AB上，M、NBC 上，求证：CN+MN=AM ;在BC边的延长线上，试猜想分别之间CN、MN、AM圏1图2第1CI趣凰A( 2，0)，点 B( 0，3)和点 C( 0.2);请写出OB的长度：OB= ;如图：若点 D在x轴上，且点 D的