复变函数模拟题二解答VIP

1、第二章部分习题解答1试证下列函数在z 平面上任何点都不解析。（ 1） f zx y（2） f zRe z 。u1u1,vv（1）xy0,0，知 f z 在 z 平面上任何点都不解析。证，xyu1uvv0（2）xxyz 在 z 平面上任何点都不解析。， y， 知 f2下列函数何处可导？何处解析？（ 1） f z xy2 i x2y解（1）由于uy 2u2xyv2xyvx2，yx， y， x在z平面 上处 处连 续， 且当 且仅当z=0时， u v 才满足C-R条件，故,fz xy 2i x2 y 仅在点 z0 处可导，在 z 平面处处不解析。3证明：如果函数 fzuiv 在区域 D 内解析，并满

2、足下列条件之一，那么 f z是常数。(1)在 内；(2) f z 在 D内解析。(3) | f z |在 D内是一个常数。解（1）的证明 由于，故由引理得, 根据条件即有。于是恒为常数 ,即在内恒为常数。（ 2） 若 f z u iv uiv 在区域 D内解析，则uvvuvuxyy ，yxx又 fz u iv 在区域 D内解析，则uvuvxy ， yx1 / 7结合（ 1）、（ 2）两式，有uuvv0xyxvy，故 u, v 在 D 内均为常数，分别记之为u1 C1 , u2C2 C1,C2为实常数，则f zuivC1iC 2C 为一复常数。（3）若 |f z |在 D内为一常数，记为 C1，

3、则 u 2v2C12，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得2uu2vv0xx2uu2vv0yy由于 f z 在 D内解析，满足 C-R条件uv ,uvxyyx代入上式又可写得uvu0uyxv uuu0xyuv0vv0解 得 xy。同 理， 可解 得 x vy故 u,v 均 为常 数， 分别 记为u C1 , vC 2 ，则 fzuiv C1 iC 2C 为一复常数。4如果 fzui v 是一解析函数，试证：i f z 也是解析函数。证 （1） f zu i v, f zu i v, i f zv i u ,i f zv i ui ,u i vi f z ,可知 i f z 为一解析函数。5证明

4、：柯西 - 黎曼方程的极坐标形式是u1 vv1 urr， rr2 / 7证令 xr cos, y r sin ，利用复合函数求导法则和u ,v 满足 C-R条件，得uu cosu sinrxyvvr sinvuuuxr cosr sinr cosrryyxu1 v即rr。又uur sinu r cosxyvvvuurcossincossinxyyx1u r cosu r sin1uryxr总之，有u1vv1urr， rr。6设 zxiy ，试求1（ 1） | ei 2 z |（2） | ez2Re ez|（3）解 （1） | ei 2 z | | ei 2x i 2 xy | | e 2 x

5、i 1 2 y | e 2xez 2e x i y 2ex2 y2 i 2 xyex2 y 2（2）1（3） Re e z 1x iyxyRe e x2 y2Re e x 2 y2Re e x iy e i x 2 y2xyyRe e x2 y2cos2y2i sin2y2xx3 / 7xyex 2y2cos2y2x7. 下列关系是否正确？（ 1） ezez ；（2） coszcosz ；（3） sin z sin z解（ 1） ezex (cos y i sin y)ex (cos yi sin y)ex i yezcoszei ze i z1i zei z1i zi zcos z2eee（

6、2）22。（3）sin z1ei ze i z1ei ze i z1(e i zei z )2i2i2i1ei ze i zsin z= 2i。试证：对任意的复数 z 及整数 m有ez mmze8证 对任意的复数 z，当 m 为自然数时，zmzzzemzeeee当 m0 时，m 个z010zee 。当 mn n为自然数 时，zmz n11nzmzeeez nenzee9找出下列方程的全部解。（ 1） 1 ez0 ；（2） sin z cos z0解（ 1）原方程等价于 ez1，于是它的解为：z Ln 1 ln | 1| i arg 1 2ki 1 2kk 0, 1, 2,（2）由于sin zc

7、os,ei ze i z1i zei z2i2e，故2 i z12i z1ei e4 / 7e2 i z1i1iz11i11ln |i | i arg i 2kLn1iLni2i2i2 ii2kk10, 1,2,2 i2, k410设 zre i，试证Re ln z11ln 1r 22r cos2证由于ln z1ln rei1 ln r cosi r sin1lnr cos2r 2 sin2i arg r cos1 i r sin11 lnr 212r cosi arg r cos1i r sin2故Re ln z11 ln 1r 22r cos211求 3i和 1ii的值。解： 3ieLn

8、3ei ln 3i arg3 2 ke 2 k ei ln 3e 2kcosln 3i sin ln 3 ,k0, 1,2,1 i ieLn1 ieiln|1 i|i arg 1 i 2kln 22 k12 kcos ln 2i sin ln 2i244ee， k0, 1, 2,2212若函数 f ( z) 在上半 z 平面内解析，试证函数 fz 在下半 z 平面内解析。证 1对于任意的下半 z 平面上的一点 z 。则点 z 是上半 z 平面上的点，f ( z)u( x, y)i v( x, y),则f ( z)u(x,y)i v( x,y) .若 f (z) 解析，则 u, v 满足 C-R

9、条件：5 / 7uvuvxyyx因此对于 Im z0 内的任一点 zxi y , 有u( x,y)v( x, y)v(x, y)y v( x,y)( y)y(y)yxu( x,y)v(x, y)( y)u(x,y)v( x,y)v( x,y)xy( y)y( y)x上述两式表明f (z) 的实部、虚部在Im z0内满足 CR 条件，显然u( x, y) 与v( x, y) 在 Im z0 内可微，故函数 f ( z) 在 Im z0 内处处解析。证 2 令 g( z)f ( z) ，对于 Im z0 内的任一点 z0，则 z0属于 Im z0 内的点，注意到 f ( z) 在 Im z 0 内解析，于是有limg( z) g( z0 )f ( z)f ( z0 )zz0limzz0zz0z z0f ( z) f ( z0 )f '( z0 )limzz0z z0即 g (z)f (z) 在点 z0 处可导，且 g'( z0 )f ( z0 ) 由点 z0 的任意性，知 f (z0 ) 在 Im z0 内处处解析。13 在 w u x, yi v x, y里，将 zx i y