利用导数证明不等式的两种通法讲课稿

1、精品文档利用导数证明不等式的两种通法吉林省长春市东北师范大学附属实验学校金钟植岳海学利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法， 即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总 结。一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x) g(x) ( f(x) g(x)的问题转化为证明f(x) g(x) 0( f(x) g(x) 0),进而构造辅助函数 h(x) f(x) g(x),然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数 h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。例 1 已知 x (0,),求

2、证：sinx x tanx2分析：欲证sinx x tanx ,只需证函数f(x) sin x x和g(x) x tan x在(0,)上2单调递减即可。证明：令 f(x) sin x x ,其中 x (0,)2/则 f (x) cosx 1 ,而 x (0,)cosx 1 cosx 1 0所以 f (x) sinx x 在(0,)上单调递减，即 f (x) sinx x f (0) 02所以sin x x ；令 g(x) x tanx ,其中 x (0,)2i/1则 g (x) 1 tan x 0 ,所以 g(x) x tan x 在(0,一)上单倜递减，cos x2即 g(x) x tan

3、x g(0) 0所以x tanx。综上所述，sin x x tanx评注：证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为0,然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性，本例也可以构造辅助函数为在(0,一)上是单调递增2的函数(如：利用h(x) x sinx在(0,一)上是单调递增来证明不等式sinx x),另外不2等式证明时，区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值(比如此例中的f(0)也可以 不是0,而是便于放大的正数也可以)。因此例可变式为证明如下不等式问题：已知 x (0,)，求证：sinx

4、 1 x tanx 1 2证明这个变式题可采用两种方法：第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sin x x以后，根据sin x 1 sin x x来证明不等式sin x 1 x；第二种证法：直接构造辅助函数 f(x) sin x 1 x和g(x) x tan x 1 ,其中x (0,) 2然后证明各自的单调性后再放缩或放大(如：f(x) sinx 1 x f(0)1 0)例2求证：ln(x 1) x分析：令f (x) ln(x 1) x,经过求导易知，f(x)在其定义域(1,)上不单调，但可 以利用最值证明不等式。证明：令 f (x) ln( x 1

5、) x函数f(x)的定义域是(1,), 1f' (x)= 1.令 f' (x)=0 ,解得 x=0 ,1 x当-1<x<0 时，f'(x)>0,当 x>0 时，f'(x)<0 ,又 f(0)=0 ,故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0所以 f (x) ln(x 1) x f (0) 0即 ln(x 1) x二、常数类不等式证明常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式f(a) f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f (x)的单调性证明不等式。例 3 已知 m n 0,a,b R

6、 且(a 1)(b 1) 0n n、m mm、n求证：(a b ) (a b )分析： ，n n、m , m m、n (a b )(ab )nnmmmnln( ab ) ln(ab )mln( an bn) n ln(am bm)ln(an bn)ln(am bm)nmf (n) f (m)f(x) ln(a-L)在(0,)上是减函数 xm>n>0证明：令 f(x)ln(ax bx) (x 0) xa* x In a则 f/(x)bx In b bln(ax bx)xxx . xx _ xx(a In a b In b) (a b )ln( a b )27x xx (a b )ax

7、 Inx xa b2 xx (abx Inbx)bxxx aa In xabxbx In2/ x xx (a b )精品文档所以，f(x) 1n(ax bx)在(0,)上是减函数 x又因为m n 0 ,所以f(n) f (m)n nmm、即 1n(a b ) 1n(a b ) nmm1n(an bn) n1n(am bm)1n(an bn)m 1n(am bm)nn n、mmm、n(a b ) (a b )评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数， 如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发

8、现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子(本例经过转化后的不等式1n(an bn)nm m、1n(a b )m的两边都是相同式子所以可以构造辅助函数1n(ax b可以构造辅助函数。例4已知0,求证：工1 412tantan)分析：欲证tantantantantan1 1 ,只需证(不然没法构造辅助函tantantantan tantan x ,、数)，即,tan tan ,则需证函数 f(x) ,g(x)x函数区间(0,)上单调递增即可。2tan x证明：设 f(x) J , x (0,-)nrt /xsec2 x tan x x sin xcosx则 f (x) 222x

9、x cos x由例 1 知，x (0,) x sin x sinxcosx x sinxcosx 0 2即f/(x) 0,所以f(x) 处在(0,)上单调递增，而0 x 2所以tantan . tan,即tan一,进而得至U 1 -tan设 g(x) xtanx, x (0,) 2则 g/(x) tan x xsec2 x ,又因为 x (0,),所以 g/(x) 0 ,进而g(x) xtan x在(0,)上单调递增，而 022所以 tan tan ,即一回一，进而得到一回一 1 tantan综上所述taJ 1 色匚1 tantan三、同步练习题1 .当x 1时，求证：2Jx 3 - xb .

10、 a2 .已知a,b为实数，并且e<a<b,其中e是自然对数的底，证明： a b3 .已知函数 f(x) ex ln(x 1) 1 x 0(1)求函数f(x)的最小值；(2)若 0 y x,求证：ex y 1 ln(x 1) ln( y 1)4 .求证：(e ee)( e )e参考答案：1 .证明：要证 2 x 3 1 ,只要证 4x3 (3x 1)2(x 1), x即证 4x3(3x 1)2 4x3 9x2 6x 1 f (x) 0,则当 x 1 时，f'(x) 6(2x3 3x 1) 6(2x 1)(x 1) 0,f (x)在(1,)上递增,f(x)f (1) 0即f(

11、x) 0成立，原不等式得证2 .证明:当e<a<b时，即只要证考虑函数要证abba,只要证bln a aln b,In a In ba by (0 x ) o因为当x e时， x1 In xIn x ,y2 0,所以函数y 在(0)内是减函数.xx因为e<a<b,所以蛇,即得ab ba a b3. (1)最小值为0(2)因为 0yx x y 0,而由(1)知，对x 0,恒有f(x) 0,所以不等式f(x y) 0恒成立即 exy ln(x y 1) 1 0所以 ex y 1 ln(x y 1)又因为ln( x y 1) ln( y 1)(x y 1) ln( y 1)ln( x 1) y(x y) ln( y 1) ln(x 1) ln( y 1)(Q y(x y) 0)所以 exy 1ln(x 1) ln( y 1)ln( xx _xx_xx( In e ) ( e ) ln( e )2 x x、x ( e ) ex)证明：设 f(x) -