初三数学圆与相似的专项培优练习题(含答案)

1、初三数学圆与相似的专项培优练习题（含答案）一、相似BC 翻折1 如图所示， ABC 中，AB=AC， BAC=90°， AD BC， DE AC， CDE 沿直线到 CDF，连结AF交 BE、 DE、 DC分别于点G、 H、 I（ 1 ）求证：AF BE；（ 2）求证：AD=3DI【答案】（ 1 ）证明： 在 ABC中，AB=AC， BAC=90° ， D 是 BC的中点， AD=BD=CD， ACB=45， ° 在 ADC中，AD=DC， DE AC， AE=CE， CDE沿直线BC翻折到 CDF， CDE CDF， CF=CE， DCF= ACB=45， &#

2、176; CF=AE， ACF= DCF+ ACB=90 ， °在 ABE与 ACF中， ABE ACF（ SAS）， ABE= FAC， BAG+ CAF=90， ° BAG+ ABE=90，° AGB=90 ，° AF BE2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1） DEC= ECF= CFD=9°0四边形DECF是正方形，EC DF， EC=DF， EAH= HFD， AE=DF，在 AEH与 FDH中， AEH FDH（ AAS）， EH=DH， BAG+ CAF=90， ° BAG+ ABE=90，° AGB=9

3、0 ，° AF BE， M 是 IC的中点，E是 AC的中点， EM AI， DI=IM， CD=DI+IM+MC=3DI， AD=3DI【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS 证明 ABE ACF，利用全等三角形的性质得出 ABE= FAC，再证明 AGB=9°0 ，可证得结论。（ 2）作IC 的中点M，结合正方形的性质，可证得 EAH= HFD， AE=DF，利用AAS 证明 AEH 与 FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2已知二次函数yax2bx2 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点A 的坐标为 （4， 0），且当x2

4、和 x 5 时二次函数的函数值y 相等1 ）求实数a， b 的值；（ 2）如图 ，动点E， F 同时从 A 点出发，其中点E 以每秒 2 个单位长度的速度沿AB 边向终点 B 运动，点F 以每秒个单位长度的速度沿射线AC 方向运动当点E 停止运动时，点 F 随之停止运动设运动时间为t 秒连接EF，将 AEF沿 EF翻折，使点A落在点D 处，得到 DEF. 是否存在某一时刻t，使得 DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； 设 DEF与 ABC重叠部分的面积为S，求S关于 t的函数关系式【答案】（ 1 ）解：由题意得：，解得：a= ， b=（2）解： 由（1）知二次函数

5、为.A（4，0），B（1，0），C（ 0，2）， OA=4， OB=1， OC=2， AB=5， AC= ， BC= ， AC2+BC2=25=AB2 ， ABC为直角三角形，且 ACB=90° AE=2t， AF=t， .又 EAF= CAB， AEF ACB， AEF= ACB=90，° AEF沿 EF翻折后，点A落在x轴上点 D处；由翻折知，DE=AE， AD=2AE=4t， EF= AE=t假设 DCF为直角三角形，当点F 在线段AC上时： ）若C 为直角顶点，则点D 与点 B 重合，如图2，AE= AB= t= ÷ 2=；）若 D 为直角顶点，如图3 C

6、DF=90，° ODC+ EDF=90 ° EDF= EAF， OBC+ EAF=90， ODC= OBC， BC=DCOC BD，OD=OB=1，AD=3，当点 F 在 AC 延长线上时， DFC> 90°， DCF为钝角三角形综上所述，存在时刻t，使得 DCF为直角三角形，t= 或 t= ）当0<t 时，重叠部分为 DEF，如图1、图 2， S= × 2t ×2；t=t ）当 < t 2 时，设 DF与 BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点 G 作GHBE于H，DB=AD AB=4t 5， =4t 5，

7、 m= （ 4t 5），S=S DEF S DBG= × 2t ×t（ 4t 5） × （ 4t 5） =；）当2< t 时，重叠部分为 BEG，如图5BE=DE DB=2t（4t 5） =5 2t， GE=2BE=2（ 5 2t），S= ×（ 5 2t） ×2 （ 5 2t） =4t2 20t+25 综上所述：【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2 和 x=5 时二次函数的函数值 y 相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。（ 2） 由 x=0 及 y=0 时，求出点A、 B、 C 三点的坐标，以及线段

8、OA、 OB、 OC 的长，利用勾股定理的逆定理证明 ABC 是直角三角形，用含t 的代数式表示出线段AD、 AE、 AF（即DF）的长，则根据AE、 EF、 OA、 OC 的长以及公共角 OAC 能判定 AEF、 AOC 相似，可证得 AEF也是一个直角三角形，及 AEF是直角；若 DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：i）点C 为直角顶点，由于 ABC 恰好是直角三角形，且以点C 为直角顶点，所以此时点B、 D 重合，由此得到AD 的长，进而求出t 的值；ii）点 D 为直角顶点，此时 CDB 与 CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到 AD 的长后可求出t 的值；iii）

9、、点F 为直角顶点，当点F 在线段AC上时， DFC是锐角，而点F 在射线 AC的延长线上时， DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意 此题需要分三种情况讨论：i）当点 E 在点 A 与线段 AB 中点之间时，即当0< t ，两个三角形的重叠部分是整个 DEF；ii）当点E在线段AB 中点与点O 之间时，即< t2 时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S DEF S DBG 可求解。iii）当点E在线段OB 上时，即2< t 时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。31 ）问题发现如图 1 ，四边形ABCD 为矩形，AB=a， BC=b，点P 在矩形A

10、BCD的对角线AC上，Rt PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当 PMBC，PNCD时，=（用含a， b 的代数式表示）（ 2）拓展探究在（1）中，固定点P，使 PEF绕点P 旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明（ 3）问题解决如图3，四边形ABCD 为正方形，AB=BC=a，点P 在对角线AC 上， M， N 分别在BC， CD上，PM PN，当 AP=nPC时，（ n 是正实数），直接写出四边形PMCN 的面积是（用含 n， a的代数式表示）【答案】（ 1 ）（2）解：如图3，过P 作PGBC于G，作PHCD于H，则 PGM= PHN=9

11、6;0 ， GPH=9°0 Rt PEF中， FPE=90 ° GPM= HPN PGM PHNPG AB， PH AD 可得，,故答案为3）【解答解：（1） 四边形 ABCD是矩形， AB BC， PM BC， PMC ABC 四边形ABCD是矩形， BCD=90，° PM BC， PN CD， PMC= PNC=90 =° BCD， 四边形 CNPM 是矩形， CM=PN，故答案为；（ 3 ） PM BC， AB BC PMC ABC当 AP=nPC时（n 是正实数）， PM= a 四边形 PMCN 的面积 =故答案为：【分析】（1 ）由题意易得 P

12、MC ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；（ 2）过 P 作PGBC于 G，作PHCD 于H，由辅助线和已知条件易得PGMPHN，则得比例式，由（1 ）可得比例式，即比值不变；3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN 的面积 =4 如图（ 1 ），在矩形DEFG 中，DE=3， EG=6，在Rt ABC 中， ABC=90°， BC=3，AC=6， ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点 D 重合，Rt ABC将从D 以每秒 1 个单位的速度向DG 方向匀速平移，当点C 与点 G 重合时停止运动，设运动时间为 t 秒，解答下列问题：（ 1）如

13、图（2），当AC过点E时，求 t的值；（ 2）如图（3），当AB与 DE重合时，AC与 EF、 EG分别交于点M、 N，求CN的长；（ 3）在整个运动过程中，设Rt ABC与 EFG重叠部分面积为y，请求出y 与 t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围【答案】（ 1 ）解：如图（2），当AC过点E时，在 Rt ABC中，BC=3， AC=6， BC所对锐角 A=30 ，° ACB=60，°依题意可知 ABC= EDC=9°0， ACB= ECD， ABC EDC，即， CD= ， t=CD= ；（ 2）解：如图（3）， EDG=9°0， DE=3，

14、EG=6， DG=3，在 Rt EDG中，sin EGD=， EGD=30，° NCB= CNG+ EGD， CNG= NCB EGD=60° 30 °=30 °， CNG= EGD， NC=CG=DG BC=3 3；3）解：由（1）可知，当x> 时， ABC与 EFG有重叠部分分两种情况： 当 < t 3 时，如图（4），N 作直线 ABC与 EFG有重叠部分为 EMN，设AC 与 EF、 EG分别交于点M、 N，过点NP EF于 P，交DG于 Q，则 EPN= CQN=9°0， NC=CG， NC=DG DC=3 t，在 Rt

15、NQC中，NQ=sin NCQ× NC=sin60° ×（ 3 t） =， PN=PQ NQ=3=， PMN= NCQ=60，° sin PMN= ， MN=t在矩形DEFG中，EF DG， MEN= CGN， MNE= CNG， CNG= CGN， EMN= MNE， EM=MN， EM=MN=t ， y=S EMN= EM?PN= 当 3< t 3 时，如图（5），P、 Q， AC 与 EF、 ABC 与 EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB 与 EF、 EG分别交于点EG分别交于点M、 N，则 EPQ=90°， CG=3 t，S

16、EMN=EP=DB=t 3， PEQ=30，在 Rt EPQ中，PQ=tan PEQ× EP=tan3× 0（ t° 3） =S EPQ= EP?PQ= （ t 3） ×y=S EMN S EPQ= （综上所述，y 与 t 的函数关系式：y=【分析】（1）证 ABC EDC，由相似三角形的性质可求出CD 的值，即可求t；（ 2） 利 用 勾 股 定 理 求 出 DG 的 值 ，则由角 函 数 可 EGD=3°0 ， 进 而 可 证 得CNG= EGD，则NC=CG=DG BC，可求出答案；3）根据重叠部分可确定x 的取值范围，再由三角形的面积公

17、式可求出函数解析式5 如图，抛物线经过，两点，与y 轴交于点C，连接AB， AC， BC1 ）求抛物线的表达式；2）求证：AB 平分；M，使得是以 AB 为直角边的直角三角形，若3）抛物线的对称轴上是否存在点存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（ 1 ）解：将，代入得：解得：，抛物线的解析式为2）解：，取，则，由两点间的距离公式可知，在和中，平分3）解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F抛物线的对称轴为，则，又，【分析】（1）利用待定系数法，将点同理：，A、 B 两点坐标分别代入抛物线的解析式，求出a、 b 的值，即可解答。（ 2）利用勾股定理，在Rt AOC

18、中，求出AC 的长，再根据两点间的距离公式求出BD 的长，由点B、 C的坐标，求出BC的长，可证得BD=BC，然后证明 ABC ABD ，利用全等三角形的性质，可证得结论。（ 3）抛物线的对称轴交x 轴与点E，交BC与点F求出抛物线的对称轴，就可求出AE 的长，再利用点A、 B 的坐标，求出tan EAB的值，再由 M'AB = 90 °，求出tan M'AE的值，求出M'E 的长，就可得出点M 的坐标，再用同样的方法求出点M 的坐标，即可解答。6 已知顶点为抛物线经过点，点（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2）如图1，直线 AB 与 x 轴相交于点M,y 轴相

19、交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线 AB 上有一点P，若 OPM= MAF,求 POE的面积；3）如图2，点Q 是折线 A-B-C上一点，过点Q 作 QN y 轴，过点E 作 EN x 轴，直线QN 与直线 EN相交于点N，连接QE，将 QEN沿 QE翻折得到 QEN1 ， 若点N1落在x轴上，请直接写出Q 点的坐标.【答案】（ 1 ）解：把点代入解得： a=1,抛物线的解析式为：或2）解：设直线AB 解析式为：y=kx+b,代入点A、 B 的坐标得：解得：直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（ 0，-1），F（ 0，），M（ -0），OE=1， FE= , OPM= MAF,当

20、OP AF 时， OPE FAE， OP= FA=设点 P( t,-2t-1 ) , OP=化简得：（15t+2）（3t+2） =0,解得S ope=O· E·,t=- 时 ， S OPE=1× =，t=- 时 ， S OPE=× 1 × =综上， POE的面积为或 .（ 3） Q（ - ，） .-1 ），【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB 的解析式为：y=-2x-1,E（ 0，设 Q（ m， -2m-1 ） ,N1（ n， 0）， N （ m,-1 ） , QEN沿 QE翻折得到 QEN1NN1 中点坐标为（，），EN=EN1 ，N

21、N1 中点一定在直线AB上， N 1 （ - -m， 0）， EN2=EN12 ， m2=（ - -m） 2+1，解得： m=- , Q（ - ，） .【分析】（1 ）用待定系数法将点B 点坐标代入二次函数解析式即可得出a 值 .（ 2）设直线AB 解析式为：y=kx+b,代入点A、 B 的坐标得一个关于k 和 b 的二元一次方程组，解之即可得直线AB 解析式，根据题意得E（ 0， -1），F（ 0， - ）， M（ - ， 0），根据相似三角形的判定和性质得OP= FA=,设点P（ t,-2t-1 ） ,根据两点间的距离公式即可求得t 值，再由三角形面积公式 POE的面积 .（ 3）由（2）

22、知直线AB 的解析式为：y=-2x-1,E（ 0， -1），设Q（ m， -2m-1 ） ,N1（ n，0），从而得N（ m,-1 ） ,根据翻折的性质知NN1 中点坐标为（，）且在直线 AB 上，将此中点坐标代入直线AB 解析式可得n=- -m,即 N1（ - -m， 0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=（ - -m） 2+1，解之即可得Q点坐标 .7 如图，正方形ABCD的边长为4，点 E，F 分别在边AB， AD 上，且 ECF 45°， CF的延H，连接AC， EF，GH长线交BA的延长线于点G， CE的延长线交DA的延长线于点（ 1 ）求 AHC与 ACG的大小

23、关系（“> ”或 “< ”或 “ ”）（ 2）线段AC， AG， AH 什么关系？请说明理由；（ 3）设AE m， AGH 的面积 S 有变化吗？如果变化请求出S 与 m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值 请直接写出使 CGH是等腰三角形的m 值【答案】（ 1 ） 四边形 ABCD是正方形，AB CBCD DA 4， D DAB 90 ° DAC BAC45 °， AC， DAC AHC+ ACH45 °， ACH+ ACG 45 °， AHC ACG故答案为（ 2）解：结论：AC2 AG?AH 理由： AHC ACG ， CAH CAG

24、 135°， AHC ACG，AC2 AG?AH （ 3）解： AGH 的面积不变×（ 4） 2 16理由： S AGH?AH?AGAC2 AGH的面积为16 如图 1 中，当GC GH 时，易证 AHG BGC ，可得AG BC 4， AH BG 8，BC AH ，,AEAB如图 2 中，当CH HG 时，易证AH BC 4， BC AH ， 1， AE BE 2在 BC上取一点M ， 使得 BM BE ， BME BEM 45 °， BME MCE+ MEC ， MCE MEC 22.5 ， ° CM EM ， 设 BM BE m ， 则 CM EM

25、 m ， m+ m 4， m 4（ 1 ）， AE 4 4（ 1 ）8 4，综上所述，满足条件的m 的值为或 2 或 8 4【解析】【分析】（1 ）证明 DAC= AHC+ ACH=4°5 ， ACH+ ACG=4°5 ，即可推出 AHC= ACG；（2）结论：AC2=AG?AH只要证明 AHC ACG 即可解决问题；（3） AGH 的面积不变理由三角形的面积公式计算即可； 分三种情形分别求解即可解决问题 .8 如图1，在 ABC 中，在 BC 边上取一点P，在AC 边上取一点D，连AP、 PD，如果 APD 是等腰三角形且 ABP与 CDP相似，我们称 APD 是 AC

26、边上的 “等腰邻相似三角形”.（ 1 ）如图2,在 ABC 中 AB=AC, B=50°， APD 是 AB 边上的 “等腰邻相似三角形”，且AD=DP， PAC= BPD，则 PAC的度数是；（2）如图3，在 ABC中，A=2C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似 APD” ，并说明理由；（ 3）如图4，在Rt ABC 中 AB=AC=2， APD 是 AB 边上的 “等腰邻相似三角形”，请写出AD 长度的所有可能值.【答案】（ 1 ） 30°（ 2）解：如图3 中， APD是 AC边上的 “等腰邻相似三角形”，理由：作 BAC的

27、平分线AP 交 BC于 P，作PD AB交 AC于 D， BAP= PAD= DPA， CPD= B，DP=DA， CAB=2 C， BAP = C， APD是等腰三角形且 APB与 CDP相似， APD是 AC边上的“等腰邻相似三角形” ）解：如图3中，当 DA=DP时，设 APD= DAP=x， 若 BPD= CAP=90° -x， BDP= CPA=2x， 90 ° -x+2x+x=180 ，° x=45 ，° 三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1； 若 PDB= CAP时，设 APD= DAP=x，得到 PDB= CAP=2x，易知x=30&#

28、176;，设 AD=a，则AP= BPD CPA，解得，如图 4 中，当PA=PD时，易知 PDB是钝角， CAP是锐角，Z PDB=Z CPA 则 BPX CPA设 AD=a,贝U BD=2-a, BP RW - (2 a) - J , AC=2,A - - (2 a)=二，解得a= /二/,如图 5 中，当 AP=AD 时，设 Z APD=Z ADP=x,则 ZDAP=180 -2x ,易知 Z PDB 为钝角, Z CAP为锐角，Z PDB=Z CPA=180-x, Z CAP=90-Z DAP=90 - (180 -2x) =2x-90 , 在 APC 中,2x-90 +180 -x+

29、45 =180 , 解得x=45°,不可能成立.综上所述.AD的长为1或 3 或-2点【解析】【解答】（1）解：如图2中， . AB= AC, DA=DP,Z B= ZC, Z DAP= Z DPA, Z PAC= Z BPD,Z APC= Z BDP= Z DAP+ Z DPA Z APC= ZB+ Z BAP,Z B= Z PAB= 50 ； Z BAC= 180-50 =60 ；Z PAC= 30故答案为300【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明/ B= / PAB即可解决问题.（2）如图3中，作/ BAC的平分线AP交BC于P,作PD/ AB交AC于D,根据平行

30、线的性质和 角平分线定义可得 Z BAP=Z PAD=Z DPA Z CPD=Z B,结合Z A=2Z C可证 APD是等腰三 角形且AAPB与ACDP相似，即可解决问题.（3）分三种情形讨论：如图3'中，当DA=DP时；如图4 中，当PA PD时；如图5 中，当AP AD 时；分别求解即可解决问题二、圆的综合9 如图，以O 为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A， C在 O 上， OAC=60° （ 1 ）求 AOC的度数；（ 2） P 为 x 轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与 O 的位置关系，并说明理由；（ 3）有一动点M 从 A 点出发，在 O 上按顺时

31、针方向运动一周，当S MAO=S CAO时，求动点 M 所经过的弧长，并写出此时M 点的坐标【答案】（1 ） 60°；（2）见解析；（3）对应的M 点坐标分别为：M 1（ 2，2 3 ）、 M2（2，2 3 ）、M3（2， 2 3 ）、M4（ 2， 2 3 ）【解析】【分析】（ 1）由于 OAC=6°0，易证得 OAC是等边三角形，即可得 AOC=6°0 （ 2）由（1 ）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得 OCP是直角三角形，且 OCP=9° 0，由此可判断出PC与 O 的位置关系（ 3）此题应考虑多

32、种情况，若 MAO、 OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M 点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解【详解】（ 1 ） OA=OC， OAC=6°0 ， OAC是等边三角形，故 AOC=6°0 （ 2）由（1 ）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；1 AC= OP，因此 OCP是直角三角形，且 OCP=90°，2而 OC是 O的半径，故 PC与 O的位置关系是相切（ 3）如图；有三种情况： 取 C 点关于 x 轴的对称点，则此点符合2 3 ）；点的要求，此时点的坐标为：M 1 ( 2，劣弧 MA 的长

33、为：604180 取 C 点关于原点的对称点，此点也符合 2 3 ）；点的要求，此时点的坐标为：M2 (2，1204劣弧 MA 的长为：180 取 C 点关于y 轴的对称点，此点也符合2 3 ）；83；点的要求，此时点的坐标为：M 3(2，2404优弧 MA 的长为：2404180163； 当 C、 M 重合时，C 点符合M 点的要求，此时M 4（ 2， 2 3 ）；优弧 MA 的长为：3004180203综上可知：当S MAO=S CAO时，动点M 所经过的弧长为4 , 8 , 16 , 20 对应的 M 点坐3333标分别为：M1（2，2 3 ）、 M2（2，2 3 ）、M3（2，2 3

34、）、M4（2，2 3 ）【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解10 如图，已知 ABC内接于 O， BC交直径AD 于点E，过点C作 AD 的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F连接OC1 ）若2）若3）在（G=48° ，求 ACB的度数；AB=AE，求证： BAD= COF；2）的条件下，连接OB，设 AOB 的面积为S1， ACF的面积为S2若1S1tan CAF= ，求 的值2S23【答案】（1 ） 48°（ 2）证明见解析（3）4【解析】【分析】（ 1 ）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（ 2）先根据等腰三角形的

35、性质得： ABE= AEB，再证明 BCG= DAC，可得C?D ?PB ?PD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O 作OGAB 于G，证明COFOAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a） 2=x2+a2，则a= 3 x，代入面积公式可得结4论【详解】（ 1 ）连接 CD， AD 是 O 的直径， ACD=90，° ACB+ BCD=90，° AD CG， AFG= G+ BAD=90 ，°BAD=BCD，ACB=G=48 °；（ 2） AB=AE

36、，ABE=AEB，ABC=G+ BCG， AEB= ACB+DAC，由（1）得： G= ACB，BCG=DAC， C? D ?PB ， AD 是 O 的直径，AD PC， C? D P?D ， C? D ?PB ?PD ， BAD=2 DAC， COF=2 DAC， BAD= COF；（ 3）过O 作 OG AB 于 G，设CF=x，1 CF tan CAF= =，2 AF AF=2x， OC=OA，由（2）得： COF= OAG， OFC= AGO=90，° COF OAG， OG=CF=x， AG=OF，设 OF=a，则OA=OC=2x a，Rt COF中，CO2=CF2+OF2

37、， （ 2x a） 2=x2+a2，a=3x，43 OF=AG= x，4 OA=OB， OG AB， AB=2AG=3x，2圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1 ）根据圆周角定理找出 ACB+ BCD=9°0；（ 2）根据外角的性质和圆的性质得：C?D ?PB ?PD ；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题11 如图， O 的半径为6cm，经过 O 上一点 C作 O的切线交半径OA的延长于点B，作 ACO的平分线交 O 于点D，交OA于点F，延长DA交 BC于点E（ 1 ）求证：AC O

38、D；试题分析：（1 ）由OC=OD， CD平分 ACO，易证得 ACD= ODC，即可证得AC OD；（ 2） BC切 O于点C， DE BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得 AOC是等边三角形，则可得： AOC=60°，继而求得弧AC的长度试题解析：（1 ）证明：OC=OD， OCD= ODC CD平分 ACO， OCD=ACD， ACD=ODC， AC OD；（ 2） BC切 O 于点C， BC OC DE BC， OC DE AC OD， 四边形 ADOC是平行四边形OC=OD， 平行四边形ADOC是菱形， OC=AC=OA， AOC是等边三角形， AOC=60&#

39、176;， 弧 AC的长度=60 6 =2 180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用12 如图，PA、 PB是 O的切线，A， B 为切点， APB=60°，连接PO并延长与 O交于C 点，连接AC、 BC（ ）求 ACB的大小； ）若 O 半径为1，求四边形ACBP的面积 ） 60°；（ ） 3 3分析：（ ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA AP， OP 平分 APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到 ACB的（n）根

40、据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角 形的面积即可.详解：（I ）连接OA,如图，.PA、PB是。的切线，OAXAP, OP平分/APB,1Z APO=- Z APB=30 ,2Z AOP=60 ,-.OA=OC,Z OAC=Z OCA,1Z ACO=- AOP=30 ,2同理可得Z BCP=30 ,Z ACB=60 ；(n )在 RtOPA 中，. Z APO=30 ,AP= OA= , OP=2OA=2, .OP=2OQ1而 Sa op4X 12Saaog=-Spag=2二四边形ACBP的面积=2Saacr±&2点睛：本题考查了切线的性

41、质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质 是解题的关键.13 .如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心°；（要求保留作图痕迹，不写作法 ）2 若 ?AB 的中点 C 到弦 AB 的距离为20m， AB 80m ，求 ?AB 所在圆的半径分析： 1 连结AC、 BC，分别作AC和 BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图 1；2 连接 OA， OC， OC 交 AB 于 D，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为 A?B 的中点得1到 OC AB ， AD BD AB 40 ，则 CD 20，设e O的半径为r，在RtVOAD中利用

42、勾股定理得到r2 (r 20)2 402，然后解方程即可详解： 1 如图1 ，点 O 为所求；2 连接OA， OC， OC 交 AB 于 D，如图2，Q C 为 ?AB 的中点，OC AB ，1AD BD AB 40 ，2设 e O 的半径为r，则OA r， OD OD CD r 20 ，在 RtVOAD 中，Q OA2 OD 2 AD 2，r2 （r 20）2 402，解得r 50，即 ?AB 所在圆的半径是50m点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题14 如图 1，已知AB是 O 的

43、直径，AC是 O 的弦，过O点作OF AB交 O 于点 D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是 EF的中点，连接CG（1）判断CG与 O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2 BC?BF；（3）如图2，当DCE2F，CE3，DG2.5 时，求DE的长【答案】（1 ） CG与 O相切，理由见解析；（2）见解析；（3） DE 2【解析】【分析】（ 1 ）连接CE，由AB 是直径知 ECF是直角三角形，结合G 为 EF中点知 AEO GEC GCE，再由OAOC知OCAOAC，根据OFAB 可得 OCA+GCE90 °，即OC GC，据此即可得证；BC AB（ 2）证 AB

44、C FBO得，结合AB 2BO即可得；BO BF（ 3）证ECD EGC得 EC ED ，根据CE 3， DG 2.5 知 3 DE ，解之可EG ECDE 2.53得【详解】解：（1） CG与 O 相切，理由如下：如图 1，连接CE， AB 是 O 的直径， ACB ACF 90 °， 点 G 是 EF的中点， GF GE GC， AEO GEC GCE， OA OC， OCA OAC， OF AB， OAC+ AEO 90 °， OCA+ GCE 90 °，即OC GC， CG 与 O 相切；（2） AOEFCE90°， AEOFEC， OAE F，

45、又 B B， ABC FBO，BC AB，即BO?AB BC?BF，BO BF AB 2BO， 2OB2 BC?BF；（ 3）由（1 ）知GC GE GF， F GCF， EGC 2 F，又 DCE 2 F， EGC DCE， DEC CEG， ECD EGC，EC ED，EG EC CE 3， DG 2.5，3 DEDE 2.53整理，得：DE2+2.5DE 9 0，解得：DE 2 或 DE4.5（舍），故 DE 2【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点15 如图 1 ，等边 ABC的边长为3，分别以顶点B、 A、 C为圆心，BA长为半径作?AC 、C?B 、 ?BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对 称图形，设点l 为对称轴的交点（ 1 ）如图 2，将这个图形的顶点A与线段 MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点 N 重合，则线段MN 的长为；（ 2）如图3，将这个图形的顶点A与等边 DEF的顶点D重合，且AB DE， DE=2 ，将它沿等边 DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（ 3）如图4，将这个图形的顶点B 与 O 的圆心 O 重合， O 的半径为3，