初中数学九大几何模型

1、初 中数学九几何模型、手拉手模型旋转型全等D(1)等边三角形DE图2图1O【条件】：AOA*口OCD匀为等腰三角形;DECO COD= AOB【结论】：(DA OACAOBtD图2图1B OAEDD【条件】：OAAAD【条件】：AOA*口OCDOfe边三角区【结论】：OAC AOBtDC E B=60 ; OE平分/ AED(2)等腰直角三角形【结论】：OACOBDZAE(3)顶角相等的两任意/ AEB之 AOBOE平分/ AED二、模型二：手拉手模型(1) 一般情况【条件】：CD/ AB,将 OCD转至右图的位置O【结论】：右图中 OCW OAtB>一 OA6 OBDABAB【条件】：

2、CD/ AB, / AOB=90将 OC的转至右图的位置【结论】：右图中 OCW OAtB>一 OA6 OBD延长 AC交BD于点E,必有/ BECW BOA BD = OD = OB =tan / OCD BD± AC; AC OC OAcc2c连接 AD BC,必AD2 +BC2 =AB +CD2； S八RCn b/ BCD三、模型三、对角互补模型(1)全等型-90 °【条件】：/ AOBh DCE=90 ;O分/ AOB【结论】： CD=CE OD+OE= 2 OC S 八.匚/ DCE证明提示:作垂直,如图 2,证明 CD阵 CEN过点C作CF，OC如图3,证

3、明 OD葭 FEC当/ DCE的一边交AO的延长线于 D时(如图4):39结论: CD=CE OD+OE=O03) SADCE = SAOCD + SAOCE = OC2 4证明提示：可参考“全等型-90 ° ”证法如右下图：在 OB上取一点F,使OF=OC证明 OCF为等边三角形。(3)全等型-任意角a【条件】：/ AOB=2i , /DCE=180-2a ; CD=CE【结论】：OC平分/ AOBOD+OE=2OCcos a ; SZXDCE = SZXOCD + SAOCE = OC? sin a ' cos a当/ DCE的一边交AO的延长线于 D时(如右下图)原结论

4、变成：可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。(1)角含半角模型 90° -1【条件】：正方形ABCD/ EAF=45° ;【结论】：EF=DF+BE CEF的周长为正方形 ABCW长的一半;也可以这样:【条件】：正方形 ABCDEF=DF+BEA【结论】：/ EAF=45 ;F(2)角含半角模型 90° -2【条件】：正方形 ABCDB EAF=45 ； CBEC【结论】：EF=DF-BE(3)角含半角模型 90° -3【条件】：RtABC/ DAE=45 ;若/ DAE旋转至必ABC外部时，结论 BD 2 + CE2 = DE2

5、仍然成立(如图2)FC / DACh EAF=45° , / DAHh CAE 又/ ACB=/ ADB=45DA AC. .DA"ACAE . .=AH AE.AH& AD(C AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型土H【结论】：BD2 +CE2 =DE2 (如图1)(1)倍长中线类模型-1【条件】：矩形ABCDBD=BEDF=EF【结论】：AF± CF模型提取：有平行线 AD/ BE;平行线间线段有中点 DF=EF可以构造“ 8”字全等 AD阵HEF。(2)倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形 ABCDBC=2ABAM=DMCEL AB;【结论

6、】：/ EMD=3 MEA辅助线：有平行 AB/ CD，有中点 AM=DM延长 EM构造 AM监 DMF连接 CM勾造等腰 EMC等月MCF (通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化)【条件】： ABE ABC均为等腰直角三角形；C EF=CF，C【结论】：DF=BDF，BF辅助线：延长 DF到点G,使FG=DF连接CG BG BD,证明 BD劭等腰直角三角形;C辅助线：构造等腰直角 AEG AHQ辅助线思路：将 DF与BF转化到CG与EF。(3)任意相似直角三角形 360。旋转模型-补全法【条件】：(DA OABAOD(C / OABW ODC=90 ; BE=CE【结论】：AE=

7、DE/ AED=2 ABO辅助线：延长 BA到G,使AG=AB延长 CD到点H使DH=CD补全A OGB OCH勾造旋转模OBlB'M PA+PBP为OC上一动点； Q为OB上一动点;将AAMDo ABC继续转化为证明 ABMh4AOD使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明 / ABMW AOD O模型七：最短路程模型.“， 、一(1)最短路程小1%军饮马类)b-'、，'、总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定(2)最短路程模型二(点到直线类 1)【条件】：OC平分/ AOBM为OB上一定

8、点；【问题】：求MP+PO小时，P、Q的位置？A则MP+PQ=MP+PQ之MH(B线段(3)最短路程模型二(点到直线二【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n【问题】：n为何值时，PB十求解方法：x轴上取C(2,0),壹短)人类 2)0、POQM BPA最小？5. / 使sin / OAC=;过B作BD)± AG交y轴于点E,即为辅助线：将作 Q关于OC对称点Q',车t化PQ =PQ过点M作MHL OA斤求； tan / EBO=tanZ OAC、,即 E (0, 1)广(4)最短路程模型三(旋转类最值模型)A【条件】：线段OA=4 OB=2OB绕点O在平丽内360

9、°旋转；/【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少?/BoXyA / BOCx【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所,，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”"值：OA+OB 最小值：OA-OBA将问题转化为B 一/ 取小值位置o,最大值位置线段OA=4 OB=2以点。为圆心，OR OE半径作囱;点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点；【结论】：若PA的最大值为10,则OC= 6 ;若PA的最小值为若PA的最小值为2,则PC的取值范围是 0<PC<2【条件】：RtOBC / OBC=30 ;OC=ZOA=1;点P为BC上动点(可与端点重合)；1

10、,则 OC= 3;，fC z B 、.、°一一 kOB愉点。旋转【结论】：PAMt 0A+OB=+2 73 , pA的最小值为：OB = 0A = 73 . 1如下图，圆的最小半径为 0到BC垂线段长。模型八:二倍角模型C:在 ABC中，/ B=2P辅助线:以BC的垂直平分编A/a， I A O J英称轴，作点、上的对称点XA',连接 AAy、BA fC CA'、0B k 、#,则BA=AA =CA'(注意这个结论)此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。A模型九:相似三角形模型(1/相似三角形模型、基本型BAA'中行类:DE/ BC;ADAEDE结论： = = (注意对应边要对应)ABAC BC(2)相似三角形模型-斜交型【条件】：如右图，/ AED=Z ACB=90 ;【结论】：AEX AB=AC< AD【条件】：如右图，/ ACE=Z ABC2【结论】：AC=AEX AB第四个图还存在射影定理：AEX EC=BC< AC; BC2=BEX BA; CE2=AEX BE;(3)相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：/ ABC=Z ACE