用叉乘求法向量

1、用叉乘求法向量平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1定义：如果小那么向量；叫做平面a的 法向量。平面a的法向量共有两大类（从方向 上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中, 设平面a的法向量或n = （x, 1,Z）9 或 = （l,y,z），在平面a内任找两个不共线的向量由4,得n-a = 0且j? Z? = O,由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。方法二：任何一个“z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是2Z的一次方 方程。其法向量1 = （48,C）；若平面与3个坐标轴的 交点为小。,0,0）,尸2（0，仇。），吕（0，。&#

2、169;，如图所示，则平面方程程。Ax+ By + Cz + D = 0（AB,C不同时为），称为平面的一般为W +三叫称此方程为平面的截距式方程，把它 a b c化为一般式即可求出它的法向量。方法三（夕卜积法）：设d石为空间中两个不平行的非零向量,其外积 71为一长度等于17办皿。，（。为£3两者交角，且。8），而与afb 皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由H的方向转为 我的方向时，大拇指所指的方向规定为短芯的方向，axb = -bxa oT>> >设a =(和=*2，)'2,22)，则：4' =Vi< V2(注：1、二阶行

3、列式:M =Z1z,bdxV2Z| I 11 JiZ2I' kyi)=ad -cb ； 2、 适合右手定则。)例L 已知， 1 = (2,1,0) 1 = (-121),试求(1)：箕(2)：晟:Key： (1) axb= (1-2,5) ； (2)bx a = (-1,2,5)例2、如图在棱长为2的正方体ABC。44GA中,求平面AEF的"金法向足怠=(1,2,2)量；;0二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图21, 设;是平面a的法向量， AB是平面a的一条斜线，A”，则AB与平面a所成的角为:图2.1.1:嗯一<L=”c*图 212： 6=v,A3

4、>丸= arccos-2,n- AB> cos< n,AB>皮1(2)、求面面角:设向量7,1分别是平面°、夕的法m量，则二a 1 - 0 的平面角为:T >T T >?0 =< "八 n >= arccos- （图 2-2）;I m I I /? IT ->8 =< "?, >=/一 arccos-（图 2-3）I m I - I n I两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹 角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中,i的方向对平面仪而言向外，：的方向对平面夕而 言向内；在图2-3中，7的方

5、向对平面a而言向 内，：的方向对平面夕而言向内。我们只要用两个 向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”） 使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则 这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。2、求空间距离（IX异面直线之间距离:求、方的法向量1即此异面直线即b的公垂/ aab;方法指导：如图2-4,作直线、力的方向向量在直线%力上各取一点A、B, 图线的方向向量;求向量几在:上的射影d,则异面直线、万间 的距离为c/A丁,其中 n(2)、点到平面的距离：方法指导：如图25,若点B为J 为平面a内任一点，平面的法向量为K则点P 到平面a的距离公式为仆千方法指导：如图26,直线与平面

6、a之间的距离:ABnn，其中。"是平面a的法向:(4)、平面与平面间的距离：图方法指导：如图27,两平行平面a»之间的距离：守t;公卫其中A - 8”。亓是平面a、 Ini圉的法向量。3、证明(1)、证明线面垂直：在图28中/向是平面a的法向量,Z是直线a的方向(3)、直线与平面间的距离:向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(ni = Aa ) o(2)、证明线面平行：在图2-9中,7向是平面a的 法向量，Z是直线a的方向向量，证明平面的法 向量与直线所在向量垂直(3)、证明面面垂直：在图2-10中，；?是平面a的法向量，1是平面夕的法向量，证明两平面的法向量垂直(嬴：

7、=0)(4)、证明面面平行：在图2-11中,友I向是平面a的法向量,1是平面/?的1、(2005全国I, 18)(本大题)o已知如图31,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/7DC,法向量，证明两平面的法向量共线(乱几三、高考真题新解满分12分)ZDA8 = 90。,P4_1_底面 ABCD,且PA=AD=DC=1AB=1, M 是 PB 的中点.(I )证明：面 PAD_L面 PCD；(II)求AC与PB所成的角；(IH)求面AMC与面BMC所成二面角的大小解:以A点为原点，以分别以AD, AB, AP为x，轴，建立空间直角坐标系Axyz如图所示.（/）.万=（o,o,i）,启=（i,

8、o,o），设平面PAD的法向量为m = APxAD = (0,1,0)又. A = (0,1,0), 而=(- 1,0,1), 设平面PCD的法向量为n = DCx DP = (101)Ho, J-,即平面PAD,平面PCD。T(). A = (1,1,0) ,= (0,2-1),AC-PB=arccos5(/),. CM = (-1,0 1)， CA = (-1-1,0),设平在 AMC 的法向 乙量为m = CMxCA =,1) 2 2，设平面PCD的法向量为T T T 11n = CM x CB =(,一1)2 2-> TT -*z 2、/.<n >= arccos=a

9、rccos() I m I - I /? I3，面AMC与面BMC所成二面角的大小为2、2arccos（一）或 笈-arccos 2、（2006年云南省第一次统测19题）（本题满B分12分）如图3-2,在长方体抽笫一人已知BC=a9 M（I）求证：平面45a（n）求证：平面氏9L平面49；（ni）求点a到平面4必的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD为x轴,y 轴,Z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.(1).丁 BC = (V2w,0,0) BAj = (0,4,。), 设平面AiBC的法向量 />Jn = BCx b =(0,在,耳2)3.A£)= (V2t

10、/,0,0), /. n AD = 0 ,AD _L;，即 AD平面 AiBC.(). a7c = (?a,0,a),总i =(-干4,4,0),设平面 AiMC 的法向量为： m = MCxMA = (/,a2 -a2), 223 BD=(一a,a, a），瓯=）,设平面AxBDi的法向量为：n = BDlx£ =(0,"J,、&%.1lo,； ,即平面 AiMCi平面 AiBDie（JU） ,设点A到平面A：MC的距高为d,T T T12 行/ ni = MCxMA. =(/,：二/,一、二/)是平面 arc 的法向量. 22L）又= MA = （=。,0,0）,.A点到平面AM的距离为：d = "*I =-a.22I m四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直