高考数学导数问题常见的分类讨论

1、在高考中导数问题常见的分类讨论(一)热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数 类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。(二)知识回顾1 .函数的单调性在某个区间(a, b)内，如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内

2、单调递增；如果 f' (x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2 .函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在xo附近的左侧f' ( x)>0 ,右侧f' (x)<0 ,那么f(xo)是极大值；如果在x0附近的左侧f' ( x)<0 ,右侧f' (x)>0 ,那么f(x。)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f' (x);求方程f，( x) = 0的根；检查f ' (x)在方程f' (x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f

3、(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3 .函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x)在a, b上单调递增，则f (a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f (x)在a,b上单调递减，则£也为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，求f (x)在a, b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a, b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a), f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(三

4、)疑难解释1 .可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.2 . f' (x)>0在(a, b)上成立是f(x)在(a, b)上单调递增的充分条件.3 .对于可导函数f(x) , f' (x0) = 0是函数f (x)在x = x0处有极值的必要不充分条件.附件：当堂过手训练(快练五分钟，稳准建奇功！) x2+ a . 一1右函数f(x)=。在x=1处取极值，则a =答案 32x2+2xx2a x2+2x a解析 f' (x)=, . 2 =2.因为f(x)在x=1处

5、取极值，所以1是f' (x) = 0的根，将x =x I 1x I 11代入得a =3.2 .函数f(x)=x3+ax 2在(1 , +8)上是增函数，则实数 a的取值范围是 .答案3,+8)解析 f' ( x) =3x2+a, f' ( x)在区间(1 , +8)上是增函数，则f' (x)=3x2+ aR0在(1, +8)上恒成立，即a>3x2在(1,十 上回成立.二.a3.3 .如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2, 1上是增函数；x= 1是f (x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x = 3是f (

6、x)的极小值点.其中正确的判断是.(填序号)答案解析 .一(x)在 2, - 1上是小于等于。的，f(x)在2, 1上是减函数； f' ( 1) =0且在x= 0两侧的导数值为左负右正，x= - 1是f (x)的极小值点；对，不对，由于f' (3) W0.4 .设函数g(x) = x(x2- 1),则g(x)在区间0,1上的最小值为23'3A. - 1 B. 0C. -9-D.3-答案 C解析 g(x)=x3 x,由 gz (x) = 3x2-1 = 0,解得 x1=*3, x2= W(舍去). 335.(2011 辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(1) = 2,对任

7、意 xC R, f' (x)>2,则 f(x)>2x + 4 的解集为当x变化时，g' ( x)与g(x)的变化情况如下表:x0Vi0，羽 3电1 31g' (x)一0十g( x)0极小值0所以当x=H3时,g(x)有最小值g* =-23 3398A. ( -1,1)C. ( 一00 , 一 1)D. ( 8,+00)答案 B解析 设 m(x) = f (x) (2x +4) ,m' (x) = f' ( x) 2>0,. m x)在 R 上是增函数.m( 1) = f ( 1)( 2+4) = 0,m(x)>0 的解集为x|x&

8、gt;1,即 f(x)>2x+4 的解集为(一1,十).二、高频考点专题链接题型一.需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。例1、已知函数f (x)= (ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足 f(0) = 1,f(1) =0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x) =f (x) f ' (x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.解 (1)由 f(0) =1, f(1) =0,得 c=1, a+b= 1,则 f(x) = ax2-(a+1

9、)x+1ex, f' (x) = ax2+(a-1) x司e )依题意需对任意 xC(0,1),有f' (x)<0.当a>0时，因为二次函数 y=ax2+(a1)x a的图象开口向上，而 f' (0)= a<0,所以需 f ' (1) = (a1)e<0 ,即 0<a<1.当 a=1 时，对任意 x (0,1)有 f ' (x) =(x21)ex<0, f(x)符合条件；当 a=0 时，对任意 xC(0,1) , f' (x)= xex<0, f(x)符合条件；当a<0时，因为f' (

10、0) = a>0, f(x)不符合条件.故a的取值范围为0w aw 1.(2)因为 g(x) =( -2ax+1 + a)ex,所以 g' (x) = ( 2ax+1 a)e x.(i)当a=0时，g' (x)=ex>0, g(x)在x=0处取得最小值 g(0) =1,在x=1处取得最大值 g(1) = e.(ii)当a=1时，对于任意 xC (0,1)有g' (x) = 2xex<0, g(x)在x=0处取得最大值 g(0)=2,在x=1处 取得最小值g(1) =0.(111) 当 0<a<1 时，由 g' (x)=0 得 x =

11、 1a >0.2a1 a 1 ,右一> 1,即0<aWq时，g(x)在0,1上单倜递增，g(x)在x = 0处取得取小值 g(0) =1 + a,在x= 1处 2a3取得最大值g(1) = (1 a)e.若二3<1,即;<a<1时，g( x)在x = ： 3处取得最大值 g = 2ae,在x= 0或x= 1处取得最小值.2a 32a2a2a而 g(0) =1 + a, g(1) = (1 a)e ,一 ,1e 1 .则当-<a<时,g(x)在x= 0处取得取小值 g(0) = 1 + a;3e 1e 1当 F7<a<1时，g( x)在

12、x= 1处取得取小值 g(1) = (1 a)e.e变式1：设函数f x x2 bln x 1 ,其中b 0,求函数f x的极值点。b 2x2 2x b _，解：由题意可得 f x的定义域为1, f x 2x , f x的分母x 1在定义域x 1 x 1.、2.一 1,上恒为正，方程 2x 2x b 0是否有实根，需要对参数 b的取值进行讨论。1 1当 4 8b 0,即b 时，方程2x2 2x b 0无实根或只有唯一根 x ,所以2 2g x 2x2 2x b 0在 1, 上恒成立，则f' x 0在 1, 上恒成立，所以函数f x在 1,上单调递增，从而函数 f x在 1,上无极值点。

13、12当 4 8b 0,即b 时，方程2x2 2x b 0 ,即f x 211-2b1 .'1 2bx1 , x2 。这两个根是否都在定义域1,220有两个不相等的实根：内呢？又需要对参数 b的取值分情况作如下讨论:由此表可知：当b 0时,1当0 b 时，x121,x21.1 2b21,f x有唯一极小值点x2所以K 1, x21,。此时，f x与f x随x的变化情况如下表:X(T/)苞国/）王(巧,+x)/ （工）十0一0十递增极大值递减极少值递增，一一1.由此表可知：当0 b 时，f x有一个极大值点2Xi11 2b 工 人皿土一11 2b和一个极小值点 x2 22综上所述:当b 0

14、时，f x有唯一极小值点2b"2',1 .，一，b 一时，f x有一个极大值点x21 2b112b1和一个极小值点x -1-b1 .一时，f x无极值点。2点评：从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了 方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。题型二 需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写 出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数 的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否

15、落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨 论。例2、设函数jf=（工er）,其中口er .当2芒。时，求函数了（用的极大值和极小值 解：/-'=一9+ 2度/一加K , /'（T）= -3炉+4次工一一二一0工一 一.令，。，解得K二|或% = 口 .由于口聿0,以下分两种情况讨论.（1）若以当或变化时，的正负如下表:Xr 6a37 1 J* aiaO +80+04f八（八 4因此，函数了（工）在工二三处取得极小值/ -，且/ - - a ;3I 力27函数在k=r处取

16、得极大值/go,且/=。.（2）若白菖o,当犬变化时，17f外的正负如下表：或(q, a)(la30十0因此，函数了5）在苫=2处取得极小值，,且/g）=o ；函数y(X)在工二处取得极大值且/a3)27评析：此题需对方程1n力=口两根得天二色或N二口的大小分类讨论，从而分为当30两种情况.变式2:已知函数f x2ax a2 1x R ,其中a R。(1)当a 1时，求曲线x在点2, f 2 处的切线方程;(2)当a 0时，求函数的单调区间与极值。解：(1)当a1时，曲线f x在点2, f 2 处的切线方程为6x 25y32 0 ；(2)由于0,所以f2a x2 1 2x 2ax a2 12a

17、 x a0,得 x11,x2a取值分a点评:x2 1 2x - a -2，1a。这两个实根都在定义域0和a 0两种情况进行讨论。0时，则x在x10时，则在x1R内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数a的x x2。易得f1，一处取得极小值axx2 。易得fx在区间x在区间1 .一处取得极小值f aa,内为减函数，在区间为增函数。故函a2 ；函数,a),(a2 ；函数f以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在x2a处取得极大值f)内为增函数，在区间(a,在x2a处取得极大值f a在求解有关含参数的导数问题时,1。1、, -)为减函数。故函数 a1。可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对

18、含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。2题型二 对函数f(x) ax bx c是否为二次函数进行讨论或需对次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨论。例 3、(2012 年北京高考题)已知函数 f (x) =ax2+1 (a>0) ,g(x)=x 3+bx(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求(2)当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(-

19、OO, -1 )a、b的值; 上的最大值，解：()由1 , c为公共切点可得:f (x) ax2 1(a 0),贝U f (x) 2ax, k12a,32g(x) x bx,则 f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b,又 f(1) a 1, g(1) 1 b ,a 3a 1 1 b ,即a b ,代入式可得：b 3410(2) Q a2 4b,3设 h(x) f (x) g(x) x212.ax -ax 14则 h(x) 3x2 2ax L2 ,令 h (x) 0 ,解得：xa , x242原函数在a单调递增，在 a,-单调递减，在226上单调递增,即2 a 6时，最大值为h -

20、162a时最大值为-12若1< ?即02时，最大值为h(1) a :若微a.a右1> 一时即a>6时，最大值为h 一 1 .622综上所述：当a 0, 2时，最大值为h(1) a a-；当a 2 ,419变式 3-1、已知函数 f(x) , g(x) bx 3x.x a(I )若曲线h(x) f (x) g(x)在点(1,0)处的切线斜率为 0,求a,b的值;(n )当a 3,)，且ab=8时，求函数(x) 93 的单调区间，并讨论函数在区间 f(x)-2-1上的最小值.解：(I )函数h(x)定义域为x|x丰-a,则 h (x)f (x)g (x)1(x a)22bx3,Q

21、 h(x)在点(10)处的切线斜率为0,h(1)h(1),b1 a1(1 a)23 0,2b 3 0.，解得a b0,或2,436.(x)=幽，则f(x)(x)=(x+a)(bx2+3x)(x丰-a),Q ab=8,所以 b(x) (x(x)1(24x2 22ax a3a2)a)(- a1(4x a2x 3x) (x 丰-a),3a)(6 xa),令(x)0,得xQ因为a3,故当x3a,或 x3 所以 一a41 1. a时, 6(x)0,当1 1 一 a时,6(x)0,，31函数 (x)的单调递增区间为(,a),( a, -a),( -a,46)；单调递减区间为a3 -4Q a 3,当a63a

22、 9 a，44， 62,即 a 12 时，Q(x)在-2,-1单调递增(x)在该区间的最小值为(2)6444 6a ,a当21时，即66a 12,Q (x)a在-2,6a 一单倜递减，在(0, 1单调递增,(x)在该区间的最小值为(325 2 a 108a.当 一1时，即3 a6为(1)8 11a6时，Q(x)在-2,-1单调递减,(x)在该区间的最小值综上所述，当3a 6时，最小值为12时，最小值为8-11 3a ；当 6 a a64 一小44 6a.a25 o12时，最小值为上a2；108变式3-2、已知：函数(其中常数a< 0) . (I)求函数f x的定义域及单调区间;(n)若存

23、在实数 xa,0 ,使得不等式,1 f x 一成立，求a的取值范围.2解：(I)函数f x的定义域为x e2- a1ex x由f x 0,解得x aa. f x的单调递增区间为1,单调递减区间为,aa,a 1(n)由题意可知,a 0,且xe 十在x aa,0上的最小值小于等于1 I一时, 2存在实数xa,0 ,使得不等式f1一成立20即a1时,a,aa+1a 1,0x 在 a,0极小值上的最小值为f1 时，f x 在 a,0a 1a 11e .贝U e ，得 a2ln21上单调递减，则f x在a,0上的最小值为f 0112,11 一由一一得a 2 (舍).a 21综上所述，a ln- 1.2题

24、型四“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的例4、求曲线y 3x x3的过点A(2, 2)的切线方程.错解：显然点 A在曲线y 3x x3上，且f (x) 3 3x2 ,f (2)9.故所求切线方程为 y 29(x 2),即9x y 16 0 .错解反思：曲线过点A的切线与曲线在点 A处的切线不同，前者既包括点A处的切线，也包括过点 A但切点为另一点的切线.因此，解题时必须理清头绪，弄清题意.正解：设切点为 P(%, y0), y 3 3x2, 在点P处的切线方程为y yo (3 3x02)(x xo).又切线过点 A, 2(3xo xo3)(3 3xo2)(2xo),整理

25、，得 x。3 3xo240,即(xo1)(xo 2)20 . xo1 或2 .:当xo1时，切线方程为y 2,当xo 2时，切线方程为9x y 16 0.综合题变式 4、已知函数 f(x) 2x3 3ax2 1 (x R).(I)若f (x)在x 1处取得极值，求实数 a的值；(n)求f(x)的单调区间；(出)求函数f (x)在闭区间0,2的最小值.解：(I) f (x) 6x2 6ax,因为f(x)在x 1处取得极值，所以 f(1) 0 ,解得a 1 .(n) f (x) 6x(x a),(1)当 a 0时，f (x) 6x2 0,则f(x)在 ， 上为增函数；(2)当a0,即a 0时，由f

26、 (x)6x( xa)0得x a或x 0,所以f (x)的单调增区间为，a和0, Mf(x) 6x(x a) 0得a x 0,所以f(x)的单调减区间为 a,0 ;(3)当a0即a 0时，由f (x)6x(xa)0得xa或x 0,所以f(x)的单调增区间为，0和a, ；由f (x) 6x(x a) 0 ,得0 x a,所以f (x)的单调减区间为 0, a .综上所述，当a 0时，f(x)的单调增区间为 ，；24当a 0时，f(x)的单调增区间为a和0,f(x)的单调减区间为a,0 ； 当a 0时,f (x)的单调增区间为,0 和 a,f (x)的单调减区间为 0, a .(出)(1)当a 0

27、即a0时,由(n)可知,f(x)在0,2上单调递增，所以f(x)的最小值为f (0) 1;(2)当 0 a 2,即2 a 0时，由(n)可知,f(x)在 0,a 上单调递减，在 a,2上单调递增,所以f(x)的最小值为一3f( a) a 1;(3)当a 2即a2时，由(n)可知，f(x)在0,2上单调递减,所以f(x)的最小值为f (2)17 12a.综上所述，当a 0时，f(x)的最小值为f (0) 1；当2 a 0时，f(x)的最小值为f( a)当a 2时，f(x)的最小值为f(2) 1712a.题型五 不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。例 5、设函数 f (x) xekx

28、(k 0)(I)求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间;(出)若函数f (x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.解：(I)kx ekx, f01, f 00 ,曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y(n)1 kxkx e0,得x0,则当x 0,函数f x单调递减,时,0,函数f x单调递增,若k 0,则当时,0,函数f x单调递增,时，f0,函数f x单调递减,(m)由(n)知，若0,则当且仅当0,则当且仅当1 k1 k1,即k 1时，函数f x 1,1内单调递增,1,即k 1时，函数f x 1,1内单调递增,综上可知，

29、函数f x 1,1内单调递增时，k的取值范围是 1,0 U 0,1变式5、已知函数f(x)= (ax+ 1)ex .(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当a> 0时，求函数f(x)在区间-2,0上的最小值.解：定义域为 R, f (x) (ax 1) ex (ax 1)(ex)ex (ax a 1)'x(i)当a 0时，f (x) e 。，则f(x)的单调增区间为(，)当a 0时，解f (x)则f(x)的单调增区间为当a 0时，解f (x)则f(x)的单调增区间为0 得，xa-1,解 f(x) 0得，x-1 ,aa(三，),f(x)的单调减区间为(，.a-J) a'

30、a0得，x-1,解 f(x) 0得，xa，aa(, U), f(x)的单调减区间为(a，)aaa 0(n)当 a ia时,2a 1、a 1即当a 1时，f (x)在(2, )上是减函数，在( ,0)上是增函数，则aa函数f (x)在区间-2,0上的最小值为f(一)aea 0当 a 1 时，即当0 a 1时，f(x)在2,0上是增函数 21 2a2- ea则函数f(x)在区间-2,0上的最小值为f( 2)a 11 2a2- e综上：当a 1时，f (x)在区间-2,0上最小彳1为ae -当0 a 1时，f (x)在区间-2,0上最小值为反思总结：利用导数求函数最值问题 典例：(14 分)已知函数

31、 f(x) = ln x-ax (aCR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.提示(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f' (x)>0, f ' (x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在1,2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式中含有参数 a,要对参数 a进行分类讨论.1解(1) f ' (x)=-a ( x>0) , 1 分 x一,1 一 一，一、,当a<0时，f (x)=a>0,即函数f(x)的单倜增区间为(0, +8). 3分x当 a&g

32、t;0 时，令 f' (x) = 1a=0,可得 x=1, xa11 ax当 0<x<a时，f ' (x) = -x>0; 11 ax当 x>a时,f xx)=0Q,故函数f(x)的单调递增区间为 0, 1 , a 1单倜递减区间为 -，+°° .5分a(2)当1W1,即a>l时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2 2a. a9分-1 r1 , 一，一、一 ,，一，一当-2,即00aw不时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的取小值是f(1) = a a2.10 分当1&l

33、t;1<2,即10a<1时，函数f(x)在1, 1上是增函数，在 1, 2上是减函数.又f(2) -f(1) = In 2-a, a 2、 aa一,1，一，一所以当20a01n 2时，取小值是f (1) = a;当 In 2 wa01 时，最小值为 f(2) =ln 2 -2a.12 分综上可知，当00a01n 2时，函数f(x)的最小值是一a；当a>ln 2时，函数f(x)的最小值是In 2 2a.14分注意 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型.(2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，不准确的情况.(3)思维不流畅，答题

34、不规范，是解答中的突出问题 方法总结方法1 .注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想.2 .求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3 .在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.总结1 .求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2 .函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.3 .题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ' ( x) = 0时的情况；区分极值

35、点和导数为 0的点.巩固练习(时间：35分钟，？分：57分)、选择题(每小题5分，共20分)1.若函数y=f(x)的导函数y=f' (x)的图象如图所示，则 y=f(x)的图象可能f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除答案解析根据f ' (x)的符号,A, D;从适合f ' (x)0的点2.3.4.可以排除B.设aC R,若函数y=ex+axxC R有大于零的极值点，则A. a<- 1B. a> 11C. a> e1D. a< e答案 A解析 y = ex + ax,y' =ex+a.函数y=ex+ax有大于零的极值点,则方程V&

36、#39; =ex+a=0有大于零的解,. x>0 时，一ex< 1,a= - ex<- 1.函数f (x) =x3-3x2+ 2在区间1,1上的最大值是A. - 2答案 CB. 0C. 2D. 4解析(x)= 3x26x,令 f ' (x) = 0,f(x)在-1,0)上是增函数，f (x)在(0,1f (x)max=f(x)极大值= f(0) =2.取值范围是A. a<2C. 4< aw 6答案解析因为f(x)所以得 x= 0 或 x= 2.上是减函数.3-1ax2+(a-1)x+ 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6+ oo)内为增函数，则实数B.

37、 5< a<7D. aw 5 或 a>71 312,、/=F2ax + (a- 1)x+ 1,f' (x) = x2- ax+ a-1,由题意知当1<x<4时，f' (x)W0恒成立,即x2-ax+a-1<o在(1,4)上恒成立, a(x- 1)>x2-1, a>x+ 1(1<x<4),所以a>5.同理a<7.、填空题（每小题5分，共15分）5 .已知f(x) =2x36x2+m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在 2,2上的最小值为 答案 37解析 f z (x) = 6x212x= 6x( x

38、2),f(x)在(一2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当 x=0 时，f(x) = m 大.mp 3,从而 f( -2) = - 37, f(2) = 5.，最小值为一37.）内单调递6 .已知函数 f(x)=(mr 2)x2+( n24)x +m是偶函数，函数 g(x) = x3+2x2+m肝5 在(一 oo, + oo减，则实数m=.答案 2解析若 f(x) = (m- 2) x2+( n24) x +m是偶函数， 2.则 m-4= 0, m= ±2.若 g' (x)=3x2+4x+mco 恒成立，4则 A = 16 + 4X3 me 0,解得 me -故 m=

39、 - 2.37. 函数f (x) =x3+3ax2+3( a+2)x+1有极大值又有极小值，则 a的取值范围是 .答案 a>2或a<- 1解析 f (x) =x3+3ax2 + 3( a+2)x+1, 21. f (x) = 3x+6ax+3(a+2).令 3x2+6ax+3(a+2) = 0,即 x2+2ax+ a+2 = 0.:函数f(x)有极大值和极小值，方程x2+2ax+a+2= 0有两个不相等的实根.即 = 4a2 4a 8>0,，a>2 或 a<1.三、解答题(共22分)8. (10分)已知函数f(x)=ax2+bln x在x= 1处有极值1.(1)求

40、a, b的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间.解 (1) f ' (x) = 2ax+b.又 f (x)在 x=1 处有极值1. x2f 1=1,a=1,1得2即2解之得a= 2，b=-1.f'1 =0,2a+b=0.(2)由(1)可知 f(x)=2x2 ln x,其定义域是(0, +8),1 x+1 x 1由 f' (x)<0 ,得 0Vx<1;由 f ' ( x)>0 ,得 x>1.所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1, +8).19. (12 分)已知函数 f(x)=ln| x| ( xw0),函数 g

41、(x) =-F af' (x) ( xw。).f x(1)求函数y= g(x)的表达式；(2)若a>0,函数y=g(x)在(0 , +°°)上的最小值是 2,求a的值.解 (1)因为 f (x) = ln| x| ,所以当 x>0 时，f (x) = In x,当 x<0 时，f (x) = ln( -x).1所以当x>0时，f ' (x)=-, x当 x<0 时，f ' (x) = (1) = 1xx所以当xwo时，函数y= g(x)=x+a.x(2)由(1),知当 x>0 时，g(x) = x+ -. x所以当

42、a>0, x>0时，g(x)>2、ja,当且仅当x=qa时取等号.所以函数y=g(x)在(0 , +8)上的最小值是 2审.所以2>ya=2.解得a= 1.拓展训练(时间：25分钟，？t分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 . (2012 重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f' (x),且函数f(x)在x=2处取得极小值，则函数=xf ' (x)的图象可能是()答案 C解析 .f (x)在x=- 2处取得极小值，当x<2时，f(x)单调递减，即f' (x)<0;当x>- 2时，f(x)单调递增，即f'

43、 (x)>0.，当 x<2 时，y = xf' (x)>0;当 x=2 时，y=xf' (x)=0;当一2<x<0 时，y = xf ' (x)<0 ;当 x= 0 时，y = xf ' (x) = 0;当x>0时，y = xf' (x)>0.结合选项中图象知选 C.2 .函数y=xe-x, x 0,4的最小值为()A. 0 B. C. 4 D. 2 e e e答案 A 解析 y' =- e x(x-1),y'与y随x变化情况如下表:x0(0,1)1(1,4)4y，十0一y0/，-1 取极大值-e1 4-4 e当x=0时，函数y = xe-x取到最小值0.3 . f(x)是定义在R上的偶函数，当 x<0时，f(x) + x f' (x)<0 ,且f(4) = 0,则不等式xf(x)>0的解集为A. (4,0) U(4, +00)B. (4,0) U (0,4)C.