函数定义域值域求法(全十一种)

1、创作編号丄GB8878185555334563BT9125XW创作肴：凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的左义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的 不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的左义域。Jx? 一2 _15 例I求函数y=*L眈义域。解：要使函数有意义，则必须满足x2-2x-150(Dlx + 3l-80由解得x-3或xh5°(3)由解得XH5或XH-Il 和求交集得X S -3且XH-Il或x>5°故所求函数的定义域为x I X 一3且X -llxlx>5.例2求函数y = sinx+ 1 的左义域

2、。16-x2解：要使函数有意义，则必须满足SinX 016-x2 >0由解得2k X + 2k, k Z 由解得-4vxv4(4)由和求公共部分，得-4< X S-Tl或OVX 故函数的左义域为(-4, - U (O, 评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽k函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个 抽象函数的泄义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1) 已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域(2) 其解法是：已知f(x)的定义域是a,b求fg(x)J的定义域是解a S g(x) b, 即为所求的定义域。例3已知f(x)的定义域为一

3、2, 2,求f(x2-1)的定义域。解：令一 2x2-12, W-lx2 3,即 0Sx's3,因此 OVXISj从而-3x3>故函数的立义域是xl-3x3o(2)已知flg(x)J的定义域,求f(x)的定义域。其解法是：已知flg(x)J的泄义域是a, b,求f(x)义域的方法是：由axb, 求g(x)的值域，即所求f(x)的泄义域。例4已知f(2x + l)的泄义域为1 2,求f(x)的崔义域。解：因为lx2,22xS432x + l5°即函数f(x)的定义域是x 3x<5o三. 逆向型即已知所给函数的泄义域求解析式中参数的取值范用。特别是对于已知立义域为 R

4、，求参数的范用问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数y = nx2-6x+m + 8的泄义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的泄义域为R,表明mx2 -6mx + 8 + m 0,使一切xR都成立， 由X?项的系数是n所以应分m=0或mH进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R：当m H 0时，nix2 -6mx + in + 8 0是二次不等式，其对一切实数X都成立的充 要条件是m > 0 = (-6m)2 一 4m(m + 8) 0=> 0 < m 1综上可知0 m 1。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。kx +7例6已知函数f(x)

5、=的左义域是R求实数k的取值范用。kx- +4kx+3解：要使函数有意义，则必须kx2+4kx+3 0恒成立，因为f(x)的左义域为R,即k+4kx + 3 = 0无实数3 当kHO时，A = 16k2-43k VO恒成立，解得0 VkV二：4 当k=0时，方程左边=30恒成立。 综上k的取值范用是Okv°°4四、实际问题型这里函数的泄义域除满足解析式外还要注意问题的实际意义对自变虽的限制， 这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长X的函数的解析式，并 求函数的定义域。解：设矩形一边为X，则另一边长为-(a-2x)于是可得矩形而积。2

6、1=-X +-ax O2由问题的实际意义，知函数的左义域应满足=> -(a - 2x) > 0 a - 2x > 0Qla故所求函数的解析式为y = -X?+ax,泄义域为(0,例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2,求此框架用成的而积y与X的函数关系式，并求左义域。创作編号上GB8878185555334563BT9125XW创作肴：凤呜大王*解：由题意知，此框架帀成的而积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图。因为CD=AB=2x.所以Cb = x,所以AD=L-AB-CD=LJxrx= -(2 + y)x2 +Lx根据实际问题的

7、意义知2x > 0故函数的解析式为y = -(2 + =)2+Lx,定义域(0, -t-)02 + 2五. 参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知f(x)的定义域为0,1,求函数F(x) = f(x+a) + f(x-a)的定义域。解：因为f(x)的定义域为0, 1,即0xl°故函数F(X)的泄义域为下列不 等式组的解集：0 x + a 1f- a < X 1 - a0x-al a x < 1 + a即两个区间一a, l-a与a, l+a的交集，比较两个区间左、右端点，知 (1)当一丄aSO时，F (X)的定义域为xl-a<xl +

8、a:2(2) 当OSaS*时，F (X)的定义域为xlaxl-a:(3) 当a>l或丄时，上述两区间的交集为空集，此时F (X)不能构成函2 2数。六. 隐含型有衣问题从表而上看并不求立义域，但是不注意泄义域，往往导致错解，事实上 怎义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其左义域的子集。因此，求函数的单调 区间，必须先求定义域。例10求函数y = IOg2(x'+2x+3)的单调区间。解：由一x2+2x + 3>0,即x2-2x-3<0,解得_1vxv3。即函数y的泄 义域为(-1, 3)o函数 y = log2(-x2 +2x + 3)是由函数 y = Iog21,

9、 t = -x2 +2x +3 复合而成的。 t=-x2+2x+3 = -(x-l)2+4,对称轴x=l,由二次函数的单调性，可知t在 区间(YC,1上是增函数；在区间l, + oo)上是减函数，而y = Iot在英左义域上单调 增：(-13) (-JJ = (-14J,(-13) 1, + ) = 13),所 以 函 数y = log2(-x2+2x +3)在区间(-1,1上是增函数,在区间1,3)上是减函数。函数值:½WI1对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 _ 1例L求函数丫匚的值域。解：TxhO-0 X显然函数白饰域是：(f) U (O,+co)例2.求函数y=3

10、-仮的值域。解：.仮 Oyfx 0,3 x 3故函数的值域是：一如2. se½配方法是求次函数值域1 基本的方法。 例3.求函数y" -2x + 5,x*l,2的值域。解：将函?己方得:y = (x-l)2 +4由二次函数的性质可知：当X二1时，y>in=4,当X=-I , Ymax =8故函数的值域是：4, 83.糊屈_ l + x + x2例4.求函数" + 2的值域。解：原函数化为关于X的一元二次方程(y-i)2 +(y-i) = O(1)当yHi时,R = (-l)2 -4(y-l)(y-l)01« <3豁 2y2(2)当尸1时,=0

11、,而'12故函数的值域为L2V例5.求函数y = + J(2-X)的值域。解：两边平方整理得：2x2-2(y÷l)x÷y2=0 (I)VxeR = 4(y+ )2 -8y 0解得：i-y + 但此I甘的函数的定义域由x(2-x)no,得O5X2由40,仅保证关于X的方程：2xjy + l)x + y2=0在实妳 R 有实根，而不能确保其实根在区间0, 2上 即不能确保方程(1) 有实根，由丸求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此 函数的值關雳。可以采取如下方去进涉确定原函数的值域。V0x2. y = X + J(2- X) 0-yIin=O,y = + 代入方

12、程(I)Xt= 2÷2-212ei2j2创作編号上GB8878185555334563BT9125XW创作考：凤呜大王*2 + f2-242即当XI=2 时，原函数的值域为：°i + Q注由判別式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实 数剰寸，合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义嫌确定 原函数的值域。3x + 4例6.求函数5x + 6值域。X 二 4 _ 6y解：由原函数式可得：5y_3_ 4 _ 6y3则其反函数为y"5x-3 ,其定义域为X亏故所求函数的值域为:-oo'l)直接求函数的值

13、域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客 为主来确定函数的值域。例7.求函数，、+1的值域。e× _y + i解：由原函数式可得：一戸VeX >0圧>0.y-1Wf -1<y<1故所求函数的值域为(TJ)COSX例8.求函数HSinX-3的值域。解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y,可化为yr+l sinx(x + ) = 3y3ySinX(X ÷)= '7即尸VxeR2 2解得厂Z丁 . SinX(X+ )-lj2 2 故函数的值域为孑Z6.函数单调ffi_例9.求函数y = 2" ÷ Iog3 C(2 X

14、10)的值域。 解：令y=2x5,y2=iog3 贝忖y在2, IO上都是增函数所以y = y+y2在2, 10±增函数当x=2时,Ymm =23 + Iog3 =1当 X二 10 时，yu = 2'+log3Q = 33故所求函数的值域为例io.求函数y=浪仮刁的值域。y= _2 解：原函数可化为仮右+E令力=,y2=y显然yy在【1，+刈上为无上界的增函数 所以W y?在【1心上也为无上界的增函数所以当X二I时，y沙+%有最小值0 原函数有最大值石一血 显然y>°,故原函数的值域为(°，妬7. 7IJZi通L简单的换元把一个函数变为简单函数，其题

15、型特征是函数解 析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法屮几种最主要 方法之一，在求函数的值域屮同样发挥作用。例11.求函数y=+Q的值域。解：令x-l = t, (t0) 则 x = t2+l71少 3.y = L +t + l = (t + -) +-又0,由二次函数的性质可知当t=0 时,yin=l当t时，y->+故函值脚h÷)例12.求函数y = x + 2 + Jl 一 (x + l)2的值域。 解：因l-(x + l)20即(x + l)2l故可令 X + l=cos . O, .I y = cos +1 + Jl-CoS2 P =sin + cos +1

16、=V2sin( + -) +1405 卩 ,0÷-.02sin( + -)÷lI + 故所求函数的值域为E +阿例13.求函数"X4+2x5的值域。_ 1 2x l-x2解：原函数破形为y2xTTxTT.rc I X严 C=SIn 2p. = COS* l + 当时，一盲 而此中an卩有意义。 14淡医遵 y = (sinx + l)(cosx+5* JL2sfMM。 孺"y H (Sin x + I)(COS x +1) HSinXCOSX + Sinx +Cosx +1÷0OS丑【HSin X + Cos X Hsin(x + 二、4)lJ

17、I-GB8878185555334563BT9125XW些帝浙dlDl越孑w: is*131IH1耳 N < .J15医y2+4+J5lx23MO賁-5ix20 9 凹適汽 ÷x Hlcos Bmp耳 WS COS + 4 +lsin H<lsin(F + Z) + 4oFn no n5n4-440H'49 Fx "4 +自-8故所求函数的值域为10.÷炳俅函馳值域 14-A4÷1OJ8. 1其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公 Jw率需 这娄题目合法，往往会動口简单，_ 目了然，赏心悦目。例16.求函数y = J

18、(x 2)J> 解：原函数可化简得Ex-2l+lx + 8l上式可以看成数轴上点P(X)至IJ定点A (2), B(-8)间的距离Z和。 由上图可知，当点P在线段ABJtM, y-2÷÷8WAB=o 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=lx-2l + lx + 8l>IABI=10 +J(x+8)2的值域。BPA例 17.求函数y = Jx-6x + 13 + Jx'+4x+5 的值域。 解:原函数sW为：y = 7(x - 3)2 +(0 _ 2)2 + ( + 2)2 +(0+1)2上式可看成X轴上的点P(XO)到两定点A(3,2),B(

19、-2,-1)的距离Z和, 由图可知当点P为线段与X轴的交点时，ymin =I ABI= J(3 +2)2+(2+1)2 =阿故所求函数的值域为辰+Q例 18.求函数y = Jx-6x + 13-Jx'+4x+5 的值域。解：将函数变形为：y = J(x-3)2 +(0-2)2 -J(x + 2)2 +(0_)2上式可看成定点A (3, 2)到点P(X, 0)的距离与定点玖-2,1)到 点Pg。)的距离之差。即：y=JAPI-IBPI由图可知：(1)当点P在X轴上且不是直线AB与X轴的交点时, 如点P,则构成AABP,根据三角形两边之差小于第三边，有IIAPl-I BP,ll<d

20、ABI= (3+ 2)2+(2-1)2 = 26即：-殛勺<压(2)当点P恰好为直线AB与X轴的交点时，有Il APl-IBPIl=IABI="26缘俩述，可知函数的值域为：(-购,岳I注 由例17, 18可知，求两距离Z和时，要将函数式变形，使A、 E两点在X轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A, B两点在X轴的 lJM女山例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2),(-2，-1),在X轴的 同侧；例18的A, B两点坐标分别为(3, 2),-1),在X轴的同侧。9._利用基本不等式a + bh2j不,a + b + C3応(a.b,cR + ),求函数的 最值,其题型f工

21、疑和式时要求J定值,疑Wt要求 和为定值，不过有时需要用至师页、添项和两边平方等技巧。1 . 1 ?例 19.求函数y=E+昴广+(COSX解：原函喊形为：y = (Sin X + cos - X) + ；+；Sin -X COSfc X= l + ces2x + sec2 X =3 + Ian2 X + cot2 X 3Vlan2 Xcot2 X + 2 =5、1 且仅 MZItanX=COtX即当X = kiz时(心)，等号成立故原函数的值域为【5出0)= 4sin2 XCOS Xy = 16sin4 xcos2 x=8 Sin2 X Sin2 x(2 - 2sin' x)8(sin2 X + Sin2 x + 2-2sin2 x)3F64=27，_2由y '刃可得：9当且仅当sW = 2-2sh,即当Sm x = 3,等号成立。 2,64838383 83'故原函数的值域为L 9910.原理：因为y斗 CHO)ex+ d在定义域上X与y是一对应的。故两个变S中，若知道一个軽范围，就可另一个变&范围。1 -3x例21