高中数学不等式证明典型例题(精选.)

1、word.不等式证明典型例题例 1 If0<x< 1» 证明|log“(lx)| >|loga(l + x)| ( a >0 且W1).分析1用作差法来证明.需分为和0<<1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明.解法I (1)当时，因为 0vl-xvl+ x> 1,所以 |loga(l-A-)|-|logJl + x)| =-logn(l-x)-logfl(l + x) =-logfl(l-x2)>0.(2)当Ovavl时，因为 Ovl-xvl,l+x>l所以 |loga(l-X)|T】Og(l+X)| =logn(l-X)+

2、 logfl(l+X)=logfl(l-X2)>0.综合(1) (2)知|loga(lr)|>pog(l + M.分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2作差比较法.因为 |loga(l_X)|Tlog(l+X)|詈2=出忸1一刈一回1+刈=出一.一此一十刈二温网一号。所以 |k)ga(1 -刈 > |loga(l 4-X)|.例2设求证：/庐证明:察=加咻严Va>b>0, ：,->,a-b>0.：. (-)a-b > 1.bbahba又.%“ >0, ：.aabb >abba.例3对于任意实数a、b,求证人出之(匕2)

3、4 (当且仅当。=。时取等号) 22证明： a2 +b2 > 2ab (当且仅当/=时取等号)两边同加(/ +/ ) ： 2(a4+h4)> (/ +/?2 )2 ,即:a4+b4 y a2+b2 2八一*/(1)例 6 若。>0,>0,且 2c>a+，求证：c yjc2 -ab <a <c + Jc2 -ab.证明：为要证 r-Jc。- ab < a <c + y/c2 - ab.只需证Jdab<a-c< y/c2 -ab , 即证|t/-c|< jc2 -ab ,也就是(。一。)？ <一。，即证/-2“c v-a

4、，即证2ac > 4(“ + Z?),a > 0,2c > a + b,b>0 ,/. c > -_- > -Jab ，故c> ab 即有/ -ab > 0 , 2又由2c > a+b可得2cic> a(a +。)成立，/.所求不等式c - ab <a <c + >/c2 - ab 成立.例 7 若“3+r=2,求证 a+042.证法一：假设 a + >2,则/+/ =(。+ )(。2一4 + 2)>2(。2-4 + 2), 而/ +b3 = 2 ,故(a' ab + h1)< ./. +

5、ab>a +b2 >2ab .从而 a<l, /. a2 +b2 < + ab<2.(a + b)2 =(r +b2 + 2ab <2 + lab <4 . *. a + b<2 .这与假设矛盾，故a + A«2.证法二：假设a + >2,则。>2，故 2 = “3+/0 >Q 一万)3+3,即 2>8-12/? + 6，即(-1)2<0,这不可能.从而。+。42.证法三：假设二+ b>2, WlJ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 .由 a'+/=

6、2,得3a"a + A)>6,故a(a + Z>)>2.又 a，+ /=(a + b)(a - ab + 3) = 2 ,:.ab(a + b)> (a + b)(a2 - ab + b2)./. a2 - ab + b1 <ab ,即(«-£>)2 <0 .这不可能，故a + <2.例8设x、y为正数，求证yjx2 + y2 >壮+.分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法.证明：要证 J/ + y2 >y/+y3 ,只需证(小+/)3>(/+),3)2,即证 f +3/),2 +3"2

7、y4 +y6 >46 +2fy3 +),6,化简得3x4y2 + 3x2y4 >y2(3x2 - 2xy + 3y") > 0 . = 4y2 -4x3x3y2 <0, A 3x2 -2 + 3y2 >0./. x2y2(3x2 - 2at+ 3y2)>0.工原不等式成立.例 9 已知 lK-+y2K2,求证l4%2x），+y2«3.2证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数九 Vl<x2+y2<2,可设工=，-05。，y = rsin 6 ,其中 1S r W, 0< 0 < 2k .，x1 -xy+y2

8、 =r2 -r2 sin6cosG = r2(1 - - sin20)2由，Kl-，sin2eK2，故，/ <r2(l- -sin26)<-r2.22222241而上/-r2 <3,故 上«*2一叶 2<3.2222例io设是正整数，求证?$_+1二+<i.2 /i + l n + 2 2n分析：要求一个项分式一匚+不+的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零” 的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.证明：由2N + A>（A = 1,2,），W2/1 n + k n当=1 时，-L< <1：In n + i n当女=2 时，&

9、lt;!<1In n + 2 n当&=时，<L<1. 2/7 n + n n.1ft11nt22nn + n + 22nn2-i a.f 八(a - b) ci + h i (a -厂例 11 已知求uE： <-y/ab <8428b证明：欲证"上一疝<ii, 8a 28b只须证""二< a + / 一 2疝仁“二.4a4bnnm、“4 - /rr a - b 口. Ja+yZ? Ja+J即要证<&一扬即要证一<1<-J, 2yja2yh2yla2"即要证& t?'

10、;% <2<弧.即要证1 +巫<2<g + l ,即已<1口.47i 4b反 斑 V a V b即要证(*) a b9：a>b>0, ：. (*)显然成立，故135<丝空&128b例12 如果 x, y, zeR,求证：x8 + / + z8 > x2y3z3 + y2z3A：3 + z2x3y3 .证明：: X8 + y8 + / =(丁尸 + ()4 尸 +(z4)2>x4/+yV+z4x4 = (x2y2)2+(y2z2)2 +(z2x2)2> x y- y-z. +,Lz z.厂 +厂厂 = (x)2z)2 +(

11、yz2x)2 +(zx2y)2>xy2z yz2x + yz2x-zx2y + zx2y- xy2z=x2y3z? + >,2z3a-3 + z'V . / + / + z«> x2/z3 + y2z V + z2x3y3 .例13己知0<4<l, O<Z?<1, O<C<1,求证：在(1一)4(1 一份c,(l-c)a三数中，不可能都大于1.4证明：假设(1 一 a)b,(lb)c, (1 c)。三数都大于 4即(1 一，(1-Z?)c>- . (l-c)a> . 444又 丁 0 v。v 1, 0 <

12、 /? < 1, 0 < c < 1,* y/(l-a)b > - , J(1 -I)c > , J(1 - c)n > 222 3-l)c + J(1 -c)a > 又&T育4上二F，灰匚历匕口，尸砺三土色. 乙乙乙以上三式相加，即得：J(1 - a) . b + Ji1 b) c + yl( c)-a 4 弓 显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证.例14已知“、b、c都是正数，求证：21色裂、1石)43；匕二一4次).证法一：要证彳等卜而431号上只需证4 + 一 2>ab <a + b + c - 3>Jabc ,即 一

13、 2， <c- 3labc ,移项，得c + 2yab > 3>labc .由 、b、c 为正数，c + 2ylab = c + y/ab + y/ab >3y/abc .原不等式成立.证法二："、b、。为正数，/. c + ylab + yab > ?Cyab - 4ab = 3labc.即 c + 2yab > 3labc ,故一2八区 <c - 3abc ./. a + b- 2yab <a + b + c- 3fabc ，说明：题中给出的7, g +：一£,师，只因为“、。都是正数，形式同算术平均 数与几何平均数定理一

14、样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了.例 15 已知>0, /?>0 ,且0 = 1.求证：。,（右一工乂后 + L）<1 .Cl y/ay/b证明：令“usee?。，/? = tan20, KO<0< >2则,(G - 1)(北+ 4)= (sece 工).(lane +)a yja y/h sec-。 sec0tan©=cos2 6(cos0八、zsin6 cos。、一 cos6) (+)cos0 sin 62n snre 1.八= cos 0= sm Gcos0 sin 0 cos 0VO<0< ,

15、.,.0<sme<l,即 0v,(6-二)(赤+ ：)vl 成立.例16已知;r是不等于1的正数，是正整数，求证（1 +/乂1 +幻”>22f.证明：x是不等于1的正数, /. +X> 2yfx > 0 ,A (1 + xf >2/j7F.又1 + x" > 2">0.将式，两边分别相乘得(1 + / )(1 + A-)w > 2". 2” .而，(1 + X” )(1 + W > 2"L / .word.例 17 已知，x, y, z wRj 且x + y + z = l,求证6 +J7 +证

16、明：要证6+行+兵工的，只需证x+y + z + 2（/E +J五+ J贡）43 ,只需证毒、石3 +/？工1.；X, y, zwR-,/. x + y > 2y , x + z> 2yxz , y + z> 2yyz , ，2（x + y + z）> 2（/ + 4 + yfyz） >，+ 4xz + yfyz < 1 成立.，yx + J7 + Vz <V3 .例18求证1 + 4 +二+. +<2 2- 3-irFB 11 1111/立E 明 = 一 一 <=（ 之 2）,%（九一1）一 1-1 11 ” “ a n 1 n c 1

17、。22 32 n2 U 2）12 3）（一1 n） n例19在AA8C中，角A、B> C的对边分别为a, b, c,若A + CK28,求证(J+cJwZZ/.分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.证明： A + C = 7i-3W23, A B>-9 cosB<-. 32由余弦定理得=a2 +c2 - 2accos B>cr +c2 -ac/. a2 +c2 <b2 + ac ,，a4 +c4 =(a2 +c2)2 - 2a1 c2= (a2 +c2 + y/2ac)(a2 +c2 - 2ac)<b2 +(V2+ )ac

18、 . b2 -(72 - )ac=b4 + 2ac - b2 -a2c2= -(ac-b)2 +21/ < 2b4一元二次不等式：【规律方法】(D不等式a/+Ar+cO的解集是全体实(2不等式ax'+ 工+c<0的解染是全体实数(或恒成数(或恒成立)的条件是当0=0时,6=0,c>0;土附条件是当a=°时，b=0.c<0:当a#0时.4°.当aK。时，：类似地还有/(力&a恒成立Of( < aif(恒成立Q f( x),.ui.2a一元一次不等式的解法：(依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示)X2 + (3-)X +< 0

19、例1、已知关于入的不等式在（-2, 0）上恒成立，求实数的取值范围.例2.关于x的不等式y=og2（-ax2+ax + l）对所有实数x£R都成立，求，的取值范围.例3、若关于x的不等式/ ar 。> 0的解集为（s,+s）,则实数。的取值范围是：若关于工的不等式-的解集不是空集，则实数。的取值范围是o （ -4.0） , （ oo,6 U 2,-K>o）几个重要不等式（1）若awR.则 lalNO./no（2）若0、+b2 >2abia2 +b >2ab2ab）（当仅.当 a=b 时取等号）（3）如果力都是正数，那么石竽.（当仅当a=b时取等号）一正、二定、

20、三相等.若公b、c".账罗际（当仅当a=b=c时取等号）（5）若岫>。,则曙2 （当仅当a=b时取等号） a h">OH寸，Ix 1> “ u> a' >a' co x< -u 或 x>a；I xl<a c=> x' < u' o -a < x<a（7）若“、beRMa-bla+ba + b常用不等式（1）声 > 且尹>yb> 产（根据目标不等式左右的运算结构选用）； a + b（2）小 b、cgR, a2+b2+c2>ab + bc + ca （

21、当且仅当a= = c时，取等号）：（3）若m>0,则2<处丝（糖水的浓度问题）。如 a a + m如果正数、8满足，心= 4 + 6 + 3,则，力的取值范围是（答：9,+S）常用不等式的放缩法：二-L =yLy=_L _1（m2）n + 1 （"+ 1） n' n（n-） n- n jn + y/n = = Y = Y = y = y/fl y/ll I（7? > 1）利 JU 函数的单调 5+。 + 1 2yjn yjn + y/7-I性简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正：（2

22、）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线：并注意奇穿过偶弹回：（3）根据曲线显现/（X）的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式（工一1）（工+ 2）2之0。（答：xIxNl或x = 2）；（2）不等式（x-2）x/x2-2x3N0的解集是（答：*1x2 3或x = l）：（3）设函数/（x）、g（x）的定义域都是R，且/（x）N0的解集为"ll<xv2, g（x）N0的解集为0，则不等式/（x）g（x）>0的解集为 （答：（/）U2,y） ）： word.（4）要使满足关于工的不等式2/-9x + a<0 （解集非空）的每一

23、个x的值至少满足不等式Q 1/4x + 3v0和/一6工+ 8。中的一个，则实数的取值范围是.（答：7,）8分式不等式的解法：先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系 数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式 <5一” <一（答：（t/）U（2,3）：厂一 2x-3（2）关于x的不等式依一>0的解集为（L+s）,则关于x的不等式竺吆>0的解集为 x 2 （答：（8,-1）U（2,+S）.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的井集）：如卜+ 1|-卜-2

24、|>"在xeH上有解，则”的取值范围是（-s,3）利用绝对值的定义；冈 va（a >0）。一a < x <a , |x| >a（a >0） <=>x <-acx > a（3）数形结合；如解不等式Ixl+如一lb>3 （答： ）U（2,一）4（4）两边平方：如若不等式l3x + 2以2x + al对xwH恒成立，则实数的取值范围为。（答：）3含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后 要写上：“综上，原不等式的解集是"。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其

25、解集：但若按未 知数讨论，最后应求并集.22如（1）若loga-Vl,则。的取值范惘是 （答：或0<。<一）；（2）解不等式一二>x（"£R） ax-（答：。=0 时，x x<0） ： >0 时，xlx>L 或 xvO；。<0 时，x|L vx0或 xv。）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示：（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式at-8>0的解集为（-匕1）,则r 7不等式上二>0的解集为（答：（- 12）ax + b含绝对值不等式的

26、性质：a、b同号或有0 U>la+bHal + WINIIal-gllTaVI：。、b异号或有0+之如设/（x） = %2 -x + 13 ,实数。满足 lx-alvl,求证：l/（x）-/（a）l<2（lal+l）不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分word.离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)1) .恒成立问题若不等式/(x) > A在区间。上恒成立,则等价于在区间D ±/(j)n,n > A若不等式/(x)< 8在区间。上恒成立,则等价于在区间。上f(x

27、 <B如(1)设实数X,)，满足/+()，1尸=1 ,当x+y + cNO时，c的取值范围是 (答：(2)不等式卜-4| +卜-3|>。对一切实数x恒成立，求实数"的取值范围 (答：a<)；(3)若不等式1)对满足|归2的所有机都成立，则x的取值范围 (答:V7-1 百+1(，)；(4)若不等式(一1)。<2 +(一1)川对于任意正整数恒成立，则实数。的取值范围是（答:(5)若不等式/一2a+ 2? + 1>0对04工1的所有实数不都成立，求加的取值范围.(答:m >)22) .能成立问题若在区间。上存在实数x使不等式/(x)> A成立,则等

28、价于在区间。上/(1),心> A ：若在区间D上存在实数x使不等式/(X)< B成立,则等价于在区间。上的/(xL < 3 ,如已知不等式k-4| +k-3|<4在实数集R上的解集不是空集，求实数。的取值范围(答：。>1) 两个重要函数Jxl + U - ”>3函数y=x+：练习：4511、已若X>1,求2 + 3x + 的最小值.已知XV二，求函数y=4x-2+的最大值x-144x-51 92、知且一+ = 1,则x+y的最小值是.若x + 2y = l,则2'+4''的最小值是3、知a, b, c, d均为实数，有下列命题:

29、<1> 若 ab > 3 be-ad >0 9 PIO - - - > 0 ： <2> 若"Z?>0, - - - > 0 , 510 be ad > 0 a ba bword.c （1v3>若匕c a>0,则（曲>0其中正确命题是（）a b4 ,求函数的最小值.小）二1；%>-1） 人* A5、求证：l + y + -p-HFy<2X（l -V）2= -2x（1 X）（l X）< （） 3=二元一次不等式组与简单线性规划问题1 .二元一次不等式表示的平面区域：直线7: ax+by+c=O把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线/上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=O（2）直线/一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0（3）