专题六轴对称概要

1、 轴对称与轴对称图形 、知识点: 1、轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，那么这个图形叫做轴对 称图形，这条直线叫做对称轴。 3 .轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个局部沿某直线 对折能完全重合。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系：两局部都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果

2、把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这 个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的局部看成两个图形，这两个局部图形就成轴对 称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、 相交的两条直线等。 4 .线段的垂直平分线: 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。也称线段的中垂线 5 .轴对称的性质: 成轴对称的两个图形全等。 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6 .怎样画轴对称图形: ZL 画轴对称图形时, 应先确定对称轴，再找出对称点。 、举例: 例1 :判断题: 角是轴对称图形, 等腰三角形至

3、少有 对称轴是角的平分线； 1条对称轴，至多有3条对称轴; 关于某直线对称的两个三角形 定是全等三角形; 两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 例2:以下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题 图形空白处填上恰当的图形. .请在以下一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把 小正方形组成的L形图 方法23 画一个小正方形使它成为一个轴对称图形: ABC和直线1,请作出AABC关于直线l的对称三角形 S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点 S 的位置，并将光路图补充完整 例6:如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于 E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球

4、E, 才能使黑球先碰撞台边 AB反弹后再击中白球F? E F 3 A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短? 例8:如图，OA、OB是两条相交的公路，点 P是一个邮电所，现想在 OA、OB上各设立一个投递点，要想 使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？例4:如图，: 例5:如图，DA、CB是平面镜前同一发光点 例7:如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄 4 线段、角的轴对称性 一、知识点： 1 .线段的轴对称性： 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线, 另一条是这条线段的垂直平分线。 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 到线段两端距离相等的点，在

5、这条线段的垂直平分线上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2 .角的轴对称性： 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 角平分线上的点到角的两边距离相等。 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 二、举例： 例1 :A ABC中，AB=AC=10 , DE垂直平分 AB,交AC于E, BEC的周长是16。求 ABC的周长. 例2：如图，/ AOB及点C、D,求作一点P,使PC=PD,并且使点P到OA、OB的距离相等。 例6:如图，：AD和BC相交于O, / 1 = /2, / 3=/4。试判断AD和BC的关系，并

6、说明理由 例7:：如图， ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于 D,过C作CF，BD于F,交 DE 于 G, DF=1BC,试说明/ FCB= -ZB 2 2 例8:：在/ ABC中，D是/ ABC平分线上一点，E、F分别在 AB、AC上，且DE=DF。试判断例3:如图，直线l及其两侧两点A、B (1) 在直线l上求一点 P,使PA=PB ; (2)在直线l上求一点Q,使l平分/ AQB - l A , 例4：如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, 可供选择的地址有几处？如何选? 例5:：如图，在AABC中，O是/B、/C

7、外角的平分线的交点，那么点 O在/A的平分线上吗？为什 么？ D F G E 6 / BED 与/ BFD的关系，并说明理由. 例9:：在 ABC中，D是BC上一点，DEXBA于E, DFXAC于F,且DE=DF.。试判断线段 AD与 EF有何关系？并说明理由。 例10:如图，：在 ABC中，/BAC=90 , BD平分/ABC, DEBC于E。试说明BD垂直平分 AE 等腰三角形的轴对称性 一、知识点： 1 .等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等；简 称“等边对等角等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 简称

8、“三线合一 2 .等腰三角形的判定： 如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；简称“等角对等边 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 3 .等边三角形： 等边三角形的定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 等边三角形的性质：等边三角形是轴对称图形，并且有 3条对称轴；等边三角形的每个角都等于 60。7 等边三角形的判定：3个角相等的三角形是等边三角形；有两个角等于 600的三角形是等边三角形；有 一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 、举例: 例1、如图， D、E两点在线段 BC上，AB = AC, AD=AE,试说明BD=CE的理由？ 例2:如图，： AB

9、C中，AB=AC, BD和CE分别是/ ABC和/ACB的角平分线，且相交于 O点 例3:如图，：AD和BC相交于O, / 1 = /2, / 3=/4。试判断AD和BC的关系，并说明理由 试说明 OBC是等腰三角形；连接 OA,试判断直线OA与线段BC的关系？并说明理由 8 例4:如图，： ABC中，/ C=90, D、E是AB边上的两点，且 求/ DCE的度数。 AD=AC , BD=BC。 9 B C 例8:如图，在等边 ABC中，P为4ABC内任意一点，PDLBC于D, PE AC于E, PFXAB于F, AM， BC于M,试猜测AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你的猜测. 等腰

10、梯形的轴对称性 、知识点: 1、等腰梯形的定义: 梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一 组对边称为腰。等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 A.D 2、等腰梯形的性质:例5：如图，： ABC中, FG与DE的关系。 BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点。试探索 例6:如图，： ABC中，/ C=900, AC=BC , M是AB的中点, MEF的形状？并说明理由。 DELBC于E, DFLAC于F。试判断 例7:如图，： ABC为等边三角形，延长 BC到D,延长BA到E, AE=BD ,连结EC、ED,试

11、说明 CE=DE 。 B C 等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。 等腰梯形同一底上两底角相等。 等腰梯形的对角线相等。 3.等腰梯形的判定： 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。 二、举例： 例1:填空： 1、等腰梯形的腰长为12cm,上底长为15cm,上底与腰的夹角为120。，那么下底长为 cm. 2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ,那么此梯形的四个内角的度数分别为 . 3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，那么梯形上底角的度数是 ; 4、等腰梯形的一个底角等于 60 ,它的两底分别为 13cm和37c

12、m,它的周长为 ; 5、如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB = CD, /A=120 ,对角线 BD平分/ABC,那么 ZBDC的度数是 _ ;又假设 AD=5,那么BC = _ . 6、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AB = AD , BD 例2:如图，等腰梯形 ABCD中，AD/BC,对角线 AC、B 例3:如图，梯形 ABCD中，AD /BC, AC=BD。试说明：, 例4:如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AD=3cm, 长比 BCE的周长大2 cm,试求AB的长. 8 A _ D =BC ,那么/ C= _ xX0。 B * C D相交十点O .

13、试说明：AO = DO . A D B C 弟形ABCD是等腰梯形。 A D B C BC=7cm, E为CD的中点，四边形 ABED的周 A D 上 11 例5:如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=CD , M为BC中点，那么： (1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗？请说出你的理由。 (2)假设连结AM、DM ,那么 AMD是等腰三角形吗 畏什么？ (3)又假设N为AD的中点，那么MN XAD 一定成立.你能说明为什么吗 ？ 例6、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=CD, E为CD中点，AE与BC的延长线交于 F. 判断SA ABF和S梯形ABCD有何

14、关系，并说明理由. (2)判断SAABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由. (3)上述结论对一般梯形是否成立畏什么？ 例7、如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, E为CD的中点，AD+BC = AB .那么: (1)AE、BE分别平分/ DAB、Z ABC吗？为什么？ (2)AE BE吗?为什么？12 例 8:在梯形 ABCD 中，/B = 900, AB = 14cm , AD = 18cm , BC=21cm,点 P从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点 P、Q分别从两点同时出 中考试题集 考点一、关于

15、“轴对称图形与“轴对称的认识 轴对称图形：如果 个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的局部能够 ,那么这个图形叫轴对 称图形，这条直线叫做。 轴对称：对于 _ 个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成 这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做 典例1.以下几何图形中，O1线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图形的有( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D, 4个 2.图9-19中，轴对称图形的个数是( ) 考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形 (1)作出一些关键点或特殊点的对称点. (2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

16、发，多少秒后，梯形 PBQD是等腰梯形? 13 典例：1、如图，RtAABC； / C=90 , / B=30 ,BC=8, D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AR DP,那么 AP+DP 的最小值是 _ D P 14 2、等边 ABC E在BC的延长线上，CF平分/ DCE P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接 AP、PQ. 假设AP=PQ求证/ APQ多少度 考点四、线段垂直平分线的性质 归类回忆角平分线的性质 典例 1、如图， ABC 中，/ A=90 , BD 为/ABC平分线，DEL BC, 2、如图， ABC中，AB=AC PB=PC连AP并延长交 BC于D,求证：AD

17、垂直平分 BC线段是轴对称图形，它的对称轴是 线段的垂直平分线上的点到 相等 角是轴对称图形，其对称轴是 角平分线上的点到 3、如图，DE是 ABC中AC边的垂直平分线，假设 BC=8厘米，AB=10厘米，那么 EBC A.16厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米 4、如图，/ BAC=30 , P是/ BAC平分线上一点，PM /AC, PDLAC PD=28 , 那么AM= 5、如图，在 RtABC中，Z ACB = 90 , /BAC 的平分线交 BC于 D. 过C点作CGL AB于G,交AD于E.过D点作DF AB于F.以下结论: 的周长为 15 /CEDg CDE S

18、aEC : SAEG =AC : AG ；/ ADF=2/ ECD S四ED =S&=B ；CE=DF.其中正确结论的序号是() A . B . C . D . 考点五、等腰三角形的特征和识别 等腰三角形的两个 相等简写成“ 等腰三角形的 、互相重合简称“ 特别的：1等腰三角形是 图形.2等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等简称为“ 特别的: 有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40。，那么它的一个底角的度数是(1) (2) 有两边上的角平分线对应相等的三角形是

19、等腰三角形. (3) 有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形. (4) 有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形. 典例 1、如图， ABC 中，AB=AC=8 D在 BC上，过 D作 DE /A Bx ACT E, DF/ AC 交AB于F,那么四边形AFDE的周长为 2、 如图， ABC中，BD. CD分别平分/ ABC与/ ACB EF过D 且 EF/ BC,假设 AB = 7 , BC = 8 , AC = 6 ,那么 AEF周长为( A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图，点B、D F在AN上,C、E在AM ,且 AB=BC=CD=ED=EFA=20o,那

20、么/ FEB= 度. 4、 A 16 5、 ABC中，DF是AB的垂直平分线，交 BC于D, EG是AC的垂直平分线，交 BC于E,假设/ DAE=20 ,那么 / BAC等于 能将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等腰三角形纸片的底角 7、，在 ABC+, / ACB=90，点 D E 在直线 AB上，且 AD=AC BE=BC 那么/ DCE=度. 8、如图：在 ABC中，AB=AC ADL BC, DEAB于点 E, DFAC于点 F。试说明 DE=DF 腰三角形. 10、：如图， ABC中，/ ACB的平分线 交AB于E, EF/ BC交AC于点F,交/ ACB的外角平分线于点 G 试判

21、断 EFC的形状，并说明你的理由. 11、如图， ABC中，AB/ DC AD= DC= CB, AD. BC的延长线相交于 (1)请写出图中4组相等的线段(的相等线段除外)； (2)选择(1)中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由 . 考点六、等边三角形的特征和识别 等边三角形的各 相等，各 相等并且每一个角都等于 三个角相等的三角形是 三角形有一个角是60的 三角形是等边三角形9、如图,E在 ABC的AC边的延长线上, BD=CE求证： ABC是等 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发, B C D C 典例1、卜列推埋中，错误的选项是 A. ./A= /B=/C, ABC是等边三

22、角形 B . / AB= AC,且/ B=, C. / A= 60 , / B=60 , ABC是等边三角形 D . AB= AC, / 2、如图，等边三角形 ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且 求证：M是BE的中点。 3、 ABC是等边三角形，分别在 AC BC上取点E、F,且AE=CF B 4、如图，点P是等边 ABC内一点，点P到三边的距离分别为 PE PF、 /C, . ABC是等边三角形 B= 60 ,ABC是等边三角形 CE= CD DML BC,垂足为 M B M C E E AF交十点D,那么/ BDF=度 A 必叫 PG 等边 ABC的高为AD A / 特别的

23、：等边三角形的中线、高线、角平分线 5、如图，D、E、F分别是等边 ABC各边上的点，且 A等边三角形 B .腰和底边不相等的等腰二角形 形 6、如图，C为线段AE上一动点不与点A、E重合 A叫BE交于点O, AD与B位子点P, BE与C区于点 E/ B _ rLd _ C D G A /F AD=BE=CFWJA DEF?勺形状是 C .直角三角形 D .不等边三角 B E C ,在AE同侧分别作等边三角形 ABC等边三角形CDE Q 连接PQ以下六个结论： AD=BEPQ/ AE;AP=BQ; DE=DP;/AOB=60 ;。平分/ AOE.其中/、止确的有 A. 0 B . 1 C .

24、2 D . 3 考点七、30所对的直角边是斜边的一半 1、如图，是屋架设计图的一局部，点 D是斜梁AB的中点，立柱BG 那么 DE等于 A. 1m B .2m C .3m 2、如图： ADC+, Z A = 15 , / D=90 , B在AC的垂直平分线上, 14 A C E 第10题 DE垂直十横梁 AC, AB=8m / A=30 , D . 4m AB =34,那么 CD =() 18 3、如图，AB=AC DEEL AB于 E, DF=LAC于 F, / BAC=120, BC=6 那么 DE+DF= A. 15 B .17 C. 16 D. 以上全不对 4、一张折叠型方桌如图甲，其

25、主视图如图乙， AO=BO=40cmC0=D0=30 cm现将桌子放平，两条桌腿叉 开的角度/ AOBffl好为120 ,求桌面到地面的距离是多少？ 甲 5、在4ABC中，AB = AC, /A=120) AB的垂直平分线交 求BC的长 BC于点D ,交AB于点E .如果DE = 1 , 6、如图, ：在 ABC中, AB=AC / BAC=120 , AB的垂直平分线交 求证: CF=2BF. 7、：如图， ACD是等边三角形，AE!CD于E, AB AC AC= AB, AE、BD相交于 O.求证：BC=2OD. 轴对称中考试题集 一、填空题 1、等边三角形 ABC的边长为3+V3,那么4

26、ABC的周长是 2、如图，在4ABC中，AB=BC , AB=12cm , F是AB边上一点，过点F作FE/ BC交AC于点E,过点E作ED / AB 交BC于点D.那么四边形 BDFE的周长是 cm. 3、如图，在 4ABC 中，BC=5cm , BP、CP 分别是/ ABC 和/ ACB 的角平分线，且 PD / AB , PE / AC ,贝UPDE 的周长是 cm. 4、如图，4ABC是边长为3的等边三角形，4BDC是等腰三角形，且/ BDC=120度.以D为顶点作一个60角， 使其两边分别交 AB于点M ,交AC于点N,连接MN ,那么4AMN的周长为 5、如图，在等边 4ABC中，

27、D、E分别是 AB、AC上的点，且 AD=CE ,那么/ BCD+/ CBE=度. 6、如图，RtAABC中，/C=90 , ZA=30 , AC=6 .沿DE折叠，使得点A与点B重合，那么折痕 DE的长一 C AB于 19 7、以边长为2cm的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以 此类推，那么第十个正三角形的边长是 cm. 8、如图，将一等边三角形剪去一个角后，/ 1+/2=度. 9、如图是由9个等边三角形拼成的六边形，假设中间的小等边三角形的边长是 a,那么六边形的周长是 10、如图，在直线 m上摆放着三个正三角形： ABC、 HFG、 DCE

28、 ,BC=CE, F、G分别是BC、CE 的中点，FM /AC, GN / DC.设图中三个平行四边形的面积依次是 SI, S, S3,假设SI+S3=10,那么S=.11、 如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边ABE、 BCD ,连接DE,4BDE的面积是 , 4 AC=4,如果 ABVBC,那么 AB的值是. 13图 14图 15图 16图 2图 3图 4图 5图 6图 D 20 2 14、如图，在 4ABC中，AB=AC , AD是BC边上的局，点 E、F是AD的二等分点，假设 4ABC的面积为12cm , 2 那么图中阴影局部的面积是 cm . 15如下图，将边长为2

29、的等边三角形沿 x轴正方向连续翻折 2021次，依次得到点P1, P2, P3-P2021.那么点P2021 的坐标是 . 16、如图，矩形纸片 ABCD , AB=2 , / ADB=30 ,沿对角线 BD折叠使4ABD和4EBD落在同一平面内，那么 A、E两点间的距离为 一 、解答题 1、请阅读，完成证明和填空.21 数学长廊中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下: 九年级数学兴趣小组在学校的 (1)如图1,正三角形 ABC中，在 AB、AC边上分别取点 M、N,使BM=AN ,连接BN、CM,发现BN=CM , 且/ NOC=60度.请证明：/ NOC=60度. (2)如图2,正

30、方形 ABCD中，在AB、BC边上分别取点 M、N,使AM=BN，连接AN、DM ,那么AN= 且/ DON=度. (3)如图3,正五边形 ABCDE中，在 AB、BC边上分别取点 M、N,使AM=BN ,连接 AN、EM,那么 AN=_ ,且/ EON=度. (4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论. 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： . 2、如图， ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD , BE相交于点 F. (1)求证： ABECAD; (2)求/ BFD的度数. AD与 3、如图，D是等边4ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边 EDC ,连接AE ,找出图中的一组全等 三角形，并说明理由. 4、在4ABC中，AB=AC，点D是直线 BC上一点(不与 B、C重合)，以AD为一边在 AD的右侧作4ADE ,使 AD=AE , / DAE= / BAC ,连接 CE. (1)如图1,当点D在线段BC上，如果/ BAC=90 ,那么/ BCE= (2)设/ BAC=x , / BCE部. 如图