八年级上册几何证明经典模型

1、等边三角形的经典模型1. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点0, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连接PQ.以下六个结论：AD二BE：PQAE；AP二BQ；DE二DP；ZA0B二60° :0C 平分ZA0Ea2. （10分）如图，点P. Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点 B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.（1）求证：AADQ旦CAP：（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，ZQMC的大小变化吗？若变化，说明理由：若不变，请

2、直接写 出它的度数.（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,则ZQMC变化 吗？若变化，谙说明理由；若不变，求出它的度数.3. 已知AABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边AADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE.（1）如图1,当点D在边BC上时，求证：BD二CE,AC二CE+CD；（2）如图2,当点D任边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC二CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时

3、，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系.4. （H卷25）如图，已知等边AABC,延长BC至D, E在AB上，使AE二CD,连接DE,交AC于F点，过E 作EG丄AC于G点.求证：FG二-AC221. D 为等边 AABC 外一点，且 BD二CD, ZBDC二 120° ,点 M, N 分别在 AB, AC 上，若 BM+CN二MN（1）ZMDN=度：（2）作出DMN的髙DH,并证明DH=BD：（3）在第（2）的基础上,求证：MD平分ZBDH.全等与坐标轴的经典模型1、已知，AABC是等腰直角三角形，BC二AB, A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方

4、.y/c/B/D/2A、o/ F xA-5s/ >图1图2图3（1）如图1所示，若A的坐标是（-3, 0）,点B的坐标是（0, 1）,求点C的坐标；（2）如图2,过点C作CD丄y轴于D,请直接写出线段0A, 0D. CD之间等量关系；（3）如图3,若x轴恰好平分ZBAC, BC与x轴交于点E,过点C作CF丄x轴于F,问CF与AE有怎样的 数量关系？并说明理由.2. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在乩y轴上，点B的坐标为（0, 1）, ZBAO二30。（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边AABE,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D求证：BD二0E；3. 如图，在平而

5、直角坐标系中，点A的坐标为（1, 0）,以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB, 点C为X正半轴上一动点（OC>1）,连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边ACBD,连接DA并延长, 交y轴于点E.®AOBC与AABD全等吗？判断并证明你的结论：当点C运动到什么位置时，以A, E, C为顶点的三角形是等腰三角形?4. 如图1,直线AB交x轴于点A （4, 0）,交y轴于点B （0, -4）,（1）如图，若C的坐标为（-1, 0）,且AH丄BC于点H, AH交0B于点P,试求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，如图2,连接0H,求证：Z0HP二45° :（3）

6、如图3,若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD,过点D作DN丄DM交x轴于N点， 当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子SABDM - SAADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子 的值的变化范用；若不改变，求该式子的值.角平分线综合的经典模型1. 已知点P为ZEAF平分线上一点，PB丄AE于B, PC丄AF于C,点M, N分别是射线AE, AF上的点，且PM二PN.(1) 如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2) 在(1)的条件下，直接写岀线段AM, AN与AC之间的数疑关系:(3) 如图2,当点M在线段AB的延长线上，点N在线段

7、AC上时，若AC： PC二2： 1,且PC二4,求四边形ANPM 的面积.等腰直角三角形综合的经典模型1. 已知，AABC 中，ZBAC二90。，血AC（1）如图1，若AB二8,点D是AC边上的中点，求SABCD：（2）如图2,若BD是AABC的角平分线，请写岀线段AB、AD、BC三者之间的数疑关系，并说明理由：（3）如图3,若D、E是AC边上两点，且AD二CE, AF丄BD交BD、BC于F、G,连接BE. GE,求证：ZADB=ZCEG.2. 如图，已知ZkACB和ADCE均为等腰直角三角形，ZACB二ZDCE二90°，点A、D、E在同一直线上，CH丄 AE于点连结BE.（1）请判

8、断线段AD、BE之间的数疑关系，并说明理由；（2）求证：AM二CM-BE.3如图ZABD和ZkACE是AABC外两个等腰直角三角形.ZBAD二ZCAE二90°判断CD与BE有怎样的数量关系:（2）探索DC与BE的夹角的大小:（3）求证：FA平分ZDFE；（4）取BC的中点连MA,探讨MA与DE的数量关系和位置关系.4已知在AABC中，ZA=90° , AB二AC, D为BC的中点（1）如图，E、F分別是AB, AC上的动点，且BE二AF,求证：ADEF为等腰直角三角形：（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论：（3）若E、F分别为AB, CA延长线

9、上的点，仍有BE二AF,其他条件不变，那么ADEF是否仍为等腰直角三 角形？证明你的结论.最短路径的经典模型1. 如图，已知ZAOB的大小为a, P是ZAOB内部的一个定点，且0P二2,点E、F分别是OA、0B上的动点,若APEF周长的最小值等于2,则a=()2. 如图，等边AABC的边长为4, AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE二2,当EF+CF取得最小值时，则ZECF的度数为3. 如图，在 RtAABC 中，ZACB二90° , AC二6, BC二8, AB二 10, AD 是ZBAC 的平分线.若 P, Q 分别是 AD 和AC上的动点，则PC-

10、PQ的最小值是()A. 2.4B. 4C 4.8D 54如图，已知点P在锐角ZA0B内部，ZAOB 在0B边上存在一点D,在0A边上存在一点C,能使PD+DC5如图，RtAABC中，ZC二90° , ZB二30° , BC二8, D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP, DP,则 AP+DP的最小值是.等腰三角形动点的经典模型1.如图所示，已知AABC中，AB二AC二10cm, BC二8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点岀发向A点运动.设运动时间为t秒.（1）若点P的速度为3cm/s,用含t的式子表示第t秒时，B

11、P二cm, CP二cm（2）若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟ABPD与ACQP全等，说明理由：（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢lcm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使ABPD与ACQP全等？2. 如图，已知AABC中，AB二AC二12cnh BC二10cm,点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度 由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动.若点P、Q两点分别从点B、 A同时岀发.(1) 经过2秒后，求证：BPD9ACQP :ZDPQ二ZB(2) 若ACPQ的周长为18cm,问经过几秒钟后

12、，ACPQ为等腰三角形？4. 如图，已知ZkABC中,AB=AC=10cm, BC二8cm,点D为AB的中点(1) 如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过Is后，ABPD与ACQP是否全等，请说明理由： 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ABPD与ACIJP全等？(2) 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AABC三 边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相遇？规律题的经典模型1、如图,A AB

13、C的而积为1,分别倍长（延长一倍）AB, BC, CA得到扎BC，再分别倍长Ab, BG, CA得到 A：C=.按此规律，倍长n次后得到的 A：。佔和C沁的而积为（）A. 7皿B 7：0152平面直角坐标系中有一点A （b 1）,对点A进行如下操作:第一步，作点A关于x轴的对称点L延长线段AA：到点A：,使得2AA=AA,：第二步，作点A：关于y轴的对称点A”延长线段AA到点使得2AA二AA：第三步，作点人关于x轴的对称点A弄延长线段AA到点As，使得2A占二A血11 11 2 1133 11464 11510 105 1则点A：的坐标为，点Acois的坐标为若点人的坐标恰好为（4 4n） （m、n均为正整数），请写出m和n的关系式3杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下而的杨辉三角:(a+bi = b(a+b) 2= a£+2ab+ b£(a+b) 3= a-+Ja;b+3ab2+ bs(a+b) 4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+ b4按照前而的规律，则（" + ）