全国高中数学联赛模拟试题第一试试题

1、全国高中数学联赛模拟试题第一试试题、选择题nai 恒成立，则实i11、对任意一组非负实数 a1,a 2, ,a n，规定 a1=an+1，若有ak2 ak ak 1 ak2 1k1数的最大值为 .A0 B. 2 C 1 D 222、已知 A， B， C为 ABC的三个内角，记 y=sin3A+sin3B+sin3C ，则 y的取值范围是 3 3 3 3A0 ，2 B 2, C -2 ，2 D 0,223、若 p,q N+且 p+q>2007, 0<p<q 2007， (p,q)=11，则形如 1 的所有分数的和为 pqA2006200720072008F 的直线交椭圆于 P，

2、Q 两点，且 OP OQ，则椭4、椭圆的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，过椭圆的左焦点圆的离心率 e 的取值范围是 A0, 5 1D5 1 5 1 4,45、若对实数 x 10,+ ）恒有 |log mx| 2，则 m取值范围是 。1010A（0，1）B (1, 10 C 0,D 10 ,1 1, 1010106、将 20 个乒乓球（不加区分）装入 5 个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不 空，一共有 种不同装法。4A7 B 14 C C19 D 7×5！二、填空题7、已知复数 z1,z 2,z3满足 |z 1| 1,|z 2| 1,|2z 3-（z 1+z2

3、）| |z 1-z 2| ，则 |z 3| 的最大值与最小值的差为138、已知平面向量 a=( 3 ,-1),b= 1, 3 ，若存在非零实数 k 和角 , , ，使得 c=a+(tan 2 2 2 2 -3)b, d=-ka+(tan )b ，且 c d，则 k=。(用表示)9、AM为抛物线的一条弦， C为 AM的中点， B在抛物线上，且 BC平行于抛物线的对称轴， E 为 AC中点， DEDEBC14、给定 a>2，数列an 定义 如下：a0=1, a1=a,an+1=an2an 12 an ， 证 明 ： 对 任 何 k N ， 有11a0 a11 1(2 aa2 4) 。ak 2

4、15、设抛物线 S 的顶点在原点，焦点在x 轴上，过焦点F 作一条弦 AB，设 AO，BO 延长线分别交准线于C，D，若四边形 ABCD的面积的最小值为 8，试求此抛物线的方程。以下是答案一、选择题1、C因 为 ak2 ak ak 12ak 122akak 1(akak 1)ak2ak 1所以k122akak ak 1ak 1akak 1k1ak .k1又当 a1=a2= =an 时，“ =”成立，所以最大为 1。2、B当 A=B ，C0时，y-2，设 ABC，则C ，所以 sin3C 0,所以 y>-2 ；又当 A=B= ,C39y=sin3A+sin3B+sin3C 3A 3(B C

5、) 3A2cos cos sin2 1 3 1 sin 3A321 sin 3A 23323、C记 2007=n，往证pq1. 当 n=2 时，显然成立。设当 n=k 时成立，当 n=k+1 时，取所有满足21p+q=k, (p,q)=1 的 的和记为 S，所有形如pq1(p<k, (k,p)=1) 的和记为 T， kp则 Sk=Sk-1+T-S ；再证 S=T，1在 S 中任取一个分数 1 ， T 中恰有一对分数pq1，pk111 与之对应，而且 1 qkpq1pk1 ，这样的对应是 qk对应，所要 Sk-1=Sk，所以 Sn24、A 设椭圆方程为 x2a22 y b21(a>b

6、>0),P(r 1cos ,r 1sin ),Qcosr2 sin即 Q(-r 2sin ,r 2cos ) ，因为P，Q 在椭圆上，所以 12r1212 r21b2。设 O到 PQ 距离为d. 则r1 r2d22r1r2aba2 b2c(ca2 b2 )，解得 51.2 -25、D 当 x10 时，log mx-2 即 lgx lgm2或 lgx lgm-2 (m>0 且 m 1) ，解得1<m 10 或 1010m 1.6、D 问题等价于求方程 x1+x2+x3+x4+x5=20 满足 i j,x i xj 的正整数解组数， 先考虑方程 y1+y2+y3+y4+y5=5

7、满足 0y1y2y3y4y5的非负整数解， 设满足 y1+y2+ +yk=n 满足 0y1y2 y k的非负整数解组数 为 f(k,n). 则 f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7.所以所求方程正整数解有 7×5！组。故选 D。、填空题7、 2. 由 |2z 3-(z 1+z2)| |z 1-z 2| 得2|z 3|-|z 1+z2| |z 1-z 2| 和|z 1+z2|-2|z 3| |z 1-z 2| ，1所以 (|z 1+z2|-|z211-z 2|) |z 3| (|z 1+z2|+|z21-z 2|).又 |z 1+z

8、2|-|z 1-z 2|= (| z1 z2 | | z1 z2 |)24(|z1 |2 |z2 |2) 2 2.当且仅当 z1,z 2 辐角相差 时， |z 3| 取最大值 2. 2|z 3| min =0.又|z 3| 0，当且仅当 z2,z 1辐角相差 时， z3可以为 0，所以28、14(tan33tan ), 。由 a?b=( 3 ,-1)?223 =02a b ，又 ka2=(tan 3d，则 a+(tan-3tan )b ，所以-3 )b?-ka+(tan3k|a|2=(tan 3)b=0,2-3tan )|b|由题设 |a|=2,|b|=1 。从而 k1 1 (tan 3 3t

9、an ),449、33. 设抛物线方程为4x2px(p 0)，点 C(x1,y 1)把 AM参数方程yx1 tcos , 21 代入 y2=2px 得 y1 tsin22t 2sin 2 +2(y 1sin -pcos)t+2y1 2px1y12 -2px 1=0，所以 t1 t21 12sin，又 |BC |2px1 y12 ，2p ，所以 AC CMBC2p2sin，同理 AE EMDE2 2p ，所以 DE sin 2 BC10、0 假设存在这样的函数 f(x) ，则由条件知它为单射，且 f(f(0)=0=f(f(1)+1) ，所以 f(0)=f(1)+1. 又 f(f(1)=1=f(f

10、(0)+1) ，所以 f(1)=f(0)+1 ，与矛盾。11、由 an+1=(n-1)(an+an-1)得 an+1-nan=-an-(n-1)an-1， 所以 a n+1-nan 是首项为 a2-a1=1，公比为 (-1)的等比数列，所以 an+1-nan=(-1)n-1，所以 an 1ann! (n 1)!( 1) n1n!在中用2，3，n-1代替n 并相加得ana2所以 an(n 1)!11!1)112!( 1)2(n1)!1!1)12!( 1) 31!+(-1)n-2? 1(n 1)!12、900延长 AD，13!( 1)n(n 1)!BC交于 E，连结 PE，则 DE=DA，PA=P

11、E= 2,AE=2，所以 PE PA，又 PD AB ，AB AD ，所以 AB 平面 PAE， 所以 PE AB，所以 PE 平面 PAB。所以 APBC 为直二面角。三、解答题13、证明 (1)若 0<x 1，则 0<xy y< ，所以 cosxy>cosy ，又 cosx 1，所以 1+cosxy>cosx+cosy ；(2)若 0<y 1，同理可得 1+cosxy>cosx>cosy ；3)若 x>1,y>1 ，则 xy (x y) , 记 x y42t ，则0<t 2 , 所以 xy t 2 ，所以 cosxy cos

12、t 22又 cosx+cosy=2cos x y cos x y 2cost,22所以只需证 1+cost 2 2cost ，即证f(t)=1+cost22-2cost 0.这 里 t 1, ， 则 f'(t)22(sin t 2 ) 2t2sint 2t sint22sint , 因 为 0<t<t < ， t2所以2sint >sint>sint ,所以 f'(t) 0. t所以 f(t)1,上单调递减，又 f222cos2而而2因为 2 9 )，所以 cos 21 cos , 32所以0 ，所以 f(t)>0 。所以原不等式成立。14、

13、证明 记 f(x)=x 2-2 ，则f(x) 在 0,+ )上是增函数，又a1a0a22 ，所以 2 a1a1=a2-a>a ，a0所以a2a1a1 ，依此类推有 an 1a0ananan 12 ，再用数学归纳法证明原命题。1)2)当 k=0,1 时， 设当 k=m 时，不等式显然成立。原不等式成立。当 k=m+1 时，因为ananan 1an 1 an 2a2 a1 a1 a0(n 1)(a)f(n 2)(a)f (1) (a) f 0(a),其中 f (0) (a)<a ，所以 1(0)1(1)15、f (0)(a) f(0)(a)f (1)(a)12 2 f (1)(a)(f(1)(a)(1)(1) 2 412 a 2a(1)f (0)(a) f (1)(a) fa a2 4 1解 若抛物线的开口向右，设其方程为2y2=2px(p>0) ，设 A y12p(n1)(a)<