直线与圆位置关系知识点与经典例题

1、直线与圆位置关系知识点与经 典例题直线与圆位置关系一.课标要求1 .能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的 位置关系;2 .能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3 .在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代 数方法处理几何问题的思想。相离二.知识框架几何法弦长直线与圆的位置关系 相交代数法切割线冠理相切直线与/代数法求切线向方法几何法的切线方程过圆上一点的切线方程线方程切点弦过圆外一点的切线方程方程明切三.直线与圆的位置关系及其判定方法L利用圆心。"到直却+=。的距离仁舞某与半径，的大小来判定。(1)(2)(3)直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离2.联立直线与圆的方程组成方程组

2、，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。（1）有两个公共解（交点），即3。=相交直线与（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个 相同实根，即A = 0O直线与圆相切（3）无解（交点），即A<0=3.等价关系直线与圆相离相交相切<=>d<r<=>S>0= d >r<=> A<0练习(位置关系)L已知动直线 '.和圆C：(x-l)2 + y2 = l, 试问我为何值时，直线与圆相切、相离、相交?(位置关系)2.已知点M(a/) 在O ： X2 + 丁 = 1 外，则直线 ax-by

3、 = 与A.相切确定。的位置关系是OB.相交C.相离D.不(最值问题)3.已知实数一)满足方程x1 + y2 -4x + l = 0 9(1)求上的最大值和最小值;x(2)求一的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值。K分析II考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值;转化为求直线厂田截距的最 大值；转化为求与原点的距离的最值问题。(位置关系)4.设若直线(? + l)x +。? + l)y - 2 = 0 与(X 1)2+()， 1)2=1相切，贝+的取值氾围是()（位置关系）5.在平面直角坐标系mv中

4、，已知|xf上有且仅有四个点到直线12x-5y +( = 0 的距离为1，则实数0的取值范围是6.直线底+）,一2/=0截+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（A £A、6B、？D、乃2（位置关系）7.Il x2 +y2 -2x-2y + = 0上的点到直线.尸2的距离最大值是（A. 2B . 1+C.D. 1+2V2（最值问题）8,设A为(x-2)2+(y-2)2=l上一动点,则A到直线 a - 5 = 0的最大距离为9.星州圆C的半行为2,您心很 直线 3x + 4v + 4 = 0与圆C相切，贝( )A. x2 + y2 2x 3 = 0B x2 +y2 +4x = 0C. x1

5、+ y2 +2x 3 = 0D x2- 4x = 010.若曲线户口与直线产"始终有两个交点, 则方的取值范围是.（对称问题”LG：3 3）2+（y + l）2=4关于直线.广。对称的圆G的方程为：（A. （x + 3）2+（y-l）2 =4)B> (x + l)2+(y-3)2 =4C. (x-l)2+(y + 3)2 =4D(x-3)2+(y + 1)2 =412.直线 y = kx +3与圆(x-2)2+(y - 3)2=4相交于M,N两点,则的取值范围是（A. B.一,百)C D ,0J13.圆 Ct U-l)2+(y-2)2=25,直线 7：(2。+ l)x+y=7n

6、H-4 (r£R).（1）证明：不论"取什么实数，直线/与 恒相交于两点；（2）求。与直线】相交弦长的最小值.解析 将方程(24+1)叶5+1)尸 7必+4,变形为(2x+广-7)9+(x+y4) =0.直线恒过两直线2x+p-7=0和x+z-4=0的交点,2x+y7=0 x+p4=0得交点M3,1）.又(31尸+ (1 -2t=5<25, 点”(3,1)在圆。内，直线与圆。恒有两个交点.（2）由圆的性质可知，当时，弦长最短.又| 函=(3-1)2+(1-2)2=a/5,六弦长为 1 = 2= 225-5 =四.计算直线被圆所截得的弦长的方法L几何法：运用弦心距、半径

7、、半弦长构成的松 计算，即2.代数法：运用根与系数关系(韦达定理)，即 | = yJk2 + xA-xH =+l)(xA +xH)2-4xaxb(注：当直线A3斜率不存在时，请自行探索与 总结;弦中点坐标为(工/,"),求解弦中点轨迹方程。)练习x1 +y2 -6x-8y = 0所截得的弦长等于1,直线y = 2x + 3被()截得的弦长2.过点(2,1)的直线中被圆/+，2_2 + 4) = 0最大的直线方程是（ ）A. 3x-y-5 = 0 B 3x+y-7 = 0 C< x + 3y-5 = 0 D« x-3y+ 5 = 03.已知圆c过点(1,0）,且圆心在工

8、轴的正半轴上,直线被圆C所截得的弦长为班，则过圆心 且与直线/垂直的直线方程为。4,直线 jr-2y-3=0 与圆 G U-2)2+(y+3)尸两点，则&F的面积为()3 BZ=9交于E、A.|D会5.已知止5C:(x-3)2+(y-4)2 =4和直线I :攵x-y-4攵+ 3 = 0(1)求证:不论太取什么值,直线和圆总相交;(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求 最短弦的长.6.若曲线，+/+2x6y+l=0上相异两点P、Q关于直线Ax+2y-4=0对称，则k的值为()A. 11B. -1C.- D. 2丁+ 9+4)- 21=0相交于7,已知过点 M(-3,-3) 的直线

9、，与A,B两点,(1)若弦然的长为2房，求直线，的方程；(2)设弦A8的中点为P,求动点P的轨迹方 程.解:(1)若直线/的斜率不存在，贝！1/的方程为 此时有丁+4y-12 = 0,弦1=2一(6) = 8,所以不合 题意.故设直线/的方程为y + 3 = k(x+3”即日y + 3k-3 = 0.将圆的方程写成标准式得人（尹2二25,所以圆心(0,-2),半径r = 5.心（。,一2）到直线/的距离公"，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以（婀2+空U = 25,即（女+ 3=0,所以3.'7 k + 所求直线,的方程为3»尹12 =。.（2 ）设

10、P（x,y）,圆心 0,（0-2），OP± AB.当x工0日.x工-3时9y - (-3)x (3)，当 A- = 05一2或.(1)a = -3时，尸点的坐标（0,一2）,（0,一3）,（一3,一2）,（一3,一3）都是方程（1）的解,所以弦A3中点P的轨迹方程为8.已知圆x +y- + x 6y + m = 0和直线x+ 2），-3 = 0相交于RQ两点,0为原点,且OP,OQ,求实数7的取值.五.已知切点，求切线方程1.经过/上一"点尸5,先）的切线方程为2.经过（x-a）1+（y-b）1 =r2上一点 P （两,先） 的切线方程3.经过/+）,2+6+/=o上一点p

11、a。,）,。）的切线方程为 工+%>+0 +后红？ +/=° 乙乙练习1.经过圆上一点尸-8）作0+7）2 +（产8）2 +9的切线方程为（）2.圆Y+），2_4x = 0在点尸（1,益处的切线方程为A e x + 3y -2 = 0 B. x + y3y -4 = 0 C x y/3y + 4 = 0D x 3y + 2 = 0六.切点未知，过园外一点，求切线方程1.a不存在，验证是否成立;2. a存在，设点斜式，用到直线的距离心,一%=女（工一玉）/一打一灯4 70）|收+1 -练习1.求过43,5）且与C:/+,2-4x4y + 7 = 0相切的直线方程。七.切线长C:(

12、x-a)2 +(y-b)2 =/，则过圆外一点长”=而练习1.自点-d)2+(y0-/?)2-r2(B(A)4T,4)作啾X -2)2+()，- 3)2=1的切线，则切线长为 )>/5(B) 3(C) VT6(D)52.自直线y=x上点向x2+y2-6x+7=0 弓| 切线，贝！|切线长的最小值为八.切点弦方程C:(xa)2 +(yb)2 = r2外一点尸所0)作圆C的两条切线方程，切点分别为4%则切点弦48所在直线方程为： (湎-a)(x-a) + (y0 -b)(y-h) = r1.过点。(6, 8)作til4+/=25的切线于切点48那么。到两切点4夕连线的距离为()A. 15B.

13、 1C.152D. 5九.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即PT = PCPD1 .自动点尸引(1)由题意设尸(同，儿)在园外，切线IX2 + V2 = 10的两条切线PA,PB，直线PATB的斜率分别为&1也°(1)若k +42 +占22 =-1， 求动点P的轨迹方程；(2)若点p在直线入+上，且小，如求实数机的取值范围。2+1/.-0)k2 -2x0y0k + >'()2 -10 = 0由 k、+>#2 =-1得点P的轨迹方程为x+)，±2迷=0 o(2)vP(x0,y0)在直线x+y = ?上,二 X。+ >0 = m又 PA 工 PB , ./#, =-1,"二")=-1,即%2 + %2=20,将 x + y = / 代 10入化简得 2m飞 + m2 -20=0又A 2 0 , . -2. < in < 2、伉又,一玉)2+%2