微分方程的基本概念一阶微分方程课件

1、Basic concept of differential equations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微微积积分分电电子子教教案案2/18例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时由由,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为由题意得：由题意得：一、问题的提出一、问题的提出两端同时积分：两端同时积分：3/181 1、微分方程、微分方程:

2、:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例2yx , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 常微分方程常微分方程偏常微偏常微分方程分方程 )?(,-?,-xyyx求求未未知知的的是是一一个个函函数数微微分分方方程程求求未未知知的的是是一一个个数数代代数数方方程程方方程程二、微分方程的定义二、微分方程的定义未知函数是一元未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程未知函数是多元函数未知函数是多元函数时，出现偏导数，即时，出现偏导数，即含有含有偏导数的微分方程，偏导数的微分方程，实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数

3、以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .4/182 2、微分方程的阶、微分方程的阶: : 微分方程中所含的未知函数的导数的微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶最高阶阶数阶数称为微分方程的阶称为微分方程的阶. .如前例如前例分别为一阶、二阶、一阶分别为一阶、二阶、一阶思考：思考：为为几几阶阶微微分分方方程程？xxyycos)(3 ,xyy ,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt3 3、微分方程的解、微分方程的解: :将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则将某个函数代入微分方程，能使方程恒等。则称此函数为微分方程的解。称

4、此函数为微分方程的解。 5/18均为解，有均为解，有何区别？何区别？例例2 2 验证下列函数都是微分方程验证下列函数都是微分方程y -2y +y=0的解的解. y=Cex; y=xex ; y=C1ex+C2xex .解解: :y=Cex,y =Cex ,y =Cex ,代入原方程代入原方程左边左边=Cex-2Cex+Cex=0=右边右边 y=Cex是原方程的解是原方程的解.同理同理. y=C1ex+C2xex解解解的线性组合也是解解的线性组合也是解C，C1，C2均为常数均为常数6/184、微分方程的解的分类、微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中微分方程的解中含有任意

5、常数含有任意常数, ,且且独独立的立的( (即不能合并了即不能合并了) )任意常数的个数与微分方任意常数的个数与微分方程的阶数相同程的阶数相同. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数数值的解确定了通解中任意常数数值的解. .通解：通用的解，含有任意常数；通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数特解：特殊的解，不含有任意常数7/18既不为通解，既不为通解，也不为特解，也不为特解，称为个解称为个解例例2 2 验证下列函数都是微分方程验证下列函数都是微分方程y -2y +y=0的解的

6、解. y=Cex; y=xex ; y=C1ex+C2xex .为特解为特解为通解为通解特解可以从通解中通过特解可以从通解中通过某个条件某个条件求出常数得到特解求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件称为定解条件，也称为初始条件一般地，一般地，n阶微分方程就有阶微分方程就有n个定解条件个定解条件8/18求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，求特解步骤：先求通解，然后代入定解条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。确定通解中任意常数的值，可得特解。xdxdy2 2,1 yx时时由由2,yxC, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为微分方程微分方程微分方程的通解微分方程的通

7、解定解条件定解条件如例如例1求解得：求解得：微分方程微分方程的特解的特解9/18例例 3 3 验证验证:函数函数tCtCx2sin2cos21 是微分是微分 方程方程0422 xdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件002,0ttdxxdt 的特解的特解. 解解,2cos22sin221tCtCdtdx ,2sin42cos42122tCtCdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd10/18. 0)2sin2cos( 4)2sin2cos( 42121 tCtCtCtC.2sin2cos21是是原原方方程程的的解解故故tCtCx 002,0,ttdx

8、xdt122,0.CC所求特解为所求特解为2cos2 .xt练习：练习：满足微分方程，故是其解。满足微分方程，故是其解。xey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.Basic concept of differential equations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微微积积分分电电子子教教案案二、可分离变量的微分方程12/18即即f（x，y）是）是可分离变量的可分离变量的一阶微分方程的形式一阶微分方程的形式一般形式：一般形式：0),( yyxF常见形式：常见形式： 正规型正规型 微分型微分型 0),(),(),( dxyxgdy

9、yxfyxfdxdy一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程学习微分方程重点就是了解这个方程学习微分方程重点就是了解这个方程是什么是什么类型类型？这种类型？这种类型怎么解怎么解？ 一般形式一般形式)()(ygxfy 解法解法分离变量，直接积分。分离变量，直接积分。13/18解法：解法：1、分离变量。分离变量。将将变量变量x的函数和微分的函数和微分与与变量变量y的函数和微分的函数和微分分离在等式两边分离在等式两边例例1 1 求解微分方程求解微分方程.0)12(的通解的通解 dydxx解解分离变量分离变量,) 12(dxxdy 两端积分两端积分,)12( dxxdyCxxy 2.为为所所求

10、求通通解解得：得：例例2 2 求微分方程求微分方程的通解的通解0 ydyxdx解解 分离变量分离变量ydyxdx 两端积分两端积分, ydyxdx2、然后、然后积分。积分。14/181222121Cyx .222为所求通解为所求通解cyx .3通通解解求求方方程程例例xydxdy 解解分离变量分离变量xdxydy 两端积分得：两端积分得：1lnlncxy ccxycexycxyc 2211ln.为为所所求求通通解解xcy 结论结论1:1: 通解既可用显函数表示通解既可用显函数表示, ,也可用隐函数表示也可用隐函数表示. .与例与例1的区别：一个显函数解，一个隐函数解的区别：一个显函数解，一个隐

11、函数解15/18结论结论2 2：解微分方程中形如解微分方程中形如 ，可以直接，可以直接写为而不必再加绝对值。写为而不必再加绝对值。 11dxdyxyln ,lnxy结论结论3：解微分方程时若积分后，出现对数解微分方程时若积分后，出现对数,积分积分常数常写成常数常写成lnc形式，以便于合并化简形式，以便于合并化简可简写为：可简写为：cxylnlnln xcyxcy lnln.0)1(42通通解解求求方方程程例例 dyxxydx解解分离变量分离变量0112 dyydxxx两端积分两端积分cyxlnln)1ln(212 16/18Cxy 21若求在若求在 y(0)=1 条件下的特解，怎样求？条件下的

12、特解，怎样求？211yx例例5:已知某商品需求量已知某商品需求量Q,对价格对价格p的弹性的弹性 ，且该商品的最大需求量为且该商品的最大需求量为200，求需求函数，求需求函数Q。p02. 0 解：由题意得：解：由题意得： )2(200)0()1(02.0QpQQp方程（方程（1）可化为：）可化为：dpQdQ02.0 两端积分得：两端积分得：cpQln02.0ln pecQ02.0 17/18将将 Q (0)=200代入，可得代入，可得 C =200故所求需求函数故所求需求函数pepQ02.0200)( 例例6：设：设 在在 连续，且满足连续，且满足 ，求，求)()(2)(),()(0 xfdttfxxfxfx 解：原方程对解：原方程对x求导：求导：)(2)(xfxf 即：即：yy 2分离变量得：分离变量得：dxydy 2两端积分得：两端积分得：cxyln)2ln( 22 xxecyecy由原方程可知：由原方程可知：f (0)=0 代入通解代入通解 c =2故故)1(2)( xexf18/18作业：作业：P384 1(1，3) 6 7注意注意: : 积分方程求导后化为微分方程积分方程求导后化为微分方程; ; 注意隐条件注意隐条件. .练习：练习：求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解1、(1+x2)dy-dx=0、xydxdy 19/18练习：练习：求下列微分方程的通