弹性力学试题及答案

1、弹性力学试题参考答案（答题时间： 100 分钟 ）一、填空题（ 每小题 4 分）1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程， 应力边界条件。2一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3等截面直杆扭转问题中，2dxdyM 的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆D截面内的扭矩 M。4平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点 （基准点）到任一点外力的矩。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：ij , jX i 0， ij1 (ui, ju j ,i ) 。2二、简述题 （每小题6 分）1试简述力学中的圣维南原理，

2、并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的 一小部分边界 上的面力变换为分布不同但 静力等效 的面力（主矢与主矩相同），则 近处的应力 分布将有 显著的改变 ，但远处的应力 所受 影响可以忽略不计 。作用：（ 1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（ 2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（ 2）图( x, y)ax2bxy cy2( x, y)ax 3bx 2 y cxy2dy3（a）r 2 f ( )（ b）r 3 f ( )( r, )(r , )3图示矩形弹性薄板

3、，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比已知。试求薄板面积的改变量S 。1题二（ 3）图设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的相对位移为l 。由1 (1)q 得，Ela2b 2q a2b2(1)E设板在力 P 作用下的面积改变为S ，由功的互等定理有：qS Pl将 l 代入得：1SP a 2b 2E显然， S 与板的形状无关，仅与E、 l 有关。4图示曲杆，在 r b 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外） 。（ 1）（ 2）rrbrraq,0,r r b r r a题二（ 4）图0；0bP cosbr dr P

4、 sin（ 3）draabP c o s abr d ra25试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、 Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数u( x, y), v( x, y), w( x, y) 或 ur ( r,), u (r ,) 为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性： Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题21图示半无

5、限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用， 单位宽度上集中力的值为P，设 间 距d很 小 。 试 求 其 应 力 分 量 ， 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 。（ 提 示 ： 取 应 力 函 数 为Asin 2 B ）（13 分）题三（ 1）图解：d 很小，MPd ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。将应力函数(r ,) 代入，可求得应力分量：1124 As i n2 ；2rr 20 ；r rr 22r 2rr11(2 Ac o s2B)rr 2边界条件：（ 1）00, r00 ；0, r0r 0r 0r 0r 0代入应力分量式，有1(2A B) 0或2

6、A B0（ 1）r 2（ 2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：r ,r ，和 M = Pd由该脱离体的平衡，得220r rdM2将 r 代入并积分，有21(2 A cos2B)r2dM 02 r 2A sin 2B 2M 0得 BM 0（ 2）2联立式（ 1）、（ 2）求得：BMPd ， APd2代入应力分量式，得3r2Pd sin 2；0 ； r2Pd sin 2。r 2r 2结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x 由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出xy ,y ，并检验该

7、应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12 分）题三（ 2）图解：（ 1）求横截面上正应力x任意截面的弯矩为 Mq0 x3，截面惯性矩为 I h 3，由材料力学计算公式有6l12My2q03xIlh 3x y（ 1）（2）由平衡微分方程求xy 、yxxyX0(2)xy平衡微分方程：yxyY0(3)xy其中， X0,Y 0 。将式（ 1）代入式（ 2），有xy6q0x2yylh 3积分上式，得xy3q0x2y2f 1( x)lh3利用边界条件： xy yh0 ，有23q03 x2 h2f1 ( x) 0即f1 ( x)3q03 x 2 h24lh4lh43q0x2( y21h2)xy34lh将式

8、（ 4）代入式（ 3），有6q0x( y21h2)y或y6q0x( y21h2)lh 340ylh 34y积分得6q0y31h2y)f 2 ( x)ylh 3x(34利用边界条件：yhq0x ，yh0y2ly2得：6q0x(h31h3)f 2 (x)q0xlh 3248l6q0x(h31h3)f 2 (x)0lh 3248由第二式，得f2 (x)q0x2l将其代入第一式，得q0xq0xq0x自然成立。2l2ll将 f 2 ( x) 代入 y 的表达式，有6q0y31 h2y)q0xylh3x(32l4所求应力分量的结果：xMy2q0x3yIlh 33q0x2( y212)（6）xylh 34h

9、6q0x(y32y)q0xylh331 h2l4校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0 ）：（ 4）（ 5）5hh2x x0 dy0，2xydy0代入后可见：自然满足。hhx022（2）梁右端的边界（x = l）：hh2q0 x32l dy2dy0hx xhlh3y22xlhh2hq0 l22 3q0 x( y22)dyh xy x l dyhlh34222xl33h2hh2q0 x2q0l2q0l2x xl ydy2y2dyy3Mhhlh33lh3h622xl2可见，所有边界条件均满足。检验应力分量x , xy ,y 是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为2 ( x22

10、y ) (22 )( xy )0xy将应力分量x ,xy ,y 式（ 6）代入应力相容方程，有212q30 xy ，212q30x2(xy )y2 (xy )xylhlh2 (2224q30 xyxy )(x2y2 )(xy )0lh显然，应力分量x ,xy ,y 不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3一端固定， 另一端弹性支承的梁，其跨度为 l ，抗弯刚度 EI 为常数， 梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w(x) ；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1

11、项待定系数） 。（13 分）题二（ 3）图6解：两种形式的梁挠度试函数可取为w(x)x2 ( AAxA x2) 多项式函数形式123n2m xw(x)Am (1m 1cosl) 三角函数形式此时有：w( x) x2 ( A1A2 x A3 x 2)x00w ( x)2x( A1A2 xA3 x 2)x2 ( A2A3 x)0x0w( x)nAm (1cos2m x)0m 1lx 0nl2m xw ( x)m 1Am 2msinlx 00即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为1ld 2 w2l1EIdxqw( x)dxk w(l )220dx202取： w( x)A1 x2 ，有d 2 w2 A1

12、 ， w(l )A1 l 2dx 2代入总势能计算式，有1l2dxl2A1dx12)2EI (2A1 )qxk (A1l2 0022qA1l31242EIlA 132kA1 l由 0 ，有4EIlA1kA1l 4q l 303A1q0l 33(4EIlkl 4 )代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为w(x)q0 l 3x 23(4EIlkl 4 )4已知受力物体内某一点的应力分量为：x0 ， y2MPa ， z1MPa ， xy1MPa ， yz0 ，7zx2MPa，试求经过该点的平面x3yz1上的正应力。（ 12 分）解：由平面方程x3 yz1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为l11，

13、m33， n11321212321232121211111211012l1120Lm1ij，3201n11 1101211NL TL1311203112011111573 31292.64 MPa11111弹性力学课程考试试卷学号：姓名：工程领域：建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间： 120 分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期： 2007 年 4 月 28 日一、简述题（ 40 分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本

14、方程和边界条件？4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6.试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?7. 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）xC ( x2y 2 ) ，yCy2 ，xy2Cxy 。88. 试写出应力边界条件：（ 1）（ a ）图用极坐标形式写出；（ 2）（ b ）图用直角坐标形式写出。PqOhxxO2xryphhyy（ a ）图（ b）图二、计算题（ 15 分）已知受力物体中某点的应力分量为：x0 ，y2a ，za ， xya ， yz0 ， zx2a 。试求作用在过

15、此点的平面x3 yz1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。三、计算题（ 15 分）图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为 h ，在左端面受力P 作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试取应力函数Axy3Bxy ）OhPxyl四、计算题（ 15 分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用， 单位宽度上集中力的值为P ， 设 间 距 d 很 小 。 试 求 其 应 力 分 量 ， 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 。（ 试 取 应 力 函 数 Asin 2 B ）五、计算题（ 15 分）如图所示的悬臂梁，其跨度为l 。抗弯刚度为EI ，在自由端受

16、集中力P 作用。试用最小势能原9理求最大挠度。 （设梁的挠度曲线wA(1cos x ) ）2lP弹性力学试题（答题时间： 120 分钟）班级姓名学号题号一二三总 分（1） （2） （3） （4）得分一、填空题（ 每小题 4 分）1用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足：。2弹性多连体问题的应力分量应满足，。3 拉甫（ Love ）位移函数法适用空间问题；伽辽金（Galerkin ）位移函数法适用于空间问题。4圣维南原理的基本要点有，。5有限差分法的基本思想为：，。二、简述题 （每小题5 分）1试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。2试就下列公式说明下列问题：

17、（ 1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（ 2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。xy2 1 ( z)1 ( z)4Re 1 ( z)yx2i xy2 z 1 ( z)1 ( z)1m1 ( z)( X ki Yk ) ln( zzk )1(z)8k 13m1( z)( X kiYk ) ln( zzk )1( z)8k 1式中：1 (z), 1 ( z) 均为解析函数；1(z),1( z) 均为单值解析函数。103试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二（ 3）图4图示弹性薄板， 作用一对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量S 与板的形状无关，仅与材料的弹

18、性模量E、泊松比、两力 P 作用点间的距离l 有关。题二（ 4）图5下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。xC( x 2y2 ),yCy 2 ,xy2Cxy 。6等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数( x, y) 应满足：22GK式中： G 为剪切弹性模量；K 为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算题1 图示无限大薄板，在夹角为90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。已知其应力函数为：r 2 ( A cos2B)不计体力，试求其应力分量。（13 分）题三（ 1）图2图示矩形截面杆，长为l ，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力N，偏心

19、距为e，不计杆的体力。11试 用 应 力 函 数Ay3By 2 求 杆 的 应 力 分 量 ， 并 与 材 料 力 学 结 果 比 较 。（ 12 分）题三（ 2）图3图示简支梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，受有线性分布载荷q 作用。试求：（ 1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（ 2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz 法求梁挠度（w）的近似解（取2 项待定系数） 。（ 13 分）题三（ 3）图4图示微小四面体OABC， OA = OB = OC， D 为 AB 的中点。设O 点的应变张量为：ij0.010.00500.0050.0

20、20.0100.010.03试求 D 点处单位矢量 v、 t 方向的线应变。（12 分）题三（ 4）图122011-2012学年第 二 学弹性力学模拟考 试试 卷题号一二三四五六七八九十总分评分评卷教师一 名词解释（共10 分，每小题5 分）1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同） ，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。二 填空（共20 分，每空1 分）1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关

21、系式，它可以分为位移 边界条件、应力边界条件和混合边界条件。2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为-2-2；面力是LMT作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L -1MT -2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L -1 MT -2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5 倍孔

22、口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面 。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。三 绘图题（共10 分，每小题5 分）分别绘出图3-1 六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2 极坐标下扇面正的应力分量。13图 3-1图 3-2四 简答题（ 24 分）1. （ 8 分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、

23、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比 等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸14和形状进行计算

24、。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2. （ 8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x , y , xy 存在，且仅为x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿 z 轴无变化，只有平面

25、应变分量x , y , xy 存在，且仅为x,y 的函数。3. （ 8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（ 1）相容方程：40（ 2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s slxmyx sf xs 上）：在 smylxy sf y（ 3）若为多连体，还须满足位移单值条件。五 问答题 (36)1. （ 12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚1 ）图 5-1解：在主要边界 yh 2 上，应精确满足下列边界条件：y y h 2qx l ，yx y h 20 ；y y h 20 ，y