S312027026利用Matlab进行复合材料层合板零膨胀设计

1、复合材料层合板零膨胀设计及在双向受力状态下逐层破坏过程摘 要:复合材料最大的特点是具有可设计性，随着复合材料在国民经济各个领域的应用，需要根据不同领域的不同要求，设计出满足性能要求的复合材料。本文讨论了单层板,层合板工程弹性常数随角度的变化规律，以/-层合板和0/90/-s层合板等为例，利用Matlab编程得到了工程弹性常数的变化规律曲线。分析了层合板热膨胀系数在不同铺层角度和厚度比的情况的变化规律及零膨胀设计，并以/-、/-s和0/90/-s为例，利用Matlab编程得到了，热膨胀系数的变化规律，并结合层合板纵向模量，设计了这几种铺层的最佳方案，复合材料除了具有可设计性这一性能外，另一个特点

2、是其受力过程中发生破坏是逐层发生的。本文分析讨论了层合板逐层破坏的过程，并以0/90/45/-45s为具体例子，先从理论出发，得到了该层合板的逐层破坏过程，然后利用Matlb编程，得到了各种情况下逐层破坏的程序。关键词:复合材料 工程弹性常数 热膨胀系数 逐层破坏 Matlab1、 前言近40年来，复合材料在航空航天、能源、交通、建筑、机械、信息、生物、医学和体育等领域中日益得到广泛的应用，其具有强度高、刚度大、质量轻，并具有抗疲劳、减震、耐高温、可设计等一系列优点。在工程技术中, 材料的热膨胀系数是一个非常重要的性能参数. 纤维增强复合材料的一个特征就是它的线热膨胀系数也是可设计的。一般认为

3、复合材料的热膨胀系数与树脂、纤维、固化剂的种类、各组分的体积分数比以及界面状况等诸因素有关。而在工程应用中，零膨胀材料在某些领域具有很大的应用价值。从现有报道来看, 主要是研究温度、相对湿度以及热变化过程中体系组分变化的影响，而本文主要是从铺层角度为出发点研究其对热膨胀系数的影响。本文从单层出发，研究了其工程弹性常数随角度的变化规律，从而推广到/-s和0/-/90s的工程弹性常数随角度的变化规律。在很多很用情况下，要求复合材料的热膨胀系数很小，本文讨论了复合材料层合扳的热膨胀系数的变化规律，讨论了 /-s在厚度下，热膨胀系数随角度的变化规律；0/-s在不同厚度，不同角度下热膨胀系数的变化规律；

4、0/-/90s在不同厚度，不同角度下热膨胀系数的变化规律以及；0/-s的热膨胀系数随E1/E2比值和不同角度的变化规律，在分析热膨胀系数在不同情况下变化规律的基础上进行零膨胀设计。复合材料层合板除了热膨胀系数可设计外，与常规材料相比，其在受力过程中，发生破坏时逐层破坏的，且判断其是否破坏有不同的准则，本文以最大应力准则为基本准则，讨论了0/90/45/-45s层合板在双向受力情况下的逐层破坏过程，得到了所能承受的最大载荷。2、 基本理论 2.1 复合材料单层板工程弹性常数分析 2.1.1 复合材料单层板材料主轴的应力应变关系如图1，当纤维方向与x轴重合时知应力应变关系为：图1 单层主轴 其中：

5、Q为刚度矩阵，它的元素为：显然，各向异性材料的平面应力问题有4个独立的弹性常数：并且这四个弹性常数可以通过实验方法测试出来。2.1.2复合材单层板非材料主向的应力应变关系当复合材料纤维方向与x轴有夹角时，其应力关系将发生变化。设偏转角度为。以逆时针为正。图2 单层偏转角有平面应力问题的应力变换公式：同理可得应变变换公式： 令转换矩阵为T则应力变换公式和应变变换公式可简写成：则应力应变关系为：其中， 为偏轴刚度矩阵。将应变表示成应力的函数为：其中S为柔度矩阵，且为刚度矩阵的逆矩阵。通过偏轴柔度矩阵，可以求出复合材料单层板偏轴的工程弹性常数，为因此知道单层板主轴的弹性常数及偏转角度，就可以求出偏转

6、后的工程弹性常数。2.2 复合材料层合板工程弹性常数分析层合板是由两层或两层以上的单层板粘合在一起成为整体的结构元件。层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单层板构成，它们在厚度方向都具有宏观非均匀性。2.2.1层合板应力应变有关系考虑一层合板，由n层任意铺设的单层板所构成，取z轴垂直于板面，xoy坐标面与中面重合，板厚为t。根据弹性力学，板中任意一点的位移分量可以表示为由弹性力学基本假设，可得对上式积分可得位移分量表达式式中，表示中面的位移分量，并且只是坐标x，y的函数，其中挠度函数。将上式代入小变形的几何方程可得层合板面内应变为：用矩阵表示为：将上述

7、应变代入，应力应变关系，得到层合板中面的应变和曲率表达的第k层应力为：显然，沿层合板厚度的应变是线性变化的，但由于层合板每层的刚度矩阵可以不相同，故应力变化一般是不是线性的。2.2.2复合材料层合板的合力及合力矩作用在层合板上的合力及合力矩都是指单位长度上的力和力矩，如图所以：图3 层合板面内受力则有式中由下图确定图4 n层层合板几何考虑到每个层合板的刚度矩阵在单层内是不变的，因此它可以从每一层的积分号中提出来，但必须在每层的合力和合力矩的求和号之内，于是可得：注意到不是z的函数，而是中面值，因此上两式可以改写成： 式中Aij, Bij, Dij 依次称为拉伸刚度，耦合刚度，弯曲刚度由上式，层

8、合板的合力及合力矩可用块矩阵表示：由上式求逆得应变为式中 其中A,B,D分别为层合板面内柔度矩阵，耦合柔度矩阵，弯曲柔度矩阵。2.2.3层合板工程弹性常数由2.2.2节分析可知道，对于复合材料层合板，存在耦合效应，当铺层为对称铺层时，层合板的耦合刚度B为0。此时为了计算层合板的工程弹性常数，作正则化处理对A*求逆得： 则按层合板工程弹性常数的定义方法，得对称铺层层合板的工程弹性常数表达式为：面内拉压弹性模量 面内剪切弹性模量 于是知道层合板的各层主轴模量，厚度(各层厚度比)和铺设角度就可就计算出层合板的工程弹性常数。2.3复合材料层合板热效应2.3.1单层板的热变形当温度变化的为时，单层板材料

9、主方向的热膨胀应变可表示为：其中1，2分别为1，2方向的热膨胀系数，在材料1，2主方向，温度变化不引起剪应变。在材料非主轴（x，y方向），根据应变转轴公式有T为转换矩阵，x，y和xy分别为x，y方向及x-y平面内的热膨胀系数。则由温度引起单层板的热应力为：2.3.2层合板热效应由温度引起的热内力和热内力矩为当层合板为对称铺层时，耦合刚度为0，可由层合板热内力可以求得层合板的热膨胀系数x，y和xy为2.4复合材料层合板逐层破坏在2.3节中讨论了复合材料层合板的应力应变关系。层合板的受力特性和各单层板密切相关。但一层甚至几层单层板的破坏，虽然将引起层合板刚度的显著变化，但层合板仍可能由余下的各个单

10、层板来承受更大的载荷，一直到全部单层板破坏引起层合板的总体破坏为止。实际上单层板的破坏也不意味着整个分层全部失去承载能力。由于单层板的各向异性特点，各方向的承载能力不同，因此，有时在某一方向虽然遭到破坏，但在其它方向上仍可继续受力。本文应用单层板的最大应力理论来判断层合板的单层是否发生破坏。按照这一理论，当单层的某个方向的应力大于极限应力时，认为破坏。若某一层纤维的2方向的应力超2方向的最大应力，则2方向和剪切方向失去承载能力，其刚度矩阵变为：然后重新计算整个层合的刚度矩阵，从来得到刚度降解后的应力分布。若某一层纤维的剪切方向的应力超过剪切方向的最大应力，则剪切方向失去承载能力，其刚度矩阵变为

11、：然后重新计算整个层合的刚度矩阵，从来得到刚度降解后的应力分布。若某一层纤维的1方向发生破坏，实际中会发现，整个层合板会突然全部破坏，因此对于整个层合板而言，若某一层的1方向应力超过1方向的最大应力则认为整个层合破坏。3、复合材料单层板及层合板工程弹性常数分析3.1单层板工程弹性常数随角度变化关系由2.1.1可知，已知单层板主方向的弹性常数就可以求出在任意角度下的工程弹性常数Ex，Ey，Gxy。现以一种已知的一种复合材料为例太讨论符合材料单层板的工程参数随角度的变化规律。并对其进行无量纲化。已知： EL/ET=10，EL/GLT=20，LT=0.3。其工程弹性常数Ex，Ey，Gxy随角度的变化

12、规律如图5所示：图3.1 单层板铺层角度与Ex/ET,Ey/ET,Gxy/GLT的关系曲线结果分析：设单层板的铺层角度为a，由图中可以看出Ex的值随着角度的增大而减小，在a=0度时Ex/ET=10，a=10度时Ex/ET=6.592，a=20度时,Ex/ET=3.424，当a=45度时Ex/ET=1.316，当a=90度时Ex/ET=1等于0度时的Ey/ET，由数据可以看出Ex的数值的减小幅度时随着角度的增加而减小的，即曲线的斜率时减小的。Ey的变化趋势刚好和Ex的相反，在a=0度时Ey/ET=1，在a=45度时Ey/ET=1.316=Ex/ET，在a=70度时Ey/ET=3.424，a=80

13、度时，Ey/ET=6.592，a=90度时Ey/ET=10，与0度时的Ex/ET相等。Gxy的值是先随着角度的增大而增大，当a=0时Gxy/GLT=1当a=45度的时候Gxy/GLT达到最大值1.6，而后Gxy的值逐渐减小，当a=90度时，Gxy/GLT=1。3.2 /-层合板铺层角度与Ex,Ey,Gxy的关系曲线设层合板厚度比为1:1；工程弹性常数变化规律如图6所示：图3.2 /-层合板铺层角度与Ex/ET,Ey/ET,Gxy/GLT的关系曲线结果分析：设角度为a，当a=0度时，Ex/ET=10其值达到最大,当a=10度时，Ex/ET=9.275此时Ex的值随角度的变化还是比较平缓的， 此时

14、角度增加10度，Ex/ET减小1.45。随着角度继续变大，当a=20度时，Ex/ET=6.9845，当a=30度时，Ex/ET=4.0978；a=40度时，Ex/ET=2.21345由数据和曲线图可以看出在a=20度到a=40度这段区间内，Ex/ET的减小是最快的，其斜率约为-0.28867。当a=50度时，Ex/ET=1.39765；当a=60度时，Ex/ET=1.1099；当a=70度时，Ex/ET=1.02315，当a=80度时，Ex/ET=1.00275; 当a=90度时，Ex/ET=1。由曲线图和数据看出可以看出当a由45度逐渐增大到90度时，曲线的斜率逐渐变小，在a从70度增加到9

15、0度时，Ex/ET的变化已经十分微小了，曲线的斜率接近于零，在a=90度时的Ex/ET值等于a=0度时Ey/ET的值。Ey/ET的值的变化正好相反，当a=0度时，Ey/ET=1，为a=10度时双层板每层板Ey/ET的代数和；当a=10度时，Ey/ET=1.00275，当a=20度时，Ey/ET=1.02315；当a=30度时Ey/ET=1.1099；当a=40度时，Ey/ET=1.39765；当a=45度时，Ey/ET=Ex/ET=1.70815；当a=50度时Ey/ET=2.21345；当a=60度时，Ey/ET=4.0978；当a=70度时，Ey/ET=6.9845；当a=80度时，Ey/

16、ET=9.275；当a=90度时，Ey/ET=10，此时Ey与a=0度时的Ex相等。a=0时，Gxy/GLT=1；a=10度时，Gxy/GLT=1.4968；a=20度时，Gxy=2.7549；a=30度时，Gxy/GLT=4.1854；a=40度时，Gxy/GLT=5.1192；a=45度时，Gxy/GLT=5.4472；a=50度时，Gxy/GLT=5.1192；a=60时，Gxy/GLT=4.1854；a=70时，Gxy/GLT=2.7549；a=80度时，Gxy/GLT=1.4968；a=90度时，Gxy/GLT=1；由以上数据和Gxy/GLT的曲线图可以看出，在a由0增大到45度的过

17、程中Gxy/GLT的值是逐渐增大的。在a从0度增大到10度的过程中Gxy/GLT的值增大的幅度比较小，在a=10度到a=30度时Gxy的增加速度比较大，a从30度增加到45度的过程中，Gxy/GLT增大的幅度逐渐减小。在a=45度时Gxy达到最大值，此时Gxy/GLT=5.4472。a从45度变到90度的过程中Gxy的值是逐渐减小的，其减小的趋势和a从0到45度刚好相反，即 Gxy关于角度a的变化曲线是关于a=45度对称的。3.3 0/-/90层合板铺层角度与Ex,Ey,Gxy的关系曲线设层合板厚度比为1:1:1:1。则工程弹性常数变化规律如图3.3所示：结果分析：由图3.3可知，随着角度的增

18、加，Ex逐渐减小，其减小的幅度先逐渐增大，然后逐渐变缓；Ey随着角度逐渐增大，增大的趋势刚好和Ex相反，当a=0度时Ex最大为77.924，Ey最小为32.678。当为45度时，Ex和Ey相等为17.08Gpa，当a=90度时，Ex最小为32.678，Ey最大为77.924。Gxy是先增加，后减小，当为45度时，达到最大值为26.24Gpa。图3.3 0/-/90层合板铺层角度与Ex,Ey,Gxy的关系曲线3.4 /-层合板铺层角度与刚度系数A、B、D的关系曲线3.4.1刚度系数A随角度变化/-层合板刚度系数A随角度变化曲线如图3.4.1所示图3.4.1 刚度系数A随角度变化角度0102030

19、405060708090A110.403630.382740.326040.249110.171160.108070.0674720.0477610.0413810.040363A220.0403630.0413810.0477610.0674720.108070.171160.249110.326040.382740.40363A120.0121090.0220460.0472060.0758170.0944920.0944920.0758170.0472060.0220460.012109A660.020.0299370.0550970.0837080.102380.102380.0837

20、080.0550970.0299370.02 表1.1 刚度系数A随角度的变化结果分析：由于是反对称铺设，所以A16=A26=0.下面来分析A11、A22、A12、A66随角度的变化。由图可以看出A11和A22的变化刚好相反。从表1.1可知，当角度a从0变到10度时，A11从0.40363变为0.38274，A11减小0.02089，当角度从a=10增大为50度时，曲线的斜率最大，且大致相等，A11从0.38274减小至0.10807，减小的幅度最大，减小0.27467，当a继续增大至90度时，A11的减小幅度逐渐放缓，在50度至90度的区间A11的大小只减小0.067707.由表中数据可知A

21、22的变化趋势和A11正好相反。A12和A66的大小都是随着角度的增加在a=0到a=10度时先缓慢增大，在a从10度增大为30度时此时变化的幅度最大，该曲线的曲线趋近于直线。当a从30度增至45度时，A12和A66的值缓慢增加，在a=45度时分别达到最大,此时A12= 0.097053 A66=0.10494 ，当a从45度增大到90时，A12和A66的值逐渐减小。在整个0到90度的区间内，A12和A66的值的变化关于a=45度对称。3.3.2刚度系数B随角度变化角度0102030405060708090B1201.4591-2.5051-2.8858-2.5991-1.8728-1.0467

22、-0.41373-0.0940180B260-0.09401-0.41373-1.0467-1.8728-2.5991-2.8858-2.50511.45910 表1.2 刚度系数B随角度的变化图3.4.2 刚度系数B随角度变化在反对角铺设中B11=B22=B12=B66=0恒成立，由图3.4.2和表1.2可以看出，a=0时B12=0，B12的大小随着角度增加先以大的减小梯度减小，在a=40度左右达到最小值，随后随着角度的增加在a=40度至a=80度的区间内以较大的梯度增大，在a=80度至a=90度的区间内B11的增大的幅度逐渐减小，在a=90度时B12=0。B26的变化曲线与B12的变化曲线

23、刚好相反，在a=0到a=10度的区间内，缓慢减小，其减小的幅度越来越大，在a=10度到a=50度的区间内B26以相对较大且比较稳定的斜率减小，在a=60度左右达到最小值，随后在a=60到a=90度的区间内以大的斜率增大，在a=90度时B26=0。3.3.3刚度系数D随角度变化图3.4.3 刚度系数D随角度变化角度0102030405060708090D116.72726.3795.4344.15182.85261.80121.12450.796010.689680.67272D120.201820.367430.786771.26361.57491.57491.26360.786770.367

24、430.20182D220.672720.689680.79601e1.12451.80122.85264.15185.4346.3796.7272D660.333330.498940.918281.39511.70641.70641.3951e0.918280.4.98940.33333表1.3 刚度系数D随角度的变化在反对称铺设层合板中，D16=D26=0恒成立。由上图和和表1.3可知，D11的值是递减的，在a=0到a=10度的区间里D11减小的幅度比较小，减小值为0.4482，在a=10到a=50度的区间里D11以比较恒定且很大的梯度减小，此时的斜率约为-0.114445,。在a=50增

25、至a=90度的过程中，D11继续减小，但是减小的趋势逐渐放缓，当a=90度时D11的值减为最小，此时D11=0.67272e-8,。D22的变化过程刚好和D11的相反，在a=0时，D22最小，最小值为0.62727e-8与a=90度是的D11的值相等。在a=0至a=40的过程中，D22的值缓慢增大，增大的趋势是加快的，在a=40至a=80度的区间里，D22以相对恒定且比较大的斜率（0.114445）增大，在a=80度至a=90度的区间内，D22的增大趋势逐渐放缓，在a=90度D22达到最大，最大值为6.7272e-8。由图和表1.3可看出，D12和D66的变化趋势相同，D12和D66的值都关于

26、a=45度对称,且都在a=45度时达到最大，最大值分别为D12=1.6176e-8， D66=1.7491e-8。在a=0度时D12和D66的值以较小的幅度变大，变大的趋势越来越大，在a=10值a=35度左右的区间里以比较大的且相对稳定的幅度增大，而后随着a的增大，其变大的趋势逐渐放缓，直至a=45度时达到最大值，然后逐渐减小，其减小的趋势和值关于a=45度对称。由以上可知对于反对称铺设而言，只有在角度为0或者90度时刚度系数B才为0，而此时相当于是对称铺设，事实上对称铺设的刚度系数B恒为零。而反对称铺设的刚度系数D始终不为零。3.5 0/90/-s层合板铺层角度与刚度系数B、D的关系曲线设0

27、/90/-s层合板的厚度比为1:1:1:1.则其铺层角度与刚度系数B、D的关系曲线如图3.5.1和3.5.2所示：图3.5.1 刚度系数B随角度变化图3.5.2 刚度系数D随角度变化结果分析：从3.5.1可以看出对于对称铺层的0/90/-s层合板，其刚度系数B始终为零。从3.5.2可以看出，刚度系数D在a=0和a=90度时不为零，其他角度下均为零，且a=0时和a=90度时的D11、D12、D22、D26、D66相等，D16一直为零。当a=0时，D11=2.6707×10-6，D12=1.2916×10-7，D22=2.0653×10-6,D26=2.6707

28、15;10-6,D66=3.9152×10-6。所以对于0且90度的0/90/-s层合板有B=0，D=0。3.6 正交铺层时刚度系数B、D的变化关系已知：EL/ET=10，EL/GXY=20，层数为偶数时，正交铺层为0/90/0/90/0，厚度比为1:1:t:1:1。刚度系数D随厚度t的变化如图3.6a和3.6b所示：从图3.6a和3.6b可以看出，当t0时，有B=0，D=0，此时0/90/0/90/0铺层可看成是对称铺层。3.6a 刚度系数B随厚度变化3.6b 刚度系数D随角度变化4、层合板热膨胀系数变化规律及零膨胀设计在层合板各单层主轴的热膨胀系数、各单层的铺设角度和厚度（或厚度

29、比）已知时，可以求出层合板的热膨胀系数。本文以碳纤维/环氧复合材料为例，来探讨几种情况的热膨胀系数及这几种情况的零膨胀设计。现已知材料的性能参数为：E1=100Gpa，E2=10Gpa，G12=5Gpa，21=0.3，L=-0.025×10-6，T=27×10-6。4.1层合板/-热膨胀系数随角度的变化关系设层合板各单层的厚度均为1mm，则其热膨胀系数和工程常数随角度变化曲线如下图所示；图4.1 /-层合板铺层角度与热膨胀系数aX、aY、aXY的关系曲线结果分析：在反对称铺层层合板中，由图4.1可以看出层合板的热膨胀系数aX、aY、aXY随着铺层角度的变化趋势。在a=0度时

30、，aX约为2.7×10-5，而后随着a的增大而逐渐减小，在0到10度的范围内，aX的减小趋势比较小，随着a的增大其减小的趋势逐渐增大。在a=45度时aX=aY=0.3×10-5，而后aX继续减小，在a=58度左右aX减为零，随后继续随着a的增大。当a为60度左右时，aX将为最小，而后aX的值随着a的增大而增大，其增大的趋势逐渐减小，在a=90度时aX=0。aY的变化趋势刚好与aX关于a=45度对称，在a=0时，aY=0，随着a的增大aX的值先减小，在a=30左右达到最小值，而后aY 随着a的增大而逐渐增大，在a=40左右，aY=0。在a=45度时aY=aX，随着a的增大在a

31、=90时，aY达到最大值此时aY约为2.7×10-5。aXY在铺层角度a的变化过程中至始至终都为零。在aX=0时，a约为40度，aY=0时，a约为60度，对比3.2节/-层合板铺层角度与Ex,Ey,Gxy的关系曲线，可知，在a在40度左右和60度左右时，Ex、Ey都比较小不能满足Ex>70%EL， Ey>3ET的强度条件，所以此种铺层方式不能用于零膨胀设计。4.2 0/90/-s层合板热膨胀系数随角度、厚度比的变化关系设层合板的厚度比为1:1:1:1，则其热膨胀系数随角度的变化如图4.2所示。图4.2 0/90/-s层合板热膨胀系数随角度变化的关系曲线结果分析：

32、由图4.2可知：随着a的增大aX的值逐渐增大，在020。的范围内增大的趋势较缓，在30。60。的范围内其增大的幅度较大，其曲线的斜率趋于稳定，而在70。90。的范围内，其增大的趋势又逐渐放缓，在90度时aX达到最大值，其最大值与0度时的aY值相等。aY的值的变化趋势则与aX刚好相反，其是随着角度的增大而逐渐减小，在a=45。时，aY=aX=3.0036×10-6/。C。随着角度a的继续增大，aY继续减小，当a=90。时，aY达到最小值，其最小值与0度时的aX值相等，为13.708×10-6/。C。由图4.2还可看出当厚度比为1:1:1:1时，aX和aY始终都不为零，因此该铺

33、层方式下不能完成零膨胀设计。下面讨论0/90/-s层合板热膨胀系数与厚度和材料的关系，以找出合适的设计方法，设计出满足条件的零膨胀层合板。4.3 0/90/-s层合板热膨胀系数随角度、厚度比的变化关系前面讨论了0/90/-s层合板热膨胀系数与角度的关系，下面我们探讨一下层合板厚度比对热膨胀系数的影响，为了研究方便这里采用控制变量法，即保持a=45度不变，研究厚度比对层合板热膨胀系数的影响。此时即为0/90/45/-45s 层合板，先设他们的厚度比为t:1:1:1,所得热膨胀系数随0度铺层厚度比变化的结果如图4.3a所示：图4.3a 0度铺层厚度变化时对热膨胀系数的影响再令厚度比为1:k:1:1

34、,所得到的层合板热膨胀系数随90度铺层厚度比变化的结果如图4.3b所示：图4.3b 90度铺层厚度比变化时对热膨胀系数的影响结果分析：由图4.3a可知aX的值是随着零度铺层厚度比的增大而减小的，要使得图4.2a中的aX曲线下移，则厚度比的取值应该大于1。而aY的大小则是随着厚度比的增大而增大，这就意味着随着零度铺层厚度比的增大，aY的曲线是逐渐上移的，而为了使aY=0时的a的角度减小，则零度铺层的厚度比应该小于1，即厚度比为1的曲线在厚度比小于1的曲线的上方，亦即需要相对于4.2节中的1:1:1:1的厚度比，适当减小0度铺层的厚度比。由图4.3b可以看出，aX和aY的变化趋势刚好与图4.3a对

35、称。aX的值是随着厚度比的增大而增大的，而aY的值是随着厚度比的增大而缓慢减小的，所以为了使aX的值趋于零，可以使90度铺层的厚度比小于1，即可使图4.2a中的aX曲线下移，而当90度铺层的厚度比在01的范围内时，图4.2a中aY的曲线是上移的。因此结合图4.2a和图4.2b，不难发现，要使aX=0，aY=0，且满足Ex>70%EL,Ey>3ET,可以使0度铺层的厚度比t在01的范围内取值，90度铺层的厚度比k也在01的范围内取值，0度铺层厚度比越小则aY向下移动的越多，aX向上移动的越多，而90度厚度比越小，则aX曲线下移的越多，aY曲线上移的越多。因此我们可以通过设计0度和90

36、度铺层的厚度比来获得最优化的零膨胀设计方案。4.4 层合板0/90/-s热膨胀系数随E1/E2（EL/ET）比值的变化关系上面研究了层合板热膨胀系数和铺层角度及厚度比的关系，下面来探讨层合板热膨胀系数和材料参数的关系。同样为了研究的方便，在此我们依然采用控制变量法研究材料的弹性模量对层合板热膨胀系数的影响，此处也取角度为a=45度，厚度比为1:1:1:1，材料的轴向弹性模量EL固定为EL=100GPa，ET=EL/K,K的变化范围为120,则材料的热膨胀系数随K值的变化曲线如图所示图4.4 0/90/-s热膨胀系数随E1/E2（EL/ET）比值的变化关系结果分析：由图4.4可以看出，aX和aY

37、的变化曲线相同，都是随着EL/ET的增大而减小，且其减小的幅度渐趋缓和，aXY始终为零。4.2节中EL/ET=10，而上面讲到要达到要求的零膨胀设计需要使图4.2a中的aX、aY曲线下移，而由图4.4可以看出，当EL/ET>10时的aX、aY相对于EL/ET=10的曲线是下移的；当EL/ET<10时的aX、aY的曲线相对于EL/ET=10的曲线是上移的。因此通过材料参数可以通过增大EL/EL的方式进行零膨胀设计。4.5 层合板0/90/-s零膨胀设计 在4.2节和4.3节中，我们已经知道了0/90/-s层合板的热膨胀系数是与角度a和0度及90度铺层厚度比有关的。下面我们通过调整0度

38、和90度的厚度比t和k，来获取一些曲线，以达到零膨胀设计要求。（1） 取厚度比为t:k:1:1=0:0:1:1,此时0/90/-s层合板变为/-s层合板，其热膨胀曲线如图：图4.5a 0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系由图4.5a可以看出，/-s层合板的热膨胀系数的变化趋势和/-的变化曲线是一样的，该种铺设方式不能达到设计要求。（2） 取厚度比为t:k:1:1=t:0.1:1:1图4.6a t=0时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6b t=0.1时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6c t=0.2时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6

39、d t=0.3时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6e t=0.5时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6f t=0.7时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.6g t=1时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系从图4.6中各图可以看出，当90度层的厚度比不变时，aX=0时的角度a值是几乎不变的始终保持在10。和40。左右，aX的最大值是随着t的增大而减小，当t=1时，aXmin=5.1984×10-6/。C>0,未出现新的零膨胀点。aY的最小值则是随着角度的增大而增大，当a=0.3时aYmin>0。因此要进行零膨胀设计a的

40、值应该小于0.3。令t=0.25，则得图4.7.此时aY在60度至70度的范围内约为0,虽然此时的aX不为零，但是由于aY在比较大的角度范围内是趋于零膨胀的，便于复合材料层合板的加工。因此如果需要aY方向上满足零膨胀，可以选择0/90/-s 层合板，取厚度比0.25:0.1:1:1，角度a在5872度的角度范围内铺设。图4.7 t=0.25时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系（3） 取厚度比为t：k：1:1=0.25：k:1:1图4.8a k=0.2时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.8b k=0.25时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.8c k=0.

41、5时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.8d k=0.7时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系图4.8e k=1时0/90/-s热膨胀系数随铺层角度的变化关系从图4.8中的各图可以看出，当保持t=0.25不变，k增大时，aY的最大值逐渐减小，但是两个零点位置变化不大，始终在58度70度附近，而aX的最大值和最小值是逐渐增大的，两个零膨胀点随着厚度比k的增大而彼此靠近，且在k=0.25左右时，在20至30度之间有一段的区间，aX是趋于零的，但是aX、aY无法同时趋于零。因此，设计无法达到零膨胀设计要求，只能是尽量趋近。若需aY趋于零，可取厚度比为t:k:1:1=0.25:0

42、.1:1:1,铺层角度a取值在58度72度左右，在此时的Ex、Ey、Gxy变化曲线，如图4.9所示：图4.9 0/90/-s层合板工程弹性常数与铺层角度关系曲线从图4.9可以看出，在58。72。之间Ex的值变化幅度非常小，而EY的变化幅度较大。可以取铺层角度在70度左右，此时的EY=69.753GPa，Ex=19.852GPa。5、复合材料层合板在双向受力状态下逐层破坏过程由2.4节理论知识知，复合材料层合板的破坏过程是逐层破坏的，本文以0/90/45/-45s 层合板为例，应用最大应力准则讨论该层合板受到轴向拉力时，逐层破坏的过程。已知各层厚度均为t1=1mm，EL=100Gpa，ET=10

43、Gpa，GLT=5Gpa，LT=0.3。单向板纵向拉伸强度=1300MPa纵向压缩强度=650MPa横向拉伸强度=20MPa横向压缩强度=240MPa面内剪切强度=18MPa5.1理论计算当某个方向的应力值超过该方向的许用应力时，我们即判定该层失效，失效后该层将完全不能发挥作用。即Q12=Q22=Q16=Q26=0。层合板各层转轴刚度矩阵为Q0=100.9083.02703.02710.09080005Q45=34.263224.263222.704324.263234.263222.704322.704322.704326.2362Q-45=34.263224.2632-22.704324.

44、263234.2632-22.7043-22.7043-22.704326.2362Q90=10.09083.02703.027100.9080005A=2×（Q0+Q90+Q45+Q-45）×t1×103MPa=359.0504109.16080109.1608359.0504000124.9448 MPaA-1=0.0031-0.00090-0.00090.00310000.0080各层应力为：于是可得0度层主方向的应力为12120=100.9083.02703.02710.090800050.0031-0.00090-0.00090.00310000.008

45、0NxNy0=0.3101-0.08140-0.00030.02860000.040NxNy090度层主方向应力为：121290=10.09083.02703.027100.90800050.0031-0.00090-0.00090.00310000.0080NxNy0=0.02860.00030-0.08140.31010000.040NxNy045度层主方向应力为121245=34.263224.263222.704324.263234.263222.704322.704322.704326.23620.0031-0.00090-0.00090.00310000.0080NxNy0=0.0

46、8440.04440.18160.04440.08440.18160.04990.04990.0209NxNy0-45度层主方向应力为1212-45=34.263224.2632-22.704324.263234.2632-22.7043-22.7043-22.704326.2362*0.0031-0.00090-0.00090.00310000.0080NxNy0=0.08440.0444-0.18160.04440.0844-0.1816-0.0499-0.04990.0209NxNy0当Nx=Ny=450MPa时，45度铺层和-45度铺层的剪切应力达到剪切极限。当Nx=Ny=595MPa

47、时，90度铺层和0度铺层横向应力超过许用应力而失效。5.2 程序计算5.2.1 matlab程序计算设0/90/45/-45s 层合板的厚度为t1=1mm受到的力为PX=PY，令Nx=-Ny=PX8t1则各层应力变化曲线如图所示：（a）-45度层 (b) 45度层(c)0度层 (d) 90度层图5.2.1 0/90/45/-45s层合板应力变化曲线图结果分析：图中，S1=1，S2=2，S12=12。从图5.2.1各图可以看出，最先失效的是45度和-45度铺层的层合板，当Nx=450MPa，由于45度板和-45度板的剪切应力12达到18.026MPa，超过许用剪切应力，所以45度板和-45度板失

48、效，层合板发生第一次刚度降低。随着载荷Nx和Ny的继续增大，当Nx=595MPa， 90度层合板的横向应力2达到20.01MPa，达到许用横向拉伸强度，90度板失效，如图5.2.1（d）所示。而当90度板失效后0度板的横向最大压应力在Nx=596MPa时2=-297.8MPa小于-240MPa，此时0度层已经失效，0/90/45/-45s层合板全部被破坏.图5.2.1（c）中当Nx进一步增大时，由于层合板已经全部失效，实际承受拉力的板的层数为零，面积即为零，所以拉应力趋于无穷，此时计算已经停止。所以0/90/45/-45s所能承受的极限载荷PX=PY=595×8t1=4760KN。5

49、.2.2 有限元分析由给定条件，使用有限元软件ANSYS进行计算，选取一个节点的，其应力和载荷变化曲线如下图所示：由图我们可以看出，其应力的变化是线性的，且在达到载荷极限前曲线并未有突然增大或减小的地方，这是由于ANSYS模拟中并未引入刚度降低，同时其计算出的极限载荷要比用matlab刚度降低计算出的要大。图5.2.2 层合板应力随载荷的变化6 结论本文从复合材料的基本理论理论出发，利用matlab编程，分析了复合材料弹性常数的基本规律并进行了零膨胀设计，而后讨论了层合板逐层破坏过程，得到了如下基本结论：（1） 单层板的Ex/ET的值，随着铺层角度的增加而减小，Ey/ET值随着铺层角度的增加而

50、增大。当铺层角度为45度时Ex/ET=Ey/ET。铺层角度为0度时的Ex/ET与铺层角度为90度时的Ey/ET的值相等。Gxy/GLT的值则是先随着角度的增大而增大，在铺层角度为45度时达到最大，随后随着角度的增加而逐渐减小在90度时Gxy/GLT减为1。（2） /-层合板的厚度比为1；1时，Ex/ET随着铺层角度的增加而逐渐减小，Ey/ET随着铺层角度的增大而增大，在a=45度时两者相等。a=0时。Ex/ET最大等于90度时Ey/ET的值；a=90度时，Ex/ET最小等于0度时Ey/ET的值。Gxy/GLT的值先随着角度的增大而增大，在a=45度时达到最大值5.4472，随后Gxy/GLT的

51、值随着角度的减小而减小，在90度时减为1。（3） 0/-/90层合板的厚度比为1:1:1，随着角度的增加，Ex逐渐减小，其减小的幅度先逐渐增大，然后逐渐变缓；Ey随着角度逐渐增大，增大的趋势刚好和Ex相反，当a=0度时Ex最大为77.924，Ey最小为32.678。当为45度时，Ex和Ey相等为17.08Gpa，当a=90度时，Ex最小为32.678，Ey最大为77.924。Gxy是先增加，后减小，当为45度时，达到最大值为26.24Gpa。（4） 反对称铺层层合板Bij和Dij都不为零，而对于对称铺层层合板有Bij=0恒成立， 当a=0或a=90度时0/90/-s层合板的Dij=0（5） 正

52、交铺设层合板0/90/0/90/0，当厚度比为1:1：t：1:1时，可看做是对称铺设，此时B=0，D=0.（6） 层合板/-热膨胀系数aX先随着铺层角度的增大而减小，在a=45度时aX=aY。随后aX继续减小，在a=60度左右达到最小，随后逐渐增大，在90度时增大为0.aY的变化曲线刚好与aX的变化曲线关于X=45度对称，其是先随着a的增大而减小，在a=30度左右达到最小值而后逐渐增大，在a=90度时达到最大。aXY的值一直为零。（7） 设0/90/-s层合板的厚度比为t：k：1:1，当t0,1时，aX的曲线往下移，aY的曲线上移；k0,1时，aX的曲线上移，aY的曲线下移。（8） 0/90/

53、-s层合板的热膨胀系数aX和aY随着EL/ET的增大而减小，aXY的值一直为零。（9） 在本文材料参数条件下无法完成满足全部设计要求的零膨胀设计，只能尽量逼近。通过上面的分析，在a=70度左右进行铺层效果最佳。（10） 厚度比为1：1:1:1的0/90/-s层合板两端受到双向拉伸时，45度和-45度铺层最先达到剪切极限发生失效，而后随着载荷的增大，90度和0度铺层也在相继失效，层合板所受到的极限载荷4760KN。（11） ANSYS未考虑刚度降低时，其极限载荷要比考虑刚度降低时的要大。7程序1 单层板工程常数随角度的变化EL=100ET=0.1*ELGLT=0.05*ELVLT=0.3VTL=

54、0.03Q11=EL/(1-VLT*VTL)Q22=ET/(1-VLT*VTL)Q66=GLTQ16=0Q26=0Q61=0Q62=0Q12=EL*VTL/(1-VLT*VTL)Q21=ET*VLT/(1-VLT*VTL)Q=Q11 Q12 0;Q12 Q22 0;0 0 Q66a=linspace(0,pi/2,5000);for i=1:5000T=(cos(a(i)2 (sin(a(i)2 -sin(a(i)*cos(a(i);(sin(a(i)2 (cos(a(i)2 sin(a(i)*cos(a(i);2*sin(a(i)*cos(a(i) -2*sin(a(i)*cos(a(i) (cos(a(i)2-(sin(a(i)2;t=inv(T);c=t'q=c*Q*t;S=inv(q);Ex(i)=1/S(1,1);Ey(i)=1/S(2,2);Gxy(i)=1/S(3,3);endX=a*180/piplot(X,Ex/10,'-');hold on;plot(X,Ey/10,'-');hold on;plot(X,Gxy/5,'-.')legend('Ex/ET','Ey/ET','Gxy/GLT');