2018年高中数学课时跟踪检测五正弦定理余弦定理的应用苏教版必修520180607158

1、课时跟踪检测（五） 正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm后，再向右转105°爬行20 cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x_.解析：由正弦定理得，x.答案：2一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为_ km.解析：如图所示，在acd中，ac2，cd4，acd60°，ad212482×2×4×36.ad6.即该船实际航程为6 km.答案：63从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30

2、76;，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为_米解析：如图所示，bch，ach，ab2h.答案：2h4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是_米解析：由题意画出示意图，设高abh，在rtabc中，由已知bch，在rtabd中，由已知bdh，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bc·cd·cosbcd得3h2h25

3、002h·500，解之得h500(米)答案：5005.如图，为测量一棵树的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且a，b两点之间的距离为60 m，则树的高度为_m.解析：由正弦定理，得，pb.hpb·sin 45°·sin 45°(3030)m.答案：(3030)6一船以22 km/h的速度向正北航行，在a处看灯塔s在船的北偏东45°，1小时30分后航行到b处，在b处看灯塔s在船的南偏东15°，则灯塔s与b之间的距离为_km.解析：如图，asb180°15

4、°45°120°，ab22×33，由正弦定理，得，sb66(km)答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形abed是矩形，已知dac50°，cbe70°，ac90，bc150，则de_.解析：由题意知acb120°，在acb中，由余弦定理，得ab2ac2bc22ac·bc·cosacb90215022×90×150×44 100.ab210，de210.答案：2108线段ab外有一点c，abc60°，ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时

5、摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则运动开始_ h后，两车的距离 最小解析：如图所示，设t h后，汽车由a行驶到d，摩托车由b行驶到e，则ad80t，be50t.因为ab200，所以bd20080t，问题就是求de最小时t的值由余弦定理：de2bd2be22bd·becos 60°(20080t)22 500t2(20080t)·50t12 900t242 000t40 000.当t时，de最小答案：9某海上养殖基地a，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某

6、一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始持续影响基地2小时求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心为b，开始影响基地时台风中心为c，基地刚好不受影响时台风中心为d，则b，c，d在一直线上，且ad20，ac20.由题意ab20(1)，dc20，bc(1)·1010()在adc中，因为dc2ad2ac2，所以dac90°，adc45°.在abc中，由余弦定理得cosbac.所以bac30°，又因为b位于a南偏东60°，60°30°90°180°，所以点d位于a的正北方向，又

7、因为adc45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.10.如图，测量人员沿直线mnp的方向测量，测得塔顶a的仰角分别是amb30°，anb45°，apb60°，且mnpn500 m，求塔高ab.解：设abx，ab垂直于地面，abm，abn，abp均为直角三角形bmx，bnx.bpx.在mnb中，由余弦定理bm2mn2bn22mn·bn·cosmnb，在pnb中，由余弦定理bp2np2bn22np·bn·cospnb，又mnb与pnb互补，mnnp500，3x2250 000x22×500x

8、83;cosmnb，x2250 000x22×500x·cospnb，得x2500 0002x2，x250或x250(舍去)所以塔高为250 m.层级二应试能力达标1一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点a处望见灯塔s在船的北偏东30°方向上，15 min后到点b处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点b时与灯塔s的距离是_ km.(精确到0.1 km)解析：作出示意图如图由题意知，ab24×6，asb35°，由正弦定理，可得bs5.2(km)答案：5.22已知a船在灯塔c北偏东80°处，且a船到灯塔c的距离为2

9、 km，b船在灯塔c北偏西40°处，a，b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_ km.解析：如图，由题意可得，acb120°，ac2，ab3.设bcx，则由余弦定理可得：ab2bc2ac22bc·accos 120°，即32x2222×2xcos 120°，整理得x22x5，解得x1.答案：13.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从a点出发沿正北方向行进x m到达b处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达c处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x_.解析：由题图，知abx

10、，abc180°105°75°，bca180°135°45°，bc10，bac180°75°45°60°，x.答案：4一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是_海里/小时解析：如图，依题意有bac60°，bad75°，所以cadcda15°，从而cdca10，在直角三角形abc中，可得ab5，于是这只船的速度是10

11、海里/小时答案：105.如图所示，在山底a处测得山顶b的仰角cab45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达s点，又测得山顶仰角dsb75°，则山高bc为_ m.解析：sab45°30°15°，sbaabcsbc45°(90°75°)30°，在abs中，ab1 000，bcab·sin 45°1 000×1 000(m)答案：1 0006.如图，从气球a上测得其正前下方的河流两岸b，c的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度ad是

12、60 m，则河流的宽度bc是_ m.解析：由题意知，在rtadc中，c30°，ad60 m，ac120 m在abc中，bac75°30°45°，abc180°75°105°， 由正弦定理，得bc120(1)(m)答案：120(1)7.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x，bc10x，abc120°.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°，解得x2.故ac28，bc20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.8.在四边形abcd中，已知adcd，ad10，ab14，bda60°