“K形图”与勾股定理

1、优质资料欢迎下载“K 形图”与勾股定理在学习全等三角形时，我们曾多次与“ K 形图”相遇。所谓“ K 形图”，即如图 1 所示，直线I上有一点 B，向两方延生了线段 AB=BC 且 AB_BC.这时过 A、C 向丨作垂线段 AM、CN。所构成的 AMBNC 即“ K 形图”和容易我们得到.1. 2 =90，23=90. . 1 3又 AMB CNB =90,AB=CB.AMB三CNB AAS图 1 1这个图形在全等三角形的学习中有不少用处， 在学习勾股定理时，仍然发挥着它 独特的功能。1 利用 K 形图求正方形的面积例 1.如图 2.直线I过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A、C 到I的距离

2、分别为 1 和 2.（1） 求线段 BE 的长度（2） 求AB2的值（3） 求正方形 ABCD 的面积（天府前沿）图 2 2比较图 1 与图 2,显然图 1 的 AMBCN 与图 2 中的 AEBFC 是同一图形。很容易联 想到证明厶 AEBiCFB,从而 AE=BF,BE=CH,（ 1）可以解答。而厶 AEB 是直角三角形，直接运用勾股定理即可求出AB2的值。进一步，ABCD 是正方形，S正方形=边长2， SABCD二AB2故此题容易解答。2.在三条平行线中的 K 形图形优质资料欢迎下载例 2如图 3，已知，在 ABC 中，.ABC =90,AB=AC 三角形的顶点在互相平行优质资料欢迎下载

3、的三条直线 h、2、3上，且 h、12之间的距离为 2, 12、3之间的距离为 3，则 ABC的面积为_(天府前沿八年级第一章测试题)本题分析的难点在于一组三条平行线容易迷惑问们的视觉。件，注意图形特点的分析方法，和图 1 比较，分别从 A、 且 CF 交12于 P 我们可以CP=2,PF=AE 二二这时进行比较，易证：AE CFB，从而的 AE=3,BE=5 则AB1 2 3可利用直角三角形 厶 AEB 求得。而等腰. ABC 的面积112SABC= AB AC = AB容易解答。223.在四条平行线中研究正方形的面积。例 3正方形 ABCD 四个顶点在一组平行线IJ、13、4上这四条平行线

4、之间的距 离分别是h、h2、h3(见图 4)1求证h= h32设正方形的面积为S，求证ih1h22h1233若-h1 “2 ,当h1变化时，说明正方形的面积 S 随h1的变化情况2如果考虑充分利用条C 作 13的垂线段 AE、CF,211优质资料欢迎下载20132013年 9 9 月 1616 日分析（1）: Z1 与 N 2 比较，AE| CF,BE|DF,故有 N1=Z2（一个角的两边平行于 另一个角的两边，这两个角相等） EAB =/FCD =90 ,AB二CD.故可证明.ABE 二 CDF （AAS）.从而h h3（全等三角形对应边上的高 相等）这里要说明 AABE 二 CDF 有多种

5、方法这是其中之一。分析（2）结论中有 h, h22及岸，这种形式在勾股定理中多有体现，古考虑添加 辅助线构造直角三角形。连接 BD 则等腰仏 BCD 与图 3 相似，故作 BM DN 匀 垂直于I4- - 从而在直角 BCMBCM 中，有BM = hi h2，CM=CM=h3BC2= h,h22h,2, S = h,h222进一步考察，图 4 4 是图 2 2 和图 3 3 的综合图形并发展变化为四条平行线。223分析（3）由（2）S =（g+h22+hi,体现了正方形面积与h|,h2之间的关系。在一g+h2=123中，隐含了h1,h2之间的某种关系，用hi表示h2，有h-h,，代入（2 2）式中，就可以得出 S S 随hi变化的情况。综上所述，K K 形图不仅在全等三角形中有不少作用，在学习勾股定理的过程中，也体现了基 本知识、基本方法的作用，通