【集合】精品讲义

1、第1章 集合与常用逻辑用语第1节集合1 .元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为C和(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图.2 .集合间的基本关系描述文字语后何语日集合 间的 基本 关系子集A中任意一兀素均为B中的兀素A? B 或 B? A真子集A中任意一兀素均为 B中的兀素，且B 中至少有一个元素 A中没有A B 或 B A相等集合A与集合B中的所启儿乐都相同A= B集合与集合之间的关系：A? B, B? C? A? C,空集是任何集合的子集，含有 n个元素的集合的子集数为2n,真

2、子集数为2n1,非空真子集数为2n23 .集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集付万表/、AU BAn b若全集为U,则集合A的补集为？UA图形表小意义x| x e A, 或 xC Bx| xe A,且 xC Bx| x e U,且 x?A国卜必明5。易误点想一想试一试1 .认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条 件.2 .要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系.3 .易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.4 .运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.5 .在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，

3、否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误.考点一 集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性（ 是点集、数集或其他情形） ，然后再看元素的限制条件， 当集合用描述法表示时， 注意弄清其元素表示的意义是什么 注意区分 x|y= f（x）、yy= f（x）、（x, y）| y = f（x）三者的不同.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（ 组 ）进行求解，要注意检验是否满足互异性3. 注意空集的特殊性空集是不含任何元

4、素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性.例如：A? B,则需考虑A= ?和八金？两种可能的情况.1. （2013福建，5分）若集合 A= 1,2,3 , B= 1,3,4,则AA B的子集个数为（）A 2B 3 C 4 D 16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握.An B= 1,3,故An B的子集有4个.答案： C2. （2013江西，5分）若集合 A= xC R|ax2+ax+ 1 = 0中只有一个元素，则a=（）A 4 B 2 C 0 D 0 或 4解析：本题主要考查

5、集合的表示方法（ 描述法 ） 及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想.由ax2+ax + 1 = 0只有一个实数解，可得当 a=0时，方程无实数解；当 aw0时，则 = a24a=0,解得a=4（a=0不合题意舍去）.答案： A3. （2013山东，5分）已知集合 A= 0,1,2,则集合B=x y|xCA, yC A中元素的个 数是 （）A 1 B 3 C 5 D 9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力.逐个列举可得.x=0, y= 0,1,2 时,x- y=0, 1, 2; x=1, y=0,1,2 时,xy=1,0, 1; x=2, y=0,1,2 时，x-y=2,1,

6、0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为一2, 1,0,1,2.共5个.答案： C4. （2011 广东，5 分）已知集合 A= （ x, y）| x, y 为实数，且 x2+y2=1,B= （ x, y）| x,y为实数，且x+ y=1,则An B的元素个数为（）A. 4 B .3 C .2 D .1x2+y2=1、2、解析：由消去y得x -x = 0,解得x=0或x= 1,这日y= 1或y=0,即An Bx+ y= 1= （0,1） , （1,0）,有两个元素.答案：C5 .已知集合 M= 1 , m, N=n, log 2n,若 M= N,则（mn n）2 013 =.解析：由M=

7、N知n=1,n=nm= 0,m= 2,或或log 2n= mlog 2n=1,n= 1n = 2.答案：1或06 .已知集合 A= 2,2 n2+m,若3CA,则m的值为.解析：因为 3 C A,所以2 = 3 或 2n2+mF 3.当2=3,即 mp 1 时，2m2+3,7 时集合A中有重复元素3,所以mp 1不符合题意，舍去；2331当2m+mR3时，解得m 2或1（舍去），此时当 "2时，m2 = 2w3符合题意.所3以 mR - 2.答案：-27. （2010福建，5分）设非空集合 S=x|mxw|满足：当xCS时，有x2CS.给出如1 112下三个命题：若 mR 1,则S=

8、 1;若mR 2,则7WIW1；若|=2,则一+wm0.其中正确命题的个数是（）A. 0B . 1 C . 2 D . 3解析：若mR 1,则x = x2,可得x= 1或x=0 （舍去），则S= 1,因此命题正确；若1 .1.）1.1mR 2,当 x= - 2时，x =4e s,故 i min=4,当 x= 1 时，x = 1 e s,则 1 = 1 可得，可得 i1 m-112=1或1 =0（舍去），故1max= 1, ：.<<1,因此命题正确；若1=2,则Mw -2得乌w m 0,因此命题正确.答案：D考点二集合的基本关系进而转化1 .已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的

9、关系转化为元素间的关系, 为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn 图帮助分析2 .当题目中有条件 B? A时，不要忽略B= ?和A=B的情况.1. (2013 新课标全国I,5 分)已知集合 A= 1,2,3,4, B=x|x=n2, n C A,则 An B=()A 1,4B 2,3 C 9,16 D 1,2解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算.n=1,2,3,4时,x= 1,4,9,16 , .集合 B= 1,4,9,16, . An B= 1,4.答案： A2. (2013 新课标全国 n, 5 分)已知集合 M= x| -3<x&

10、lt;1 , N= 3, 2, - 1,0,1,则 MA N=()A 2，1,0,1B 3，2，1,0C 2，1,0D 3，2，1解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解由交集的意义可知 MT N= 2, - 1,0.答案： C3. (2013山东，5分)已知集合 A, B均为全集U 1,2,3,4 的子集，且？<AU B) = 4, B= 1,2,则 An ?uB=()A 3 B 4 C 3,4 D ?解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.由题意知AU B= 1,2,3,又B=1,2,所以 A 中必有元素 3,没有元素4,?uB= 3,4

11、,故An?uB=3.答案： A4. (2013 广东，5 分)设集合 S= x| x2 + 2x=0, xC R, T= x| x2-2x=0, x R,则 SA T =()A 0B 0,2 C 2,0 D 2,0,2解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力.因为S= -2,0,T= 0,2,所以 Sn T= 0.答案： A5. (2013 安徽，5 分)已知 A= x|x+1>0, B= 2, - 1,0,1，则(？刈 n B=()A 2，1 B 2 C 1,0,1 D 0,1解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力.集合 A=

12、 x|x>-1,所以？4=x|xw1,所以(？RA)nB= 2, 1.答案： A6. (2013 浙江，5 分)设集合 S= x|x>2, T= x| -4<x<1,则 SA T=()A. -4,+oo)B. (-2, +oo) C . -4,1 D . (-2,1解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考 查考生对基础知识的掌握程度.由已知得 sn T= x|x> 2Ax| 4Wxwi=x| 2<xw 1= ( -2,1.答案：D7. (2013 辽宁，5 分)已知集合 A= 0,1,2,3,4, B= x| x| v 2

13、,则 AH B=()A. 0B. 0,1 C . 0,2 D . 0,1,2解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考 生对集合运算的掌握情况，属于容易题.由已知，得B= x| -2< x<2,所以AH B= 0,1,选B.答案：B8. (2013 天津，5 分)已知集合 A= xCR|x|W2, B= x R| xW1,则 An B=()A. (8, 2B. 1,2 C , -2,2 D , -2,1解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算.意在考查考生对概念的理解能力.解不等式 |x|W2 得，一2WxW2,所以 A= -2,2,又 B=

14、 (一, 1,所以 An B=2,1.答案：D9. (2013 北京，5 分)已知集合 A= -1,0,1 , B= x| 1Wx<1,则 AH B=()A. 0B. -1,0 C . 0,1 D. -1,0,1解析：集合A中共有三个元素1,0,1 ,而其中符合集合B的只有1和0,故选B.答案：B10. (2013陕西，5分)设全集为R,函数f(x)=1-x的定义域为 M,则？制为()A.(巴 1) B. (1 , +oo) C .(巴 1 D . 1 , +oo)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法.从函数定 义域切入，1 x> 0,x<1,依

15、据补集的运算知识得所求集合为(1 , +8).答案：B11. (2013 湖北，5 分)已知全集 U 1,2,3,4,5,集合 A= 1,2 , B= 2,3,4,则 BA ?uA=()A. 2B. 3,4 C . 1,4,5 D . 2,3,4,5解析：本题主要考查集合的补集和交集运算.由题得，？uA= 3,4,5，则BA ?uA= 3,4.答案：B12. (2013 四川，5 分)设集合 A= 1,2,3,集合 B= 2,2,则 AH B=()A. ?B. 2 C . - 2,2 D . -2,1,2,3解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握.A, B两集合中只有一个公

16、共元素2,An B= 2,选B.答案：B13. （2013 重庆，5 分）已知全集 U 1,2,3,4,集合 A=1,2 , B= 2,3,则？4AU B） =（）A 1,3,4B 3,4 C 3 D 4解析：本题主要考查集合的并集与补集运算.因为AU B= 1,2,3,所以？u（ AU B） = 4,故选 D.答案： D14. （2012 新课标全国，5 分）已知集合 A= x|x2-x-2<0, B= x1<x<1,则（）A. A? BB. B? A C. A= BD .AH B= ?解析：A=x|x2-x-2<0=x|-1<x<2,B=x|1<x

17、<1,所以B?A答案： B15 . （2012 湖北，5 分）已知集合 A= x| x2-3x+2=0, x R, B= x|0< x<5, xC则满足条件A? C? B 的集合C 的个数为 （）A 1B 2 C 3 D 4解析：因为集合A= 1,2 , B= 1,2,3,4，所以当满足 A? C? B时，集合C可以为1,2、 1,2,3、1,2,4、1,2,3,4,故集合 C有 4 个.答案： D16 . （2011 浙江，5 分）若 P=x|x<1, Q= x|x>1,则（）A P? QB Q? PC ?RP? Q D Q? ?RP解析：: P= x|x<

18、;1,?rP= x|x>1,又 Q= x|x>- 1，.二?rP? Q答案： C17 .（2013 福建高考）已知集合A= 1,a,B= 1,2,3，贝U"a = 3”是 "A?B'的（）A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 A=1 , a, B=1,2,3，若 a=3,则 A=1,3，所以 A? B;若 A? B, 则a = 2或a=3,所以A? B ? a= 3,所以“ a=3”是“ A? B”的充分而不必要条件.18 .已知集合 A= x| 3wxw4, B= x|2 mv 1<

19、;x<mn 1,且B? A则实数m的取值范围 为 解析：: B? A, （1）当 B= ?时，m+ 1W2m- 1,解得 m>2.-3<2 mi- 1,（2）当 Bw?时，有 m 1<4,解得1w m<2,综上得 m>- 1.2m 1<m 1 ，考点三 集合的基本运算答案： 1, +oo）集合的基本运算的关注点(1) 看元素组成 集合是由元素组成的， 从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2) 有些集合是可以化简的， 先化简再研究其关系并进行运算， 可使问题简单明了， 易于解决(3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标

20、系和 Venn 图1. (2012 广东，5 分)设集合 U 1,2,3,4,5,6, M= 1,3,5，则？uMh ()A 2,4,6 B 1,3,5 C 1,2,4 D U解析：因为集合U1,2,3,4,5,6,M=1,3,5,所以 2 C ?uM,4C?uM,6c?UM,所以？UM2,4,6 答案： A2. (2012安徽，5分)设集合 A= x| 3W2x 1W3,集合B为函数y= lg( x1)的定 义域，则An b=()A (1,2) B 1,2 C 1,2) D (1,2解析：由题可知 A= x| -1<x<2, B= x|x>1,故 An B= (1,2答案：

21、 D3. (2012 浙江，5 分)设全集 U=1,2,3,4,5,6,集合 P=1,2,3,4, Q= 3,4,5,则PC (?UC) = ()A 1,2,3,4,6 B 1,2,3,4,5 C 1,2,5 D 1,2解析：?uQ= 1,2,6,故 Pn (?uQ) = 1,2.答案： D4. (2013 山东高考)已知集合 A, B均为全集U=1,2,3,4的子集，且？u(AU B) = 4,B= 1,2,则 An ?uB=()A 3 B 4 C 3,4 D ?解析. Ul= 1,2,3,4, ?u(AU B) = 4, .AU B= 1,2,3.又. B= 1,2 ,3 ? A? 1,2

22、,3.又？uB=3,4 ,An ?uB= 3. 答案 A4. (2012 湖南，5 分)设集合 M= -1,0,1 , N x|x2=x,则 MT N=()A 1,0,1 B 0,1 C 1 D 0 2解析：N= x|x =x = 0,1,所以 MT N= 0,1.答案：B5. (2012 江西，5 分)若全集 U xCR|x24,则集合 A= x C R| x+1| W 1 的补集 ?lA为()A.xC R|0<x<2B.xC R|0 <x<2C.xC R|0<x<2 D.x R|0 <x<2解析：因为 U= xC R|x2<4 = xC

23、 R| -2< x<2, A= xC R| x+1| <1= xC R| 2WxW0.借助数轴易得 ？uA= xCR|0<xW2.答案：C6. (2011 新课标全国，5 分)已知集合 M= 0,1,2,3,4, ,21,3,5 , , P= MA N,则P的子集共有()A. 2个B. 4个 C . 6个 D . 8个解析：P= Mn Nl= 1,3,故P的子集有22=4个.答案：B7. (2011 山东，5 分)设集合 Mf= x|( x+3)( x 2)<0 , N= x|1 <x<3,则 MT N=()A. 1,2)B. 1,2 C . (2,3

24、 D . 2,3解析：集合 Mf= ( -3,2) , MT N= (-3,2) A1,3 = 1,2).答案：A8. (2011北京，5分)已知全集 U= R,集合P= x|x2<1,那么?uP=()A. ( 8, 1)B. (1 ,+8)C. ( -1,1)D. ( 8, 1) U (1 , +OO)解析：集合 P= -1,1,所以？UP= (8, 1) U(1 , +8).答案：D9. (2010 新课标全国，5 分)已知集合 A= x| | x| <2, xe R , B=x|JXw4, x C Z, 则 An B=()A. (0,2)B. 0,2C. 0,2D. 0,1,

25、2解析：由题可知，集合A= x| -2<x<2,集合B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以集合 An B= 0,1,2.答案：D(2014 武汉市武昌区联考)已知全集U= R集合A= x|lg( x+1)<0, B= x|3x<1,则？<AO B) = ()A. (8, 0) U (0 , +8)B. (0, +oo)C. ( 一00, 一 1U(0,+°°)D . ( 一 1,十°0)解析lg( x+1)<0 ? 0<x+ 1<1 ? -1<x<0,3

26、x<l? x<0,则 An B= ( 1,0 , ?u(AA B) =(_OO, 1 u (0 , +8).答案C10. 知全集 U= R,集合 A= x|x22x>0, B= x| y= lg( x1),则(？ua) n B=()A. x|x>2 或 x<0B. x|1<x<2C. x|1<x<2D. x|1 <x<2解析：解不等式 x2- 2x>0,即 x( x- 2)>0 ,得 x<0 或 x>2,故 A= x|x<0 或 x>2;集合B是函数y=lg( x1)的定义域，由x - 1&g

27、t;0,解得x>1,所以B= x|x>1.如图所示，在数轴上分别表示出集合A, B,则？uA= x|0 < x<2,所以(？uA)nB=x|0 <x<2 n x| x>1 =x|1< x<2.-Q L 23»答案：选C10. (2009 山东，5 分)集合 A= 0,2 , a, B= 1 , a2.若 AU B= 0,1,2,4,16,则 a 的值为()A. 0B. 1 C . 2 D . 4解析：.AUB=0,1,2 , a,a2,又 AUB=0,1,2,4,16,，a,a2= 4,16 ,，a=4,故选D.答案：D,则图中阴

28、影部分所11.设全集U是自然数集 N集合 A=x|x2>4, xCN, B= 0,2,3 表示的集合是()A. x| x>2, x NB. x| x<2, x NC. 0,2D. 1,2解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是BA (?UA), ?uA=x|x2W4, x N= x| -2< x<2, x N =0,1,2 ,B= 0,2,3 , . BA ( ?ua) = 0,2，选 C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以 “问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以

29、集合为依托，考 查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：1创新集合新定义；2创新集合新运算；3创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决;（3）对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决.角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合 原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题.1 .若xC A,则1CA,就称A是伙伴关系集合，集合 M= 1, 0

30、, J 2, 3的所有非空 X2子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A. 1 B . 3 C .7 D . 31一，一 11 .解析：选B具有伙伴关系的元素组是-1; 2, 2,所以具有伙伴关系的集合有3个：-1,2，22,2角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集 合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.2 .如图所示的Venn图中，A B是非空集合，定义集合 A B为阴 影部分表示的集合.若 x, yCR, A= x y=2xx2, B=y|y=3x,x>0,则 A 8为（）A. x|0< x<2B , x|1< x< 2C. x|0wxwi 或 x>2D . x|0 wxwi 或 x>2解析：选 D 因为 A= x|0 <x<2, B= y|y>1,AU B= x|x>0, An B= x|1<x<2, 所以 A B= ?aub(AA E)=x|0WxWl 或 x>2,故选 D.角度三创新集合新性