【走向高考】2012届高三数学一轮复习3-2同步练习北师大版

1、KHQHZY课后强化作业一、选择题1 .设aCR,若函数y=eax+3x, xCR有大于零的极值点，则（）A. a>3B. a< 31 D. a< 31C. a> 3答案B解析由 y' =(eax+3x)' =aeax+3= 0 得x = Tn1 -1 >0 及 a<0, ,a .In I-a <0, .0<-1<1，1- a<- 3.2 .函数y = xsin x, x jy,兀是的最大值是()_ 兀A.兀-1B.-2- 1C.兀D.兀+1答案C解析f ' （ x） = 1 - cosx>0, f（x）

2、在甘,兀卜为增函数 ' f （x）的最大值为f（兀）=7tsin兀=兀，故选C.3. （2010 山东文）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y = ？3+81x234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为（）3A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件答案C解析本题考查了导数的应用及求导运算. x>0, v' =- x2+81 = （9 x）（9 +x），令 y' = 0,得 x= 9 时；当 xC （0,9）时，y' >0, x （9 , +°°）, y' <

3、0.y先增后减，x= 9时函数取最大值，选 C.4. （2011 西安模拟）若函数f（x）=x312x在区间（k1, k+1）上不是单调函数，则实 数k的取值范围是（）1 . kw 3 或iw k<i 或 k>38 . 3<k<1 或 1<k<39 . 2<k<2D.不存在这样的实数答案B解析因为y' =3x212,由y' >0得函数的增区间是(一00, 2)和(2, +°°),由 y' <0,得函数的减区间是(一2,2),由于函数在(k1, k+1)上不是单调函数，所以有 k-1<

4、2<k+1 或 k 1<2<k+1,解得3<k<1 或 1<k<3,故选 B.10 已知函数f(x) =2x42x3+3m xCR,若f (x)+9>0恒成立，则实数 m的取值范围是()A. mi>?B. m>!22C. me 3D. m322答案A解析由 f ' ( x) = 2x36x (x) =-+ x- 1 =x. x>2,F' (x)>0 ,，F(x)在2, +8)上为增函数.又. F(2) =ln2 +2-2=ln2>0 , .F(x)>0在2 , +8)上恒成立,= 0 得，x=

5、0 或 x=3, 经检验知x = 3是函数的一个最小值点，27所以函数的最小值为 f (3) = 3m-1,不等式f(x) + 9>0恒成立，即f(x)>9恒成立,273所以 3m-2> 9,解得 m>2.1 .一.11 当x>2时，ln x与x 2x的关系为()1 2A. ln x>x 2xB. ln x<x12一I'C. ln x= x-2x22D.大小关系不确定答案A_1 2则F'x2 x+ 1x解析构造函数F(x) = ln x + 2x -x,1 21 2. .即 lnx+Xx>0,，lnx>x X.B*12 要做

6、一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,要使其体积为最大，则高为 （）C虫C. 3cmA.cm答案D解析设圆锥的高为x,则底面半径为 娘02 x2,其体积为 V= 1 兀 x(400 x2)(0 vxv20),3V' =3 兀(400 3x2),令 V' =0,解得 x=3y3.当 0vxv 驾3 时，V >0;当驾3vx<20 时，V' < 0 33所以当x=20y3时，V取最大值. 313 已知对任意实数 x,有 f ( x) = f (x) ,g(x) = g(x),且 x>0 时 f ' (x)>0,g' (x)>

7、;0, 贝|*<0时()A. f '(x)>0, g' (x)>0B.f'(x)>0, g'(x)<0C. f '(x)<0, g' (x)>0D.f'(x)<0, g'(x)<0答案B解析f(x)是奇函数，g(x)为偶函数.x>0时，f (x), g(x)都单调递增，x<0时，f(x) 单调递增，g(x)单调递减，即f' (x)>0, g' (x)<0.二、填空题14 已知函数f(x)=axlnx,若f(x) >1在区间(1 ,十

8、)内恒成立，则实数 a的取值范 围为.答案a>l解析由已知得a>1 + 1n x在区间(1 , +8)内恒成立.x、厂1+lnx ，ln x设 g(x)=-，则 g (x) = - -< 0 (x>1), xx.g(x) = 1 + ln x在区间(1+8)内单调递减x g(x)<g(1) , g(1) =1,1 + ln x< 1在区间(1 , +8)内恒成立，a>1.10.如图，函数f(x)的图像是折线段 ABC其中A B C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,(4) f(f(0) =;函数 f(x)在 x=1 处的导数 f ' (1

9、) =答案2,-211 . (2011 广州综测)若函数f(x) = x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围 是.答案(-2,2)解析f' (x) = 3x23= 3(x1)(x+1).当 x< 1 时，f ' (x)>0 ;当一1<x<1 时，f ' ( x)<0 ;当x>1时，f' (x)>0.所以当x= 1时函数f(x)有极大值，当x= 1时函数f(x)有极小f I >0,值.要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足 ：! ° 解得一2<a<2.三、解答题12 .(文)已知

10、 a 为实数，函数 f(x) = (x2+1)(x+a),若 f' (1) = 0,求函数 y=f(x)在1 |, 1 1的最大值和最小值.解析f' (x) = 3x2+2ax+1. f' (-1) = 0,3-2a+1=0,即 a=2.x+ 1).由 f' (x)>0,得 xw1 或 x> 1；3由 f ' (x) W0,得1W x<- 1.33.因此，函数f(x)的单调递增区间为.一I，- 1 1口)一3，"，单调递减区间为1-1,.f (x)在 x=- 1 取得极大值 f(1)=2,f (x)在x=- 1取得极小值f &

11、#39;-1 ；= 50. 3； 32 7f(1) =6,且吗免27 81' f (x)在2，1 上的最大值为f(1) =6,最小值为f f 2 i= -832(理)(2010 江西文)设函数 f (x) = 6x + 3(a+2) x + 2ax.(1)若f (x)的两个极值点为xi, x2,且xix2= 1,求实数a的值；(2)是否存在实数a,使得f(x)是(一8, +8)上的单调函数？若存在，求出 a的值；若 不存在，说明理由.分析 本题考查了导数的运算及应用，先求导，再由导函数确定a的值及范围.2解析(1) f (x) =18x+6(a+2)x+2a,令 f (x)=0,218

12、x+6(a+2)x+2a= 0 的两根为 x1，x2,a= 9.L r2a则 x1x2= = 1,182(2)由 f ' (x) = 18x +6(a+2)x + 2a,开口向上， = 36( a + 2) 28X18 a= 36( a2 + 4)>0 恒成立，18x2+6(a+2)x+2a=0有两不等根，故不存在a使f(x)单调，因为f(x)一定存在两4,12 ， 13 .若函数f (x) = lnx2ax 2x存在单倜递减区间，求实数 a的取值范围.分析先求函数的定义域，然后把问题转化为f' (x)<0在定义域上有解的问题来解决.解析函数f(x)存在单调递减区间

13、， 就是不等式f' (x)<0有解，考虑到函数的定义域 为(0, +8),所以就是要求不等式 f' (x)<0在(0, +8)上有解.1ax + 2x 1函数f(x)的导函数f' (x) =-一ax2 =.由题意知，f ' (x)<0在定义域(0 ,xx十 °°)上有解，即 ax2+2x1>0在(0 ,+8)上有解.(1)当a>0时，y=ax2+2x1的图像是开口向上的抛物线，ax2+2x 1>0总有x>0的解；(2)当a<0时，y=ax2+2x1的图像是开口向下的抛物线，且经过点(0 , -

14、1),要使ax2+ 2x1>0总有x>0的解，则有2-a>0，-1.只要 A=4+4a>0即可,解得 a> - 1,，一 1<a<0.(3)当a=0时，显然符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(1, +8).14 .(文)(2010 北京文)设函数 f (x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a>0),且方程 f' (x) 9x=0 的3两个根分别为1,4.(1)当a=3且曲线y=f' (x)过原点时，求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(一8, +8)内无极值点，求 a的取值范围.解析 本题考查了函数与导函数的综合应用.

15、由 f (x) = ax由于 f(1) =ln2 , f ' (1) =2,所以曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为3y ln2 =2(x1).即 3x-2y + 2ln2 -3=0 + bx2+ cx + d 得 f' ( x) = ax2 + 2bx+ c 31 fz (x)-9x= ax2+2bx+ c9x=0 的两根为 1,4.a+2b+c-9=0(*)16a+ 8b+c 36=02b+c-6=0当a=3时，由(*)式得，8b+c+ 12=0解得 b= 3, c= 12.又.曲线y = f(x)过原点，d= 0.故 f (x) =x33x2 + 12x

16、.(2)由于 a>0,所以"f (x) = ax3+bx2+cx + d 在(一°°,+oo)内无极值点”等价于"f' (x) 3=ax2+ 2bx+ c>0 在(°0, +oo )内恒成立”由(*)式得 2b=95a, c=4a.2又. A = (2b) -4ac=9(a-1)( a 9)a-9 WO得 aC1,9,即a的取值范围1,9k 2(理)(2010 北东理)已知函数 f(x)=ln(1 +x)-x+2x(k>0).(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1 , f (1)处的切线方程；(2)求f (x)的

17、单调区间.分析本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间.第 (1)问可由导数求得切线斜率，从而求出切线方程.第 (3)问要注意对参数k进行分类讨论.解析(1)当 k=2 时，f(x)=ln(1 +x) -x+x2,，1f(x)F T + 2x., x kx + k |(2) f (x) =-,xC(1, +8).，,x当 k=0 时，f ? (x)=-.1 x因此在区间(一1,0)上，f ' (x)>0;在区间(0 , +8)上，f ' (x)<0;所以f(x)的单调递增区间为(一1,0),单调递减区间为(0, +8);当 0<k<1 时，由

18、f ' (x) = x 匕" =0,得 x=0, x2=1-k>0； 1 xk因此，在区间(一1,0)和(二7k, +8)上，f ' (x)>0； k在区间(0 , k)上，f ' (x)<0;即函数f(x)的单调递增区间为(一1,0)和(=, 十°°), kk单调递减区间为(0, F).k2x 当k=1时，f(x)=H、(x)的递增区间为(1, +8).1 x当 k>1 时，由 f ' (x)=x kx1=0,得 x1 = 0, x2=?e(-1, 0)； I十xk因此，在区间(一1,=")和(0, +°°)上，f ' (x)>0,在区间(k, 0)上，f ' (x)<0. kk1 k1 k即函数f(x)的单调递增区间为 : 1,，和(0, +8),单调递减区间为(,0).点评利用导数求函数的单调区间需注意两个问题：一是先求函数的定义域；二是对参数进行讨论.15.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/ 10 3.一 小时)的函数解