不可压缩流体动力学基础习题问题详解

1、不可压缩流体动力学基础1.已知平面流场的速度分布为xy，Uy22xy 5y 求在点（1,-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。解：（1）线变形速度:Ux2xUy4xy角变形速度:uy旋转角速度:将点（1, -1）UxuyUx32y2代入可得流体微团的z 3/2； z 1/22.已知有旋流动的速度场为Ux2y32,Uy 2z 3x,Uz 2x 3y。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。解：旋转角速度:UzUy角变形速度:UxUzuyUxuyUzUxUzuy上dx由dydz 积分得涡线的方程为:3.已知有旋流动的速度场为Ux c/y2 z2 , Uy 0, uz 0 ,式中 c为

2、常数,试求流场的涡量及涡线方程0解：流场的涡量为:UzUyUxUzczUyUxcy,y2旋转角速度分别为:则涡线的方程为:dydz可得涡线的方程为:4.求沿封闭曲线X2Ux Ay , Uy 0 ；0的速度环量。（i）Ux Ax , Uv 0； xyA/'r 。其中a为常数。解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在 z=0的平面上的圆周线。在z=0的平面上速度分布为:Ux Ax , Uy涡量分布为:根据斯托克斯定理得:（2）涡量分布为:根据斯托克斯定理得:zdAzA b2由于ur 0 , uA/rAyAx，Uy r bbA则转化为直角坐标为：ux2yxrUy Ux 2A2x y b根据斯托

3、克斯定理得：s A zdAz 2 A5.试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?答：不可压缩流体连续性方程一 UxUyUz（i）直角坐标： 0xyz Ur Ur U Uz柱面坐标：L z0r r r z(i) Ux kx, Uy ky, Uz 0代入（i） 满足(2)ux y z,Uv z x,Uz xxyz Uxk(x2xy y2),Uyk(x2y代入（i） 满足y2）,Uz 0 代入（i） 不满足代入（i） 不满足(5)ur0,u kr,uz 0代入（2）满足(4)ux ksin xy, Uyksin xy,Uz 0k代入（2）满足(6)ur ,u0,uz 0r ur 2rsin

4、 cos ,u2r sin2 ,Uz 0代入（2） 满足6.已知流场的速度分布为Ux3y，Uz22z。求（3,1, 2）点上流体质点的加速度。解:axUxUxUxUx uy一Uzux0 z2x y 2xy_23 2_ 23y x 0 2x y 3x yayuyUxuyUyuyUzuyazUzUz将质点ax(3, 1,9yUx x2）代入ax、UzUy 一yUzUzay、az中分别得:ay 9, az 648z27.已知平面流场的速度分布为ux 4t2y22x速度解:uxUxuxUxuy 一 y4t2y-2xF。求t y2x 2y0 时，在（i,i）点上流体质点的加0时,ax8xy22x 2x2

5、将（i,1）代入得axayuy uyT Ux三2y22 2yuyuy4t当t=0时，将（1, 1）代入得:8.设两平板之间的距离为 2h,分布。ay平板长宽皆为无限大,解：Z方向速度与时间无关，质量力:fxg运动方程：Z方向:d 2u dx2x方向：0积分：pgx f(z)p对z的偏导与x无关,积分：u边界条件:得：C10, C22x2y2 x224y2 2 y2y x2如图所示口z方向的运动方程可写为Cx C2ph2 z4x22x-2x4xy2 2 y试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速d2u dy29.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为22by

6、 y sin ；（2）单位免度上的3 .流重为q - b sin3解：x方向速度与时间无关，质量力 fx g sinfyg cos运动方程：X方向:0 gsin1 p d 2u- ax dy2y方向:积分p0 g cosgycosPaPag(h y)cosf(x) b 常数 p与x无关可变为d2u犷gsingb cos f (x)积分ugsin 1 2(2y GyC2)边界条件:dudyC1b, C2 0gsin2y(2b y)2L(2by2、 .y )sinb0udy02(2by2、y )sin dy一b3 sin 310.描绘出下列流速场右 _、+ dx解：流线方程： dyuy3，代入流线

7、方程，积分:3y -x4(a) ux 4, uy直线族(b) u*4, uv 3x ,代入流线方程，积分:x y抛物线族(c) ux 4y , uy 0 ,代入流线方程，积分:直线族(d) u* 4y, uv 3,代入流线方程，积分: x y2 2 3y抛物线族(e) ux 4y , u3x，代入流线方程，积分:3x224y c椭圆族,.、一 ,22(f) ux 4y,uy 4x,代入流线方程，积分： x y c双曲线族22(g) ux 4y, uy 4x,代入流线万程，积分：x y c(h) ux 4, uy0,代入流线方程，积分：y Cy直线族2x(I) ux 4, uv4x,代入流线方程

8、，积分：y cxy抛物线族(j) ux 4x, uy 0,代入流线方程，积分： y C直线族(k) ux 4xy , uy 0,代入流线方程，积分： y直线族c0,由换算公式:(i) urrx0r rcx2 x ycux 一uxur cosu sinuyur sin ucosuycy2 y代入流线方程积分:直线族(m ur0, uuxcycx22x y代入流线方程积分:11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么?解：无旋流有：u ya (或工 -u-l(a) , (f), (h), (j ), (l),(nt为无旋流动,其余的为有

9、旋流动对有旋流动，旋转角速度:2（uy巴) y(b)(g)3一(c)24 (i(d)2 (e)(k)2x12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。解：势函数u*dx uvdyxy ，流函数Uxdy Uydx(a)4dx 3dy 4x 3y4dy 3dx3x 4y(e)4ydxx3xdy x 4y°dxx0yo3xdy取(xO, y°)为(0,0)积分路线可选其中 0,0x,0 : dyo,yx,0 x,y0,xx(°°dx3xdy)y(04ydx3xdy)(00)(0 3xy) 3xy4ydy3xdx2y2 lx其他各题略13.流速场为（a）

10、urc一，(b)ur r0,u2r时，求半径为r1和r2的两流线间流量的表达式。解：dQ durdu dr(a)cdr rcln rricln r2( cln r1) cln -(b)2rdr222(r；r；)14.流速场的流函数是3x2y它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度口证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。绘流线解： 6xyx6y3x23y26yUx流线是无旋流3x2 3y222. jUx U y3(x2uyy2)6xy2 3r即任一点的流速只取决于它对原点的距离2 即 3x2 yy2) 2i当水平流速变化时,也变化用描点法：22y (3xy i,xy i,xy 2,xy

11、2,x（图略）15 .确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。要改变物体的宽度，需要变动哪些量。以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？解：需要水平流速v0 ,半无限物体的迎来流方向的截面 A,由这两个参数可得流量 Q v0A。改变物体宽度，就改变了流量。Q x yVo y - arctg :16 .确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度l 2m ,指定宽度b 0.5m ,设计朗金椭圆的轮廓线。解：需要水平流速v0, 一对强度相等的源和汇的位置a以及流量QVoyQyr(arctgT, y 、 arctg)x a驻点在y 0, X22lx y

12、 ,一处，由l 2,b 0.5得椭圆轮廓方程： y一7 121(0.25)2即：x216y2117.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知R 2m ,求流函数和势函数。解：需要流速v0,柱体半径Rv0(rR2) sinv0(r4) sin rv0(rv0(r18.等强度的两源流，位于距原点为R2、)cos ra的x轴上，求流函数。并确定驻点位置口如果此流速场和流函数为vy的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。解：叠加前， y ，(arctg arctg 一 x a x匕)ax a(-2 ，22y (x a)x a272y (x a)R2)cos ruy(2 J 2y (x a)uy

13、Qy (y2a2)ux 0a)uy 0.驻点位置(0,0)叠加后/ y(arctgx aarctg流速为零的条件： u V 、，nvxy nyQ2 (x a)Q2 (x a)122解得：x- Q Q (2a v)即驻点坐标： Q . Q2 (2a v)2 ,02 v '12-v.Q2一(2a-v)2 ,02 ,19.强度同为60m /s的源流和汇流位于 x轴，各距原点为a3m o计算坐标原点的流速。计算通过 (0,4)点的流线的流函数值，并求该点流速。Q / yy 、解： (arctg arctg)2 x a x aUxy 0,Q60,a 3112y xx a6.37m/ suy(0,4)的流函数:,4(arctg -,4、 arctg )Q arctg 4Ux Q 60,x 0,y 4,a 3y11)1 J)2x ax a180m/ s25Uy 020.为了在 (0,5) 点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何?2解：M 2 v0R