——地球正常重力场

1、第四章地球的正常重力场重力测量结果表明， 地球在其表面上的重力分布是有规律的；总的说来，它由赤道向两极逐渐增加，由赤道上的 978Gal逐渐增加到两极的983Gal。在大地测量中，参数合适的旋 转椭球是地面点坐标的参考架，当参考椭球选定后，大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m,起伏只占参考椭球赤道半径的2X10-6。因而自然想到，用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型（正常场地球模型），在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场。当正常场地球模型 在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分，一部分是正常场地球模型在该点

2、产生的重力场，第二部分为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场；前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。重力测量结果表明，当正常场地球模型选择合适后，大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal,约占地球正常重力场的 1 X10-42 X10-4。地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二，但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息，因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目 的之一。根据第三章的结果，本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数

3、张量以及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数。4.1 旋转椭球的几何参数引入笛卡尔直角坐标系 OX1X2X3,坐标原点O置于旋转椭球的中心，OX3沿其极半径，OxX2在其赤道平面内，则旋转椭球面的方程为其子午椭圆的方程为其中a、c分别为旋转椭球的赤道半径和极半径，它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数。考虑到参考椭球的赤道半径 a和极半径c相差很小，其扁率 约为3X10-3量级，因而参考椭 球的子午椭圆与圆非常接近，为了讨论问题方便，对子午椭圆常引入下面几个几何参数： 子午椭圆的扁率、第一偏心率e、第二偏心率e'有下述关系如图，OA与Ox轴之间的角度 0为A点的地心纬度，A点子午椭圆

4、的法线与 Ox轴之间的角度B称为A点的大地纬度，因为子午椭圆与圆非常接近，A点的地心纬度和大地纬度相差很小，其差约为子午椭圆扁率的量级。在图，有根据（，有因而有将上式代入（，得大地纬度和地心纬度相差很小，根据（3.2-1.6）式可以求出它们之间的相互换算关系，与（p q因而有考虑到子午椭圆的扁率约为为3X10-3量级，有时将子午椭圆的方程写成极坐标的方式比较方便。将（，把子午椭圆的直角坐标方程（，考虑到c a（1），有因为将（，化简，舍去高于3的项，即舍去小于30M0-9的项，得在（，根据（，舍去含高于3的项，即舍去小于30M0-9的项，有参考椭球面上大地纬度为B的子午椭圆的曲率半径 M和卯酉

5、圈的曲率半径 N的数学表达式分别为4.2 索米格兰纳（Somigliana ）正常重力公式正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量是正常重力位在此表面上的梯度，考虑到旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面，因而正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量应垂直于旋转椭球面，亦即其中乙、儿分别为坐标u的单位坐标基矢量和它的拉梅系数，根据（，旋转椭球面上u c上的拉梅系数为其中、分别为改化余纬和改化纬度。习惯上正常重力矢量的方向约定为eu ,即约定它指向旋转椭球内部为正，则参考椭球在其表面上产生的正常重力等于正常重力矢量在eu方向上的投影，即（，考虑到F2（sin）为$冶的二阶勒让德多项式，可以把（根

6、据（，有将（，得用e、 p分别表示赤道上和两级的正常重力，根据（，有将（，得根据（3.2-1.3）式、（，可以求出大地纬度 B和改化纬度之间的关系，它们是将（，化简得到以带地纬度B为变量的正常重力公式，它为（,它称为索米格兰纳正常重力公式。4.3 展成级数形式的正常重力公式，克雷诺（ Clairaut ）定理斯托克斯定理表明，正常场地球模型的赤道半径a、扁率、总质量M和旋转角速度唯一地决定了旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。正常重力公式（；因而赤 道上和两极的正常重力应决定于它的总质、赤道半径、扁率及其自转角速度这四个参数。将（f （u） g（u）,得 根据（，有根据（，有当u c时，

7、即在旋转椭球面上，有e'为子午椭圆的第二偏心率，将（，化简得根据（，可以求出q（c）/q'（c）,社区其中的高于 e'2的项，得将（，化简得到赤道上和两极处的正常重力，即其中m约等于赤道上的离心力与地球重力的比值，它的量级与旋转椭球的扁率相当，约为3M0-3,考虑到将（，社区含高于 2的项，得根据（，可以得出正常场地球模型的总质量M与它在赤道上的重力e、旋转椭球的几何参数a、c以及它的自转角速度之间的关系：2将（M ,化简，舍去含局于的项，得出正常场地球模型在其表面上产生的重力位Uo ,它与赤道上的重力e以及旋转椭球的几何参数 a、和地球自转角速度之间的关系为用表示正常

8、场地球模型的重力扁率，它等于两极的重力与赤道上的重力的差与赤道上的重力的比值，即正常场地球模型的重力扁率约为5X10-3,它是子午椭圆扁率的量级，因而把正常重力公式（，把（考虑到而将（，化简得将上式展成的级数，社区含高于2的项，得其中从（，正常场地球模型的重力扁率和旋转椭球的扁率有下述关系：表示和之间关系的（4.4 地球的正常重力位二次导数张量引入局部坐标系 OX1X2X3,坐标原点O选在正常场地球模型表面上任一点，0x3轴垂直向下沿该点的正常重力方向，Oxi向北，Ox2向东，在这种局部坐标系内，根据（，正常重力位的二次导数张量在原点O的两个分量Uii、U22的表达式分别为其中 为O点的正常重

9、力， M为子午椭圆在 O点的曲率半径，N为旋转椭球面在 O点的卯酉圈的曲率半径。将 M、N的表达式（，社区含该与2的项，得把准确至旋转椭球扁率量级的克雷诺定理（将（，得正常重力位在其表面上满足泊松方程将（，化简得在m的表达式（2,有即m等于赤道上的离心力与赤道上的正常重力的比值。将（，舍去含高于2的项，得地球正常重力的垂直梯度 一U等于 U33,即。 h子午椭圆式旋转椭球的主法截线，在所选定的局部直角坐标系内，子午椭圆所在的平面为南北平面，它的方位角等于0,根据（，与重力等位面主法截线位置有关的正常重力位二次导数张量分量U12应等于0,即在所选定的局部直角坐标系内，正常重力与经度无关，它与坐标

10、x2无关，因而在坐标原点 O的重力水平梯度东西分量 U23应等于0,即而重力水平梯度的南北分量为将M的表达式（，舍去含高于2的项，得（,正常场地球模型垂线在O点的曲率矢量决定于该点的正常重力水平梯度，将（，化简得其中，为正常场地球模型垂线的曲率半径，n为指向垂线弯曲方向的单位矢量。4.5 正常大地位的球函数展开地球在其外部空间产生的引力位称为它的大地位.大地位的球函数展开是大地位的重要表示方法、随着空间技术的发展和地面重力测量结果不断积累、确定大地位球函数展开的阶数及其系数的精度越来越高、为了与地球的大地位球函数展开进行对比，需要知道正常大地位的球函数展开。选取地心直角坐标系 OX1X2X3,

11、坐标原点选在正常场地球模型的质心，OX3轴沿它的旋转轴，OX1X2在赤道平面内，根据（，正常大地位与经度无关，且对赤道面对称，用0表示空间点的地心余纬，则正常场大地位球函数展开中只应有cos 0的偶阶勒让德多项式F2n（cos 0），根据（，正常大地位 V（r）的形式应为：其中，M、a为正常场地球模型的质量和赤道半径，用A、C分别表示正常场地球模型对Ox轴和其自转轴的转动惯量，则根据（，有因为C A,所以A C为一负值，为了使正常大地位球函数展开中的二阶项系数为一正数，习惯上常把（J2称为地球的动力学形状因子。将q（u）的表达式（，得出大地位表达式：其中，e'为参考椭球子午椭圆的第二偏

12、心率。根据正常场大地位的表达式（，可以求出它的大地位球函数展开（J2n,即当地心余纬等于 0时，此时改化余纬也应等于0,且椭球坐标u等于r ,（对比（，得出正常大地位球函数展开系数：其中，e为参考椭球子午椭圆的第一偏心率。当n 1时，有从上式得出将（，化简得（，正常大地位球函数闸门开系数J2n随着其阶数n的增加按子午椭圆扁率的 2n次哥迅速减小。根据（，得将（，化简，舍去含高于2的项，得（,正常大地位球函数展开二阶项系数J2与子午椭圆的扁率和参数m有简单的代数关系，根据（，可以根据动力形状因子J2确定参考椭球的扁率。4.6正常重力公式正常场地球模型有四个独立参数：地心引力常数kM、参考椭球的赤

13、道半径 a、扁率和它的旋转角速度，给定这四个参数，就可以根据（，计算出参考椭球在它表面上的重力分布。地球的旋转角速度可以精确地确定，由于其他三个参数的选择不同，历史上曾出现过很多正常重力公式，下面给出我国采用的两个正常重力公式：（1）赫尔默（Helmert）正常重力公式，（2） 1930国际正常重力公式，以及与 1980大地参考系对应的正常重力公式 和大地位系数。1 .赫尔,默（Helmert）正常重力公式德国人赫尔默于1901年根据当时波斯坦系统的几千个重力测量结果，计算出赤道上的正常重力e,重力扁率和系数1,由这三个参数决定的正常重力公式为：（,利用克雷诺定理（，可以计算出与赫尔默正常场地

14、球模型相对应的参考椭球的扁率 ，它等于1/298.3,这个扁率与我国大地坐标系采用的克拉索夫参考椭球的扁率 相等，所以我国、原苏联、东欧一些国家均采用过赫尔默正常重力公式，与其相对应的克拉索夫参考椭球的赤道半径a和扁率分别为2 .国际参考椭球及1930国际正常重力公式美国人海福特（Hayford ）于1909年根据美国当时的大地测量结果给出了一个参考椭球，它的赤道半径 a和扁率分别为国际大地测量和地球物理联合会于1924年将上述参考椭球定义为国际参考椭球。芬兰人海斯卡宁（Heiskanen）于1928年根据当时的重力测量结果计算出正常场地球模型赤道上的重力e,它的值为并将正常场地球模型的自转角

15、速度取为地球的自转角速度，它的值为把上述由实际观测结果确定的四个独立参数a、 e、取为正常地球模型的参数，此时与正常场地球模型相对应的参考椭球的其他导出参数c、E、e、m、U、kM可以根据这四个独立参数利用本章相应公式计算出来，它们分别为根据（，重力扁率和系数1分别为相对应的正常重力公式为国际大地测量与地球物理联合会于1930年将（3.1980大地参考系及与其相对应的正常重力公式随着空间技术的发展，可以根据卫星轨道根数及其变化确定地心引力常数kM及地球的动力形状因子J2这两个参数，因而近代正常场地球模型多用地心引力常数kM、动力形状因子J2、地球的赤道半径 a、旋转角速度四个独立参数给出。国际

16、大地测量和地球物理联合会于1979年通过了 1980大地参考系，与1980大地参考系相对应的正常场地球模型的 四个独立参数为根据（，可以导出参考椭球的有关几何参数和正常场地球模型的物理参数，参数椭球的导出几何参数为正常场地球模型的导出物理参数为与1980大地参考系相对应的正常重力公式为与1980大地参考系相对应的平均重力0为1980大地参考系相对应的正常重力公式（这两个正常重力公式之间的差别主要有两个原因：（1）计算1930国际正常公式的参数时，利用了当时的波斯坦重力系统重力测量数据，而于18891905年利用可倒摆在波斯坦所作的重力测量比真值大了 14mGal,即当时的波斯坦绝对重力测量有-14mGal的绝对