【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第八篇第7节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第 7 节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3,4,5,6,9最值、定值问题11,15弦长问题与中点弦问题2,7,8,14直线与圆锥曲线的综合问题10,12,13基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 已知抛物线 y2=2x, 过点 (-1,2) 作直线 l, 使 l 与抛物线有且只有一个公共点 , 则满足上述条件的直线 l 共有 ( D )(A)0 条(B)1 条(C)2 条(D)3 条解析 : 因为点 (-1,2)在抛物线y2=2x 的左侧

2、, 所以该抛物线一定有两条过点 (-1,2)的切线 , 过点 (-1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点 , 所以过点 (-1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点.故选 D.2. 已知椭圆 +=1 以及椭圆内一点 P(4,2), 则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( B )欢迎下载。(A) (B)- (C)2 (D)-2解析 : 设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减 , 得+=0,所以 =-, 所以 k=-.故选 B.3. 过点 P(1,1) 作直线与双曲线x2-=1 交于 A,B 两点 , 使点 P 为 AB中点,

3、 则这样的直线 (D)(A) 存在一条 , 且方程为 2x-y-1=0(B) 存在无数条(C) 存在两条 , 方程为 2x±(y+1)=0(D) 不存在解析 : 设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2,- =1,- =1,两式相减得 (x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0, 所以 x1-x2= (y1-y2), 即 kAB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.联立可得 2x2-4x+3=0,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系但 =(-4)2-

4、4 ×2×3<0, 此方程没有实数解 , 故这样的直线不存在 . 故选 D.4. 已知点 A(2,0), 抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F, 射线 FA 与抛物线 C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM| |MN|等于 (C)(A)2(B)12 (C)1(D)1 3解析 :FA:y=-x+1,得 N(4,-1),与x2=4y联立 ,得xM=-1,FA:y=-x+1,与y=-1联立 ,由三角形相似知 =. 故选 C.5.(2017 ·、一模 ) 过双曲线 -=1(a>0,b>0) 的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 A,B 两点 ,

5、使得 |AB|=4b, 若这样的直线有且仅有两条 , 则离心率 e 的取值范围是 (D)(A)(1,)(B)(,+ )(C)(,)(D)(1,)(,+)解析 :过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交, 得最短弦为2a;如果与双曲线的一支相交得最短弦长为, 此时弦垂直于 x 轴,因为满足 |AB|=4b 的弦有且仅有两条 , 所以得如图两种情况 .或3/143/14或由得所以所以解得结合 e>1 得,1<e<,由同理解得 e>,综合可得 , 有 2 条直线符合条件时 ,e> 或 1<e<. 故选 D.6. 已知椭圆 C:+=1(a>b>0),F

6、(,0) 为其右焦点 , 过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为.解析 : 把 x=c 代入椭圆方程解得y=±,所以弦长 =2, 则解得所以椭圆 C的方程为 +=1.答案 :+=17. 过点 M(2,-2p) 作抛物线 x2=2py(p>0) 的两条切线 , 切点分别为 A,B,若线段 AB的中点的纵坐标为6, 则 p 的值是.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系解析 : 抛物线 x2=2py 是关于 x 的二次函数 y=x2, 其导函数为 y=,设点 A(x1,y1),B(x2,y

7、2),则切线 MA的方程是 y-y1=(x-x1),即 y=x-. 又点 M(2,-2p) 位于直线 MA上,于是有 -2p= ×2-, 即-4x1-4p2=0;同理有 -4x2-4p2=0,因此 x1,x2 是方程 x2-4x-4p2=0 的两根 ,则 x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段 AB的中点的纵坐标是6 得,y1+y2=12,即=12,=12,解得 p=1 或 p=2.答案:1 或 28.(2017 ·二模 ) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F, 以抛物线 C上的点 M(x0,2)(x0>) 为圆心的圆与线段 MF相交于点

8、A, 且被直线 x=截得的弦长为 |,若=2, 则|=解析 : 由题意 ,|MF|=x0+.因为圆 M 与线段 MF 相交于点.A, 且被直线x=截得的弦长为|,所以|MA|=2(x0-).5/145/14因为 =2, 所以 |MF|=|MA|, 所以 x0=p,所以 2p2=8, 所以 p=2, 所以 |=1.答案 :1能力提升 ( 时间 :15 分钟 )9. F 为椭圆 +y2=1的右焦点 , 第一象限内的点 M在椭圆上 , 若 MFx 轴,直线 MN与圆 x2+y2=1 相切于第四象限内的点N,则|NF| 等于 (A)(A)(B)(C)(D)解析 : 因为 MFx 轴,F 为椭圆 +y2

9、=1 的右焦点 ,所以 F(2,0),M(2,),设 lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则 O到 lMN的距离 d=1,解得 k=( 负值舍去 ).又因为 ?即 N(,-),所以 |NF|=. 故选 A.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系10.(2017 ·模拟 ) 椭圆 +=1 的左、右焦点分别为 F1,F2, 过椭圆的右焦点 F2 作一条直线 l 交椭圆于 P,Q 两点 , 则 F1PQ内切圆面积的最大值是.解析 : 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍,且 F1PQ的周长是定值 8, 所以只需求

10、出 F1PQ面积的最大值 . 设直线 l 方程为 x=my+1,与椭圆方程联立得 (3m2+4)y2+6my-9=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2=-,y1y2=-,于是 =|F1F2| ·|y1-y2|=12.设 m2+1=t1,+ ),则=,在 t 1,+ ) 内,9t+ 是单调递增的 ,所以 t=1 取得最大的 =12·=3.所以内切圆半径r= ,因此其面积最大值是 .7/147/14答案 : 11.(2017 ·模拟 ) 已知直线 MN过椭圆 +y2=1 的左焦点 F, 与椭圆交于M,N两点 . 直线 PQ过原点 O与 MN平行

11、, 且 PQ与椭圆交于 P,Q两点 , 则=.解析 : 不妨取直线 MNx 轴, 椭圆 +y2=1 的左焦点 F(-1,0),令 x=-1, 得y2=,所以 y=±, 所以 |MN|=, 此时 |PQ|=2b=2,则=2.答案 :212.(2017 ·一模 ) 设 A,B 分别为椭圆 +=1(a>b>0) 和双曲线 -=1 的公共顶点 ,P,M 分别为双曲线和椭圆上异于 A,B 的两动点 , 且满足 +=(+), 其中 R,| |>1, 设直线 AP,BP,AM,BM的斜率分别为 k1,k2,k3,k4且 k1+k2=5, 则 k3+k4=.解析 : 如图

12、所示 ,因为满足 +=(+), 其中 R,| |>1,所以 -2= ·(-2),所以 O,M,P 三点共线 .设 P(x1,y1),M(x2,y2),【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系=k0.则-=1,+=1,所以 =,=-,因为 k1+k2=5,所以 5=+=·.所以 k3+k4=+=-·=-5.答案 :-513.(2017 ·模拟 ) 已知抛物线C:y2=2px(p>0) 的焦点 F 和椭圆 E:+=1的右焦点重合 , 直线 l 过点 F 交抛物线于 A,B 两点 .(1) 若直线

13、 l 的倾斜角为 135°, 求 |AB| 的长 ;(2) 若直线 l 交 y 轴于点 M,且=m,=n, 试求 m+n的值 .解:(1) 据已知得椭圆 E 的右焦点为 F(1,0),所以 =1, 故抛物线 C的方程为 y2=4x.因为直线 l 的倾斜角为 135°, 所以 y=-x+1,由得到 (-x+1)2=4x,即 x2-6x+1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=6, 所以 |AB|=p+x1+x2=8.9/149/14(2) 根据题意知斜率必存在 ,于是设方程为 y=k(x-1),点 M坐标为 M(0,-k),因为 A(x1,y1),B

14、(x2,y2)为 l 与抛物线 C的交点 ,得到 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,因为=16(k2+1)>0,所以 x1+x2=2+,x1x2=1.因为 =m, =n,所以 (x1,y1+k)=m(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以 m=,n=,所以 m+n=+=-1.14.(2017 ·二模 ) 已知椭圆 C:+=1(a>b>0) 的离心率为 ,F1,F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点 , 椭圆 C 的焦点 F1 到双曲线 -y2=1渐近线的距离为 .(1) 求椭圆 C的方程 ;【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训

15、练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系(2) 直线 AB:y=kx+m(k<0) 与椭圆 C交于不同的 A,B 两点 , 以线段 AB为直径的圆经过点 F2, 且原点 O 到直线 AB 的距离为 , 求直线 AB 的方程.解:(1) 因为双曲线 -y2=1 的一条渐近线方程为x-y=0, 椭圆 C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆 C的焦点 F1 到双曲线 -y2=1 渐近线的距离为 .所以 d=得 c=1,又离心率 e=,则 a=,b=1,则椭圆 C的方程为 +y2=1.(2) 设 A,B 两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由原点 O到直线 AB的距离为 ,得

16、=,即 m2= (1+k2),将 y=kx+m(k<0)代入 +y2=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则 =16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)11/1411/14=8(2k2-m2+1)=8(2k2-k2+1)=8(k2+)>0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段 AB为直径的圆经过点F2,所以· =0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,所以 (1+k2) +(km-1)(-)+m2+1=0, 化简得 3

17、m2+4km-1=0,由得 11m4-10m2-1=0,得 m2=1,因为 k<0, 所以所以 AB的方程为 y=-x+1.15.(2017 ·调研 ) 设椭圆 C:+=1(a>b>0) 经过点 (,),且其左焦点坐标为(-1,0).(1) 求椭圆的方程 ;(2) 过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m, 其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于 P,Q, 求|MN|+|PQ| 的最小值 .【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系解:(1) 因为 2a=+=4,又 c=1,所以 b=,所以椭圆的方程为 +=1.(2) 当直线 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在时 ,|MN|+|PQ|=+2a=3+4=7,当直线 l1