【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第五篇第4节数列求和及综合应用

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第 4 节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组求和法1,2,3,11,13裂项相消法求和5,8,15错位相减法求和12,14数列的综合应用4,6,7,9,10基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 已知数列 an 的通项公式是 an=2n-3()n, 则其前 20 项和为 (C)(A)380- (1-)(B)400- (1-)(C)420- (1-)(D)440- (1-)解析 : 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,则 S20=a1+a2+ +a20=2(1+2+20)-3(+)=2×-

2、3 ×=420- (1-).故选 C.2. 数列 an 的通项公式为 an=(-1)n-1 ·(4n-3),则它的前 100 项之和S100等于 (B)欢迎下载。(A)200(B)-200(C)400(D)-400解析 :S100=(4 ×1-3)-(4 ×2-3)+(4 ×3-3)-(4 ×100-3)=4×(1-2)+(3-4)+(99-100)+-3-(-3)-3+-(-3)=4×(-50)=-200.故选 B.3.(2017·全国卷 ) 等差数列 an 的首项为1, 公差不为0. 若a2,a3,a

3、6成等比数列 , 则an 前 6 项的和为 ( A)(A)-24(B)-3(C)3(D)8解析 : 由 a2,a3,a6成等比数列且 a1=1 得(1+2d)2=(1+d)(1+5d).因为 d0, 所以 d=-2,所以 S6=6×1+×(-2)=-24.故选 A.4.(2017 ·安阳一模 ) 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=2n-1, 则数列 log2an 的前10 项和等于(C)(A)1 023(B)55(C)45(D)35解析 : 数列 an 的前 n 项和 Sn=2n-1, 可得 a1=S1=2-1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1

4、-(2n-1-1)=2n-1,对 n=1 也成立 . 所以an=2n-1(n N*)log2an=log22n-1=n-1,则数列 log2an 的前 10 项和等于 0+1+2+9=×(1+9) ×9=45.故选 C.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第节数列求和及综合应用5.(2017 ·湖南模拟 ) 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2(nN*),记数列 的前 n 项和为 Tn, 则 T2 017 等于 (B)(A)(B)(C)(D)解析 : 当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-

5、 (n-1)2=2n-1,当 n=1 时适合上式 , 所以 an=2n-1.(n N*).所以 = (-),数列 的前 n 项和为 Tn= (1-+-+-)= (1-).则 T2 017= (1-)=.故选 B.6.(2016 ·湖北三校联考 ) 已知等比数列 an 的各项都为正数 , 且当 n3 时,a4=1,则数列 lg a1,2lg a2,22lga3,23lg a4,2n-1lgan,的前n 项和Sn 等于 (C)(A)n·2n(B)(n-1)·2n-1-1(C)(n-1)·2n+1 (D)2n+1解 析 : 因 为 等 比 数 列 an 的 各

6、 项 都 为 正 数 , 且 当n 3时,a4a2n-4=102n,所以 =102n, 即 an=10n,所以 2n-1lg an=2n-1lg 10n=n·2n-1,所以 Sn=1+2×2+3×22+n×2n-1, 3 / 93 / 92Sn=1×2+2×22+3×23+n·2n, 所以 - 得 -Sn=1+2+22+2n-1-n ·2n=2n-1-n ·2n=(1-n) ·2n-1,所以 Sn=(n-1) ·2n+1. 选 C.7.(2017 ·郴州二模 ) 已

7、知等比数列 an 的前 n 项和 Sn=2n-a, 则+等于( D)(A)(2n-1)2(B) (2n-1)(C)4n-1(D) (4n-1)解析 : 因为 Sn=2n-a, 所以 a1=2-a,a1+a2=4-a,a1+a2+a3=8-a,解得 a1=2-a,a2=2,a3=4,因为数列 an 是等比数列 , 所以 22=4(2-a), 解得 a=1.所以公比 q=2,an=2n-1,=22n-2=4n-1.则+ += (4n-1). 故选 D.8.(2016 ·广东汕尾调研 ) 已知数列 an 为等比数列 ,a1=3,a4=81, 若数列bn 满足 bn=(n+1)log3an,

8、 则 的前 n 项和 Sn=.解析 : 由题知 an=3n,所以 bn=n(n+1),= -,所以 Sn=(1-)+(-)+(-)=1-=.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第节数列求和及综合应用答案 :9.(2017 ·合肥二模 ) 等比数列 an 满足an>0, 且 a2a8=4, 则 log2a1+log2 a2+log2 a3+log2 a9=.解 析:根 据 题意,等比数列an的 各项都是正数,a1 ·a9=a2·a8=a3·a7=a4·a6=4,则a5=2,则log2a1+log2a2+log2a9=lo

9、g2(a1 ·a2· · a9)=log2(29)=9,答案 :9能力提升( 时间 :15分钟 )10. 已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+|a6|等于(C)(A)9(B)15 (C)18 (D)30解析 : 因为 an+1-an=2,a1=-5, 所以数列 an 是公差为 2 的等差数列 .所以 an=-5+2(n-1)=2n-7.数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-6n.令 an=2n-70, 解得 n.所以 n3 时,|an|=-an.n4 时,|an|=an.则|a1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+

10、a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6 ×3)=18.故选 C.5 / 95 / 911.(2017 ·安 徽宿州 一模 ) 设数列 an 的前 n 项和为Sn, 已知a2=2,an+2+(-1)n-1an=1,则 S40 等于 (C)(A)260(B)250(C)240(D)230解析 : 由 an+2+(-1)n-1an=1,当 n 为奇数时 , 有 an+2+an=1, 当 n 为偶数时 ,an+2-an=1,所以数列 an 的偶数项构成以2 为首项 , 以 1 为公差的等差数列 ,则 S40=(a1+a3+a5+a7+ +a39)+(a2+a

11、4+ +a40)=10×1+20×2+×1=240.故选 C.12.(2017 · 淮 北 二 模 ) 已 知 数 列 bn 是 等 比 数 列 ,bn=,a1=1,a3=3,cn=(an+1) ·bn, 那么数列 cn 的前 n 项和 Sn=.解析 : 设等比数列 bn 的公比为q, 由题意得 =q, 即 an+1-an=log2q.所以 an 为等差数列 , 又 d=1,a1=1.所以 an=1+n-1=n,bn=2n-1.所以 cn=(an+1) ·bn=(n+1) ·2n-1.所以数列 cn 的前 n 项和 Sn=2

12、×1+3×2+4×22+(n+1) · 2n-1. 2Sn=2×2+3×22+n·2n-1+(n+1) ·2n, - 得【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第节数列求和及综合应用-Sn=2+2+22+23+2n-1-(n+1) ·2n=1+-(n+1) ·2n=-n·2n,所以 Sn=n·2n.答案 :n ·2n13. 已知等差数列 an 前三项的和为 -3, 前三项的积为 8.(1) 求等差数列 an 的通项公式 ;(2) 若 a2,a3,a1

13、 成等比数列 , 求数列 |an|的前 n 项和 .解:(1) 设等差数列 an 的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n-1)=3n-7.故 an=-3n+5, 或 an=3n-7.(2) 当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1分别为 -1,-4,2,不成等比数列 ;当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为 -1,2,-4, 成等比数列 , 满足条件 .故|an|=|3n-7|=记数列 |an|的前 n 项和为 Sn.当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时,S

14、2=|a1|+|a2|=5;当 n 3 时 ,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(3 × 3-7)+(3 × 4-7)+(3n-7)7 / 97 / 9=5+=n2-n+10.当 n=2 时, 满足此式 .综上 ,Sn=14.(2017 ·衡水一模 ) 已知数列 an 的前 n 项和为Sn,a1=2, 且满足an+1=Sn+2n+1(nN*).(1) 证明数列 为等差数列 ;(2) 求 S1+S2+ +Sn.(1) 证明 : 由 Sn+1-Sn=an+1得 Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即 Sn+1-2Sn=2n+1,整理得 -=1,因为 n=1 时

15、,=1,所以数列 是以 1 为首项 ,1 为公差的等差数列 .(2) 解: 由(1) 可知 ,=1+n-1=n, 即 Sn=n·2n,令 Tn=S1+S2+ +Sn,Tn=1·2+2·22+ +n·2n, 2Tn=1·22+(n-1) ·2n+n·2n+1, - , 得-Tn=2+22+ +2n-n ·2n+1,整理得 Tn=2+(n-1) ·2n+1.15.(2017 ·江西鹰潭二模 ) 已知数列 an 与bn, 若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1-an=2, 数列 bn 的前 n 项和 Sn=n2+an.(1) 求数列 an,bn的通项公式 ;【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第五篇第节数列求和及综合应用(2) 求数列 的前 n 项和 Tn.解:(1) 由题意知数列 an 是公差为 2 的等差