「初中数学」一道二次函数题的思考.doc

1、初中数学一道二次函数题的思考【题目呈现】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aK0对称轴为直线 x=一 1,且经过 A(1 , 0), C(0, 3)两点，与 x轴的另一个交点为 B.(1)若直线y=mx+n经过B, C两点，求直线BC和抛物线 的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M ,使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小，求点 M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x=- 1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点 P的坐标.【分析】(1)利用待定系数法可求两函数的解析式，由于 简单只写答案.抛物线的解析式为 y=- x2- 2x+3,直线BC 的解析式为y=x+

2、3.(2)是典型的将军饮马问题.由于点A(1 , 0)与点B( 3, 0)关于对称轴直线x=- 1对称，则直线BC与直线用一 1的 交点，就是使 MA十MC最小的点 M, .把x=- 1代入直 线y=x+3 ,得y=2, 所求的点 M为(一 1, 2).(3)这才是本文的重点，此问是二次函数背景下的直角三 角形存在性问题，遇到此类问题该如何考虑呢？【策略】抓住运动中的不变量，以不变应万变，万变不 离其宗，充分研究题目中给定的信息，甚至挖掘隐藏的不变量，运用分类讨论的思想，转化的思想，使题目分类明确， 转化信息，用已掌握的、熟练的方法来解决问题.本题中/OBC=45这个隐藏的信息非常有用.【方法

3、】常见的方法，大了说，就是：代数法与几何法.代数法，就是设由未知数，依据条件表示相关的量，进而列由 方程进行求解.若题是多动点问题，代数法表示由相关的量可 能未知数的次数高，或者未知数多，计算量大，理论上行得 通，但考查上时间如金，往往不采用；若是单动点问题，相关的量已知或易于表示，未知数少易于解答同时分类简单明晰.几何法，能够很好的利用题中的信息，运用相关的定理，简 化了计算量，但往往分类情况多且需一一画图，大多时候往 往是代数，几何混合解题，既分类明晰，又计算简捷，体现 了数与形的完善结合，正所谓，数缺形时少直观，形缺数时 难入微。【代数法】设P点坐标为(一 1, t),又B点坐标为(一

4、3, 0), C点坐 标为(0, 3),，BC2=18, PB2=( 1+3)2+t2=4+t2, PC2=( 1)2+(t 3)2=t2- 6t+10.若 B 为直角顶点，贝U BC2+PB2=PC2,即 18+4+t2=t2 6t+10 , 解得t=- 2;若 C 为直角顶点，贝U BC2+PC2=PB2,即 18+t2 6t+10=4+t2,解得t=4;若 P为直角顶点，贝U PB2+PC2=BC2,即 4+t2+t2- 6t+10=18 ,解得 t1=3/2+ V17/2 t2=3/217/2.综上所述，满足条件的点P共有4个，分别为（一 1, 一2）或（一 1, 4）或（一 1, 3

5、/2+，17/缺（一 1, 3/217/2）.【几何法】因点P在对称轴直线x=- 1上，又由于ABPC为直角三 角形，故可分三种情况讨论：（一）.当点B为直角顶点时，点 P在直线BC下方的对称 轴上，如图，设对称轴x=- 1与x轴交于E点，: OB=OC=3，/ OBC=/OCB=45 ,紧抓这一不变量，而/CBP=90° ,PBE=45° ,可得ABEP为等腰直角三角形， BE=PE=OB OE=2,P 点坐标为（一 1, 2）.（二）当点C为直角顶点时，点P为直线BC上方的对称轴 上，如图设对称轴直线x=- 1与x轴交于点E,与直线BC交于 点 M,由于/ OBC=45

6、 ,则/ BME=/CMP=45 ,贝U ABEM 为等腰直角三角形，BE=ME=2 ,过点C作CN"寸称轴于N , 则4CNM ,与APCM都是等腰直角三角形， PM=2CN=2 , 贝U PE=PM+EM=4 , P 点坐标为（一 1, 4）.（三）当点P为直角顶点时，点P可以在BC上方的对称轴 上，也可在BC下方的对称轴上.当点P在BC上方的对称轴上时，如图，过点P作PK，y轴于K,由于ABEP, APKC , ABOC都 为直角三角形，可考虑用勾股定理解题， 设P点坐标为（一 1, t）, （t3）,贝U KC=t 3,易知 BE=2 , PE=t, PK=1 ,， BC2=

7、OB2+OC2=BP2+CP2,而 BP2=BE2+PE2, CP2=PK2+CK2, ，OB2+OC2=BE2+PE2+PK2+CK2,即 32+32=22+t2+12+（t - 3）2, 解得 t1=3/2+ V17/2 t2=3/2 ，17/2舍去）.，P 点坐标为（一 1, 3/2 十，17/2）.另，可过P作MN / x轴交y轴于N ,过点B作y轴的平 行线交MN于M ,如图这时在MN这一条线上由现了三个直角，可用一线三垂 直模型来解决，易知 MBPsNPC,设P点坐标为（一 1, t）,则 MP=2, PN=1 , NC=t 一 3, MB=t ,，MB/PN=MP/NC , 即

8、t/1=2/（t 一 3）, t2- 3t 2=0,解得 t1=3/2 十，17/212=3/2 一，17/2舍去），P 点坐标为（一 1, 3/2+V17/2）.当点P在直线BC下方的对称轴上时，如图设对称轴与 x轴交于E点，由于/ BCP/BCO=45，.二 /CBP/CBO=45 ,，P点在E点下方，作 PN，y轴于N, 设 P 点坐标为（一 1, t）, （t0）, CN=3 一 t,易知 BC2=BP2+PC2, BP2=BE2+EP2, PC2=PN2+CN2,，BC2=BE2+EPKPN2+CN2, 即 18=22+（ t）2+12+（3 一 t）2,解得 t1=3/2 一，17/2, t2=3/2+ V 17/2（去）， P 点坐标为（一 1, 3/217/2）.另，可过P作MN / x轴交y轴于N ,过B点作y轴的平 行线交MN于M ,如图易知 AMBPA NPC,设 P（ 1, t）, （t0）,贝U MP=2 , PN=1 , NC=3 一 t, BM= t,，MB/PN=MP/NC ,即一 t/1=2/（3 t）, 解得 t1=3/2 一，17/2 t