2021版新高考数学高考中的概率与统计问题含答案

1、教学资料范本2021版新高考数学：高考中的概率与统计问题含答案编辑：时间：(对应学生用书第209页)命题解读从近五年全国卷高考试题来看、在高考的解答题中、对概率与 随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点、是高考必考的内 容、并且常常与统计相结合、常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量 的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题.以考生比较熟悉的实 际应用问题为载体、考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能 力.典例示范(20xx全国卷I)为治疗某种疾病、研制了甲、乙两种新药、希 望知道哪种新药更有效、为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白 鼠

2、对药效进行对比试验.对于两只白鼠、随机选一只施以甲药、另一只施以乙 药.一轮的治疗结果得出后、再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另 一种药治愈的白鼠多4只时、就停止试验、并认为治愈只数多的药更有效.为了 方便描述问题、约定：对于每轮试验、若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠 未治愈则甲药得1分、乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠 未治愈则乙药得1分、甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和和一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分、pi(i = 0、1、8)表示“甲药的 累

3、计得分为i时、最终认为甲药比乙药更有效”的概率、则p0 = 0、p8=1、pi =api 1+bpi+cpi+1(i = 1、2、7)、其中 a=P(X=1)、b=P(X=0)、c=P(X=1).假设 a= 0.5、0= 0.8.(i )证明：pi+1 pi(i = 0、1、2、7)为等比数列；(ii)求p4、并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.信息提取(1)看到、想到概率模型及概率的求法；(2)看到、想到递推 关系的变形；看到求特定项、想到求通项公式.规范解答(1)X的所有可能取值为1、0、1.P(X= 1) = (1 gP(X= 0)= a 价(1 o)(1-、P(X= 1)=如一份、

4、3 分所以X的分布列为-1P(16 Ba 价(1。(1 ®o(1-94分(2)( i )由(1)得 a=0.4、b = 0.5、c=0.1.因止匕 pi=0.4pi 1 + 0.5pi + 0.1pi + 1、故 0.1(pi+ 1 pi) = 0.4(pi pi 1)、即 pi+1 pi= 4(pi pi 1). 6分又因为 p1 p0=p1W0、所以pi + 1 pi(i = 0、1、2、7)为公比为4、首项为p1的等比数歹(J. 7分(五)由(1 )可得p8= p8p7+ p7p6+ +p1 p0+ p0481 =(p8 p7) + (p7 p6)+ - + (p1 p0) =

5、 p1.3，丁-3由于 p8= 1、故 p1=/o Q 48 1一一 ，、，、，、，、4411所以 p4= (p4 - p3) + (p3 p2) + (p2 p1) + (p1 p0) = -丁 p1 =而.10 分325 7p4表示最终认为甲药更有效的概率、由计算结果可以看出、在甲药治愈率为10.5、乙药治愈率为0.8时、认为甲药更有效的概率为 P4=7TL- 0.003 9、此时得257出错误结论的概率非常小、说明这种试验方案合理. 12分易错防范防 范 措 施忽 视X的 实细心审题含 义 导 致 取 值 错 误把 握 题 干 中 的 重 要 字而 导 致 概 率 计关 键 处 加 标

6、记X 取 每 个 值 的 含 义对结 (合2 ( )1的) 条中件的i 求 +解 c便 p可 i+1不理解、求不出a、b、c不采 会用 证累 明加递 推 p法 i求 +解 1pi)( i二0、1、27 ) 为等 比数 列通性通法随机变量分布列类问题的求解步骤：定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值.(2)定性：明确每个随机变量取值所对应的事件.(3)定型：确定事件的概率模型和计算公式.(4)计算：计算随机变量取每一个值的概率.(5)列表：列出分布列.(6)求解：根据公式求期望.规范特训某超市计划按月订购一种冰激凌、每天进货量相同、进货成本为每桶5元、售价为每桶7元、未售出的冰激凌以每桶3元

7、的价格当天全部处理 完毕、根据往年销售经验、每天需求量与当天最高气温(单位：C )有关、如果最高气温不低于25 C、需求量为600桶、如果最高气温(单位：C)位于区间20、 25)、需求量为400桶、如果最高气温低于20 C、需求量为200桶.为了确定六 月份的订购计划、统计了前三年六月份各大的最高气温数据、得下面的频数分布 表：。35、最局气温(C)10、15)15、20)20、25)25、30)30、35)40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量 X(单位：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为

8、Y(单位：元)、当六月份这种冰激 凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时、Y的均值取得最大值？解(1)由已知得、X的所有可能取值为200、400、600、记六月份最高气温 低于20 c为事件A1、最高气温(单位：C )位于区间20、25)为事件A2、最高气温 不低于25 c为事件A3、根据题意、结合频数分布表、用频率估计概率、可知18 136 236P(X = 200)=P(A1)=而=5、P(X = 400)=P(A2) = 96=5、P(X = 600)=P(A3)= 2故六月份这种冰激凌一天的需求量5、X200400600P122555X(单位：桶)的分布列为由题意得、当 n0200时、E(Y)=2n0400;一_ _146当 200<n0400 时、E(Y)=gx 200 X 2+(n 200) X ( 2)+x nX2="n + 1606(400、640;当 400<n0600 时、122E(Y) = "X 200 X2+(n-200) X(-2) + -X 400 X2+(n-400) X(-2)+-5552八八、gn + 800 560、640);