电磁场与电磁波公式总结

1、电磁场与电磁波复习第一局部知识点归纳第一章欠量分析微分线元：d Ra* dx a dyxyazdz面积元:dSydxdz，体积元：ddSzdxdy(2)柱坐标系dlrdrdSrdl dlzrd dz长、dlrd,面积元dS dlrdlzdrdz，体积元：d rdrddlzdzdSzdl dlzrdrdz(3)球坐标系dlrdrdSrdl dl r2sin d d长度元：dl rd,面积元：dS dlrdl r sin drddlr sin ddS dlrdl rdrd1、三种常用的坐标系(1)直角坐标系dSxdydzdxdydzdz体积元：d r2sin drd d2、三种坐标系的坐标变量之间

2、的关系(1)直角坐标系与柱坐标系的关系22x r cosr x yy r sin , arctan xz zz z(2)直角坐标系与球坐标系的关系x r sin cosy r sin sinz r cosarccos-222x y z, yarctanz(3)柱坐标系与球坐标系的关系r r sinz r cos22r、r zz arccos22.r zgradaxayazxyz(2)柱坐标系中：gradar1 a-az3、梯度(1)直角坐标系中:rr(3)球坐标系中:gradarrsin4.散度(1)直角坐标系中：AXAydiv A - x y(2)柱坐标系中：1div A-(rAr)r r(

3、3)球坐标系中：12div A (r Ar)r rAzAz5、高斯散度定理:rsinSA dS1 A(sin A )-r sinAd div Ad ,意义为：任意矢量场A的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场A在限定该体积的闭合面上的通量。6,旋度(1)axayazxyzAxAyAz直角坐标系中:A柱坐标系中:(2)(3)arraazrArrAzAz球坐标系中:arr sin a12 r sinrArrAr sin A两个重要性质：矢量场旋度的散度恒为零,7、斯托克斯公式：A 0标量场梯度的旋度恒为零,第二章 静电场和包定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的根本变量是

4、电场强度2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的 计算公式如下：140vr1r340vr1r(3)面电荷分布4 线电荷分布3、介质中和真空中静电场的根本方程分别为r微分形式0微分形式在线性、各向同性介质中，本构方程为:4、电介质的极化2介质外表的极化面电荷密度为：pSpJ5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即位移矢量D和电位 。电场强度与电位的关系为：E08.854 1012F/m点电荷分布(2)1NqkRk -340 k 1Rk体电荷分布qk11(Rk1Nqk广C0 k 1Rk(r )(r)dv(r )dvE工S(r )(r

5、r )dS,3,40Sr rr rE二l(r )(r r )dli(r )dl3,4l 0r rr rSD d Sq,积分形式表示意义介质中的高斯定理q为S面内的总源电荷和S面内的总极化电荷之和CEdl0,积分形式表示意义安培环路定理，说明静电场是一种发散 场，也是保守场。SE积分形式dS qi.0 i 1E一 微分形式， 为体电荷密度0表示意义真空中的高斯定理1极化介质体积内的极化体电荷密度为:PP极化强度矢量。P nn为外表的单位法向量矢量 _1S(r )dS6、介质分界面上的边界条件(1)分界面上Dn的边界条件DinD2n S或n(DiD2)S(S为分界面上的自由电荷面密度)，当分界面上

6、没有 自由电荷时，那么有：DinD2n即n Din D2,它给出了D的法向分量在介质分界面两侧的关系：(I)如果介质分界面上无自由电荷，那么分界面两侧D的法向分量连续；(II)如果介质分界面上分布电荷密度s, D的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度用电位表示：一12一2S和一12一(S0)n nn n(2)分界面上Et的边界条件(切向分量)n E n E或EitE2t,电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上的电位函数连续，即12。电力线折射定律： - -。tan227、静电场能

7、量(1)静电荷系统的总能量11体电荷：We d；212面电何：We $Sds;13线电荷：W- ! | dl 1-(有源区域),0(无源区域)(3)能量密度静电能是以电场的形式存在于空间,而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的O场中任意11c 0一点的能量密度为：eD EE2J/m3221在任何情况下，总静电能可由We1E2d来计算。8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的根本变量为电场强度E和电流密度J ,且J E。为媒质的电导率。(1)恒定电场的根本方程分界面上D的边界条件n分界面上Et的边界条件(2)导体系统的总能量为：We12 k出法、宏#冲击铲积分形式：oJdS

8、 *电流连续性万程：St微分形式：J-一或J一0tt恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即 。和0。因此，电流连续性方程变为：a J d S 0和J 0,再加上t tS Edl。和E 0，这变分别是恒定电场根本方程的积分形式和微分形式。C(2)恒定电场的边界条件(1)JinJ2n或n (JiJ2)0,(2) Eit2、恒定磁场的根本方程(1)真空中恒定磁场的根本方程为:积分形式:B d l0I(2)磁介质中恒定磁场的根本方程为:微分形式:E2t或n (EitE2t)0应用欧姆定律可得：Ein2E2n和JitJ2tO2此外，恒定电场的焦耳损耗功率

9、密度为E2,储能密度为e-E2。2第四章包定磁场i、磁场的特性由磁感应强度B和磁场强度(真空磁导率：04 i07H/m,)H来描述，真空中磁感应强度的计算公式为:(1)线电流:0Id l aR厂1R20Id l (r r )-白-X-41(2)面电流:0JSaR- -odS4SR2JS(r r)dS(3)体电流:0J aR-广d0J (r r ) O. *、帛十*冲十工口积分形式：A、磁通连续性万程：微分形式:SBdS0B、真空中安培环路定理：A、磁通连续性方程仍然满足:积分形式:sBdS0B、磁介质中安培环路定理：积分形式：*H d 1微分形式：0恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量

10、函数的梯度来描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化， 其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化6、电感的计算(1)磁介质中的束缚体电流密度为：JmM ;(2)磁介质外表上的束缚面电流密度为:JmSM n(其中，n为外表的单位法向量矢量)4、恒定磁场的矢量磁位为：BA,矢量A为矢量磁位。程度用磁化强度M表示。0(无源区)2AJ(有源区)2AC、磁性媒质的本构方程:B0rH H(HM ,其中M为磁化强度矢量)。在库仑标准条件(A 0)下，场与源的关系方程为对于分布型的矢量磁位计算公式：(1)线电流：A巴(2)面电流：A5、恒定磁场的边界条件(1)分界面上Bn的边界条件在两种磁介

11、质的分界面上，取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面(高h 0为无穷小量)， 如右图所示，应用磁通连续性方程可得：JsdS(3)体电流：A%B d SB1n dS B2ndS 0于是有:(2)n(HIn (B2BI)0或B1nB2n分界面上Ht(切向分量)的边界条件:H2)JS,如果分界面上无源外表电流(即JS0 )，那么n(HI磁力线折射定律：tan2用矢量磁位表示的边界条件为:H2)0即H1tH2t或H1sinA2, (1A)t1(2AJtJS(1)外自感:.00L0一一0I4l ldl0d l0,(2)互感:R(3)内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为:M12M21(长度为0皿24ll的

12、一段圆截面导线的内0l2dl1dl2自感为L)。87、磁场的能量和能量密度(1)磁场的总能量磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为:WmNMkjIjIkk 1(3)磁场能量密度A、任意磁介质中:1. . ,H B,此时磁场总能量可以由2Wm1B H d计算出；B、2B t而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保守场，感应电场E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通 的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流微分形式:3、麦克斯韦方程组(3)SB(4)SD(3)非限定形式的麦克斯韦方程组在线性和各向同

13、性的介质中，有媒质的本构关系:E,B H0 rH,JCE，由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:(1)(4)(4)麦克斯韦方程组的实质A、第二方程一时变更磁场.屯的安培环路定律。物理意义一磁场是由出流和肘变的电场 鼓励的。在各向同性，线性磁介质中:1H B - H，此时磁场总能量可以由22Wm12H2d2第五章时变电磁场1、法拉第电磁感应定律(1)感应电动势为:(2)法拉第电磁感应定律积分形式：iEd微分形式:它说明时变的磁场将鼓励电场,密度，称为位移电流密度，即Jd-。位移电流一样可以鼓励磁场,t从而可以得出时变场中的安培环路定律积分形式：FS(J-f)dS(1) I H d ls(JD) d

14、S t(1)微分形式(2)B(2)积分形式(2)卢d-dS t(3)(4)B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变既磁场鼓励电场的这一事 实。C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。D、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷鼓励的。 - - - - . - - - - - - - . - - - . - - - . - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - 思考题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电流连续性方程？答：因为它可以由微分形式的方程组中、式两式导

15、出。把式两边同时取散度得D(H) (J)胃t由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得即得j 0 ,这便是电流连续性方程。t4、分界面上的边界条件(1)法向分量的边界条件B、B的边界条件n (B1B2)(2)切向分量的边界条件(1) n HJSHtJS(2)n E0Et0(3) n B0Bn0(4)n E -SE建n00式中n是导体外表法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：体外表上分布有电荷，那么在导体外表上有电场的法向分量，那么由上式中的式决定，导体外表上电场 的切向分量总为零；导体外表上磁场的法向分量总为零，如果导体外表上分布有电流，那么在导体外表 上有磁场的切向分量，那么由上式中的决定。5、波动

16、方程6、坡印廷定理和坡印廷矢量数学表达式：E1212H d S ( HE )dE2dSt 22由于四12-Ed为体积内的总电场储能，Wn1 2 ,一H d为体积内的总磁场22储能，PE2d为体积内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：:E H dSSWWn) P,叫的S为限定体积的闭合面。0,再把式代入上式,A、D的边界条件n (DiD2)S，假设分界面上SSS(DiD2)A、E的边界条件n (E1E2)B、H的边界条件(3)理想导体n (HiH2)外表的边界条件JS，假设分界面上JS(HiH2)在理想导体与空气的分界面上,如果导箜0；t2此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时

17、变电磁场在无源空间中是以波动的方式1厂无源区域内，E、H的波动方程分别为：2H2E在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为物理意义：对空间中任意闭合面S限定的体积，S矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电 磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。坡印廷矢量(能流矢量)S E H表示沿能量流动方向单位面积上传过的功率。7、动态矢量磁位A和动态标量为与电磁场的关系为:A, E达朗贝尔方程(或称的非齐次波动方程)为J,t2第六章正弦平面电磁波欧拉公式:ejxcosx j sin x1、正弦电磁场(1)正弦电场、磁场强度的复数表示方法(以电场强度为例

18、) 在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可以写成：E(x, y,z,t)axExm(x, y,z) cos tx(x,y,z)ayEym(x, y,z) cos t运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式y(x, y,z) azEzm(x, y,z) cos tz(x,y, z)ExExmcosEyEymcosEzEzmcostx(x, y,z)ReExmej(tx)Re(Exmejty(x,y,z)ReEymej(ty)Re(Eymejtz(x,y,z)ReEzmej(z)Re(Ezmejejxmex,EymEymejy,EzmEzmejz分另t)t)t)其中，ExmE它的模和相位角都是空间坐标的

19、函数，因此E(x,y,z,t) Re(axExmayEymazEzm)ej tRe(Eej t)其中，E axExmayEymazEzm，称为电场强度复矢量*它含有各分量的振幅和初相两大要 素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表示， 也不能写成指数形式。例题(1)1将以下场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值.a . . x . x.HaxHk( )sin()sin(kz t) azH0cos()cos(kz t)aExm(2)解：(1)因为2jE0sincos(kzcos(kxcos )ejkzsint)是偶函数，那么cos(kzt)

20、cos(kz)而sin(kz t) cos(kzt -) cos( tkz )2HmaxH0k(a)sin(g)e ajkzj 2xjkz2azH0cos( )eaaxHxmazHzm(2)因为Exm2 jE0sin cos(kxcos )ejkzsin2E()sin cos(kxcosj (kzsin)e-)2故Ex2E0sin cos(kxcos ) cos( t kzsin)(2)麦克斯韦方程组的复数形式H J j DE j B,此方程组没有时间因子，注意：式中的场量仍代表复矢量，标量仍代表复数。B 0D对于正弦电磁场的求解，我们可根据给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦克斯韦方程组的

21、复数 形式求出场得复矢量，再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式。在波阵面内E和H的方向、振幅和相位不变的平面波。一般说来，大多数源辐射的电磁波为球面波。dzVpdt(2)均匀平面波的传播特性例题2在真空中，正弦电磁波的电场分量为E(z,t)ay103sin( t z)，求波的磁场分量H(z,t)解：先将波的电场分量写出复矢量，即Ey3 j( tj10 ez),将其代入矢量的麦克斯韦方程组:E j0H可得:Hax-L103ej(t0(3)正弦场中的坡印廷定理1j0将上式展开取实部得:Ey，将EyH(z,t)j103ej(t z)代入上式可得ax- 103sin( t z)0SSd S(PmPe PTRj2(Wm 平均w坪均)d14量E、H分别为正弦电场和磁场的幅值。正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损 耗；而流进(或流出)的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。(4)苴中 八丁Wm平均H2为磁场能量密度的平均值,1We平均4E2为电场能量密度的平均值。这里场亥姆霍兹方程(正弦电磁场波动方程的复数形式)2 _k E0,式中 k2k2H022H2、理想介质中的均匀平面波(1)均匀平面波的波动方程及其解平面波是指波阵面为平面的电磁波。2称为正弦电磁波的波数。均匀平面波是指波的电场E和磁场H只沿波的传播方向变化， 而,v p