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文档简介

1、一类线性丢番图方程非负整数解的探讨一、引言随着素质教育在中小学的进一步推行，现在我们的中学生活丰富，经常参加一些实践，科技竞赛等活动。在参加生物竞赛的时候，我们遇到了蛋白质分子组成的判定问题，经与老师同学们研究，发现如果将蛋白质分子分子量记为种氨基酸的已知分子量， ，的线性组合，这一类问题可以即可转化为一类线性丢番图方程的求解问题，这样就把一个生物问题转化为一个数学问题。同时这个转化也体现了数学在其他学科中的地位和作用。当我们在实际生活中需要求某一类特定方程的整数解的时候，那么就会得到由古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家丢番图（ diophantus ）的名字命名的一个丢番图方程。当时代数

2、学的创始人之一丢番图在有理数域上写下了一些方程。丢番图方程又被称为不定方程、整系数多项式方程。近些年，丢番图方程的求解问题也受到了广大学者的关注。丢番图方程整数解的存在性已经有很多相关结果，本文主要研究一类线性丢番图方程的非负整数解的问题。首先我们给出一次线性丢番图方程的概念。定义 方程 （1）称为元一次线性丢番图方程。这里都是整数。下面的引例在本文主要结论的证明过程中将要用到，也是一次线性丢番图方程整数解的存在的一个常用的充分必要条件。引理设，是不全为零的正整数，对任意的整数，都存在，使得方程成立当且仅当。特殊的，方程（ 1）对每个有解当且仅当。二、主要结论本节我们给出本文的两个主要结论，分别给出了一次 ? 性丢番图方程非负整数解的存在的一个常用的充分条件。定理 2.1 设，皆为正整数，并且满足，如果，则一次线性丢番图方程存在非负整数解， ，。证明 因为，由引理可得，存在整数， ，使得一次线性丢番图方程成立。由带余除法可知，存在整数，使得成立，这里。不妨设，那么。又由题设知，。因此，从而，故得证。定理 2.2 设，皆为正整数，并且满足，当时，一次线性丢番图方程存在

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