PA+kPB最值探究胡不归+阿氏圆

1、PA+k PB型的最值问题【问题背景】“PA+k PB型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。【知识储备】线段最值问题常用原

2、理：1三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2两点问线段最短；3连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动- “胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin / MBN=k P为角/MBNM中一边BM上的一个动 点，点A在射线BM BN的同侧，连接AP,则当PA+k PB的值最小时，P点的 位置如何确定？分析：本题的关键在丁如何确定“k - PB的大小，过点P作P（U BN垂足为Q, WJ k - PB=PB sin / MBN=PQ,本题求“PA+k PB的最小值转化为求“PA+PQ的最小俏如图1-1-2）,即A、P、Q三点共线时

3、最小（如图1-1-3）,本题得解。动态展示：见GIF格式！思考：当k值大丁1时，“PA+k PB线段求和问题该如何转化呢?提取系数k艮呵哦！ ！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危 的消息后，便立即启程赶路。由丁思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理， 所以选择了全是沙砾地带的直线路径2B（如图所示），而忽视了走折线虽然路 程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子 失声痈哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ 何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘 若可以，他应该选择一条怎

4、样的路线呢？这就是风靡千白年的“胡不归问题”。图】京E【模型初探】（二）点P在圆上运动如图所示2-1-1 ,00的半径为r,点A、B都在 00夕卜，P为0上的动点，已知r=k - OB连接PA、P己则当“PA+k PB的值最小时，P点的位置如何确上截取OC使OC=k r,则可说明BPOA PCO相似，即k - PB=PC本题求“PA+k PB的最小值转化为求“PA+PC的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3 ）,本题得解。动态展示：见GIF格式！【问题背景】 阿氏圆乂称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPBk1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家

5、阿波罗尼* “阿氏圆”问题斯发现，故称“阿氏圆”【模型初探】“阿氏圆” 一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP OB第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比k；OB第四步：在OB上取点C,使彳WCWP；OP OB第五步：连接AC,与圆O交点即为点P.【模型类比】“胡不归”构造某角正弦值等丁小丁1系数起点构造所需角（k=sin Z CAE -过终点作所构角边的垂线 - 利用垂线段最短解决问题“阿氏圆”构造共边共角型相似构造?CAP推出PA2ABAC即：半径的平方=原有线段构造线段【典型例题】1.（胡

6、不归问题）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4且ZABC=60 , M为对角线1BD（不含B点）上任怠一点，则AM+-BMI的最小值为2-1分析：如何将BM转化为其他线段呢？2即本题k似L必须转化为某一角的正弦值啊,2即转化为300角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作MN直丁BC11则MNBM即AM+BM最小转化为AM+MNR小，本题得解。详解：如图，作A必丁BC垂足为N,.四边形ABCD是菱形且/ABC=60 , Z DBC=30 ,*_ 1MN即sin Z DBC=- ,2 BM1 _. . -BM=MN21AM+BM的最小值为AN.2在RTAABN中，AN=AB sin Z ABC=

7、6姬3了.21AM+BM的取小值为3壬.2变式思考：（1）本题如要求“2AM+BM的最小值你会求吗？（2）本题如要求“AM+BM+CM勺最小值你会求吗？1AM+BM=AM+M NP2D答案：（1 ） 63 （ 2）6rJ3本题也可用“费马点”模型解决哦！-详见：本公众号前文！2.（阿氏圆问题）如图，点A、B在。0上，且OA=OB=,6且OI0日点C是OA的中点，点D在OB1,且OD=4动点P在。0上，则2PC PD的最小值为分析：如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系就出现了。套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段构造线段 详解： 连接OP,在射线O

8、A上截取AE=6.即：OP2OC OEOP(A OEPPE 2PC. 2PC PD PE PD,即P、Ck E三点共线最小在R讼OED中，DETOD2OE21-F14T 4 1F即2PC PD的最小值为4 10变式思考：（1）本题如要求“PC1PD”的最小值你会求吗？2（2）本题如要求“PC3 PD”的最小值你会求吗?2答案：(1)2而(2)3/lG【变式训练】（胡不归问题）1.如图，等腰ABC中，AB=AC=3 BC=2 BC边上的高为AQ点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒， 动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD时， 运

9、动时间最短为 秒.答案：二T，:2432.如图，在菱形ABCD中，AB= 且 Z ABC=150 ,点 P是对角线 AC 上的一个动点,则PA+PB+PDJ最小值为.答案：6 2本题也可用“费马点”模型解决哦！ ！ ！【中考真题】（胡不归问题）1.（2016俺州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （-1 , 0）, B （0,-海）、C （2, 0）,其中对称轴与x轴交丁点Do若P为y轴上的一个动点，连接PD则1 PB PD的最小值为。22.（2014.成都）如图，已知抛物线y变（x 2）（x 4）与x轴从左至右依次交丁点9A、B,与y轴交丁点C,经过点B的

10、直线y&竺与抛物线的另一个交点为33D （-5 ,3。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为 时，点M在整个运动过程中用时最少？答案：33,2, 234，课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了 “胡不归”问题。要好好专研哦！ ！（胡不归问题变式）又更加枚埃段浏区JL人临近耐式芥坤虾世出t甲L今夫H刊卜内泣个防毒 在个株强讨瓷得禳舞,taBr tt-TBBHUBMCD-VTMB.也*Wr.户机4中 fW.N，#fi荷TH AM

11、 JK上i典PM*牛H*的目卜伯v* *. . c氐同的一帔州以下5f vff Z4J9W. h* 辱,讪#= W - Miff F湾AfQ -4 M.Bl PM # UV PM、地FH (阿氏圆问题)1. (1)【问题提出】：如图1 ,在Rt ABC中，ZAC手900, CA4, C住6,1OC半径为2 , P为圆上一动点，连结AP, BP,求AW - BP的最小值.尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP,在CB上取点D,使CD= 1,贝U有CD CP 1, 乂.Z PC6Z BCP,. APCIA BCP,CP CB 2PD 1, . Pt1BP. AW1BA

12、AW PD.BP 222_ _ 、1用你元成余下的思考，并直接与出答案：AW - BP的最小值为2- .-，、，.1(2).【自王探索】：在I可题提出的条件不变的情况下，-AW BP的最小3值为.(3).【拓展延伸】：已知扇形COD中，ZCO厚90o,。妥6, OX 3,。牛5,点P是CD上一点，贝U 2PV PB的最小值为2一答案：衫,旷,13.【变式训练】32.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴丁点A,3.如图，半圆的半径为1, AB为直径，AG BD为切线，AC=1 BD=2 P为莅上 一动点，求W*C+PD勺最小值为.答案：5,32T2(2017甘肃兰州)如

13、图，抛物线 y =-x2+bx c 与直线 AB交丁 A -4,4 , B 0, 4两点，直线AC : y = _! x 6交 y 轴与点C，点 E2是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF _ x轴交AC丁点 F，交抛物线丁点G. 求抛物线 y = -x2+bx c 的表达式； 连接GB , EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；在 y 轴上存在一点 H，连接 EH , HF ,当点 E 运动到什么位置时，以 A, E, F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E, H的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M为。E上一动点，求1-AM +CM的最小值.2答案：(1) y=- x2- 2x+4; (2) G (- 2, 4); (3) E (- 2, 0). H (0,T）；【中考真题】A(阿氏圆问题)写在最后:“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k PB（kl的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k - PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短 或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在丁如何对k