人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计

1、函数的基本性质教学目标1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性 质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判 断、证明函数单调性的方法（3）了解奇偶性的概念 , 回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。教学过程一、函数的单调性1单调函数的定义（1）增函数： 一般地，设函数 f （x）的定义域为 I ：如果对于属于 I 内某个区间上的 任意两个自变量的值 x1、 x2,当x1 x2时都有 f（x1） f （x2 ） ，那么就说 f （x

2、）在这个区间 上是增函数。（ 2）减函数： 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2, 当x1 x2时都有 f（x1） f （x2 ） ，那么就说 f（x） 在这个区间上是减函数。（3）单调性： 如果函数 y f （x） 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y f （x） 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y f （x） 的单调区间。2、单调性的判定方法1）定义法：判断下列函数的单调区间：1 y2x2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。3）复合函数的单调性的判断：设y f (x)，u g(x)，x a,b，u m, n都

3、是单调函数，则 y fg(x)在 a,b 上也是单调函数。若 y f (x)是 m, n上的增函数，则 y f g(x)与定义在 a,b 上的函数 u g(x)的单 调性相同。若 y f ( x)是 m, n上的减函数，则 y fg(x)与定义在 a,b上的函数 u g(x) 的 单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层 函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说： 同增异减(类似于“负负得正”)练习：( 1)函数 y 4 x2 的单调递减区间是，单调递增区间为1( 2) y的单调递增区间为 x2 4x 53、函数单调性应注意的问题： 单调性

4、是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个区间 (如二次函数 ) ，也可以根本不单调 (如常函数 ) 函数在定义域内的两个区间 A, B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数4例题分析) 上是减函数。证明：函数 f (x)1 在 (0,x证明：设任意 x1 ，x2( 0，+)且 x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 )11x2 x1x1x2x1x2由 x1， x2 (0，+)，得x1x2 0 ，又 x1 x2 ，得 x2 x1 0，f(x1) f(x2) 0，

5、即 f(x1) f (x2)所以， f(x) 在 (0, ) 上是减函数。x说明： 一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y 1 不能说x( ,0) (0, ) 是原函数的单调递减区间；练习： 1根据单调函数的定义，判断函数f (x) x3 1的单调性。2根据单调函数的定义，判断函数f (x) x 的单调性。二、函数的奇偶性1奇偶性的定义：(1) 偶函数： 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有2f( x) f (x) ，那么函数 f (x)就叫做偶函数。例如：函数 f(x) x2 1,4f(x) x4 2 等都是偶函数。(2) 奇函数： 一般地，如果对于函数

6、 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有1f( x) f (x) ，那么函数 f (x)就叫做奇函数。例如：函数 f (x) x， f(x) 都是 x 奇函数。(3) 奇偶性： 如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶 性。说明： 从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： (1)其定义域关于原点对称；(2) f( x) f (x) 或 f ( x) f (x) 必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计 算 f ( x) ，看是等于 f (x) 还是等于 f(x) ，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则

7、 函数没有奇偶性。3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。(4) 函数 f (x) 0 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f (x) f ( x) 也满足 f (x) f ( x) 。(5) 一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对 称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形 关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数。(6)奇函数若在 x 0时有定义，则 f (0) 02、函数的奇偶性判定方法(1)定义法(2) 图像法(3) 性质罚3例题分析：1 x2 (2 | x 2 |判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)

8、 | x| x2 ( ) (2) f(x)f ( x) 开始化简；也可以去考虑说明： 在判断 f ( x) 与 f ( x)的关系时，可以从f(x) f ( x)或 f(x) f( x)；当 f(x)不等于 0时也可以考虑 f( x) 与1或 1的关 f ( x)系。五小结： 1函数奇偶性的定义；2判断函数奇偶性的方法；3特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将 会导致结论错误或做无用功。三、函数的最大值或最小值1最大值的定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M满足：对于任意的 x I ，都有 f(x) M；存在 x0I ，使得 f

9、(x 0) = M那么，称 M是函数 y=f(x) 的最大值2函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0I ，使得 f(x 0) = M ；函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的 xI ，都有 f(x) M(f(x) M)仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x) 的最小值的定义3例题分析：2例 4(教材 P35例 4)求函数 y在区间 2，6 上的最大值和最小值x1解：(略)巩固练习：(教材 P36练习 5)基础练习：1、函数 f(x)=x-2 + 2-x是(C )A、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数区间 (,0) 上为增函数的是(B)Ay1BxB y1x2C2 yx2x 12D y 1 x3函数 yx2 bx c (x(,1) 是单调函数时， b 的取值范围(B )Ab2B b2C b 2D b24如果偶函数在 a,b 具有最大