人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及答案

1、人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及答案一、选择题1如图，在BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为RtABC中， ABC=90°， AB=2 3 ，A 5 342 【答案】 A 【解析】 【分析】 连接 OD，过点B 5 342C23D 4 3 2O作 OHAC，垂足为 H，则有 AD=2AH， AHO=9°0 ，在 RtABC中，利用 BOC =60°，A 的正切值求出 A=30°，继而可求得 OH、AH 长，根据圆周角定理可求得 然后根据 S阴影=SABC-SAOD-S 扇形 BOD进行计算即可 .【详解】 连接 OD，过点 则有 AD=2

2、AH，O 作 OH AC，垂足为 H， AHO=9°0 ，在 RtABC 中， ABC=90°， AB= 2 3 ，BC=2，tan A= BC2AB 2 33，3， A=30°，13OH= OA=， AH=AO?cos A= 322AD=2AH=3 ，32，BOC=2A=60 S 阴影 =SABC-SAOD-S 扇形 BOD= 1 2 3 22 2 3 260 3360534 2 ，故选 A.【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线， 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .2如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD

3、 与 BC重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )83 3答案】 A解析】分析】B 4 3C8D 8 31根据折叠性质可得 BE= AB，AB=AB=，4BAM=A=90°， ABM=MBA，可得2EAB=30°，根据直角三角形两锐角互余可得EBA=60 °，进而可得 ABM=30°，在 RtABM中，利用 ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .【详解】对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC重合， AB=4，1BE=

4、 AB=2， BEF=90°，2把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上的点 A'处，并使折痕经过点 B， AB=AB=4， BAM= A=90°， ABM= MBA， EAB=30°， EBA=60°， ABM=3°0 ，在 RtABM 中， AB=BM cos ABM，即 4=BM cos30 °，解得： BM=8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角

5、的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .3在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如图在江边 D处，测得信号塔 A的俯角为 40 ，若 DE 55米， DE CE， CE 36米，CE平行于 AB， BC的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140米，则 AB的长为 ()(精确到 0.1米，参考数据： sin40 0.64， cos40 0.77， tan40 0.84 )C 78.8 米D 78.9 米【答案】 C【解析】【分析】AB的长如下图，先在 RtCBF中求得 BF、CF的长，再利用 RtADG 求 AG的长，进而得到 度【详解】如下图，过

6、点 C作 AB的垂线，交 AB延长线于点 F，延长 DE交 AB延长线于点 GBC 的坡度为 1:0.75 设 CF为 xm，则 BF 为 0.75xmBC=140m在 RtBCF中， x2220.75x 1402 ，解得： x=112CF=112m， BF=84m DECE，CEAB，DGAB， ADG 是直角三角形 DE=55m， CE=FG=36mDG=167m，BG=120m 设 AB=ym DAB=40°DG 167 tan40 °=0.84AG y 120 解得： y=78.8 故选： C【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正

7、弦值 4如图，点 E从点 A出发沿 AB方向运动，点 G从点 B 出发沿 BC方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是A一直减小B一直不变C先减小后增大D先增大后减小【答案】 B【解析】【分析】连接 GE，过点 E作EMBC于 M，过点 G作GNAB于 N，设 AE=BG=x，然后利用锐角三 角函数求出 GN 和 EM，再根据 S 阴影=SGDE SEGF即可求出结论【详解】解：连接 GE，过点 E作 EMBC于 M，过点 G作

8、GNAB于N设 AE=BG=x，则 BE=AB AE=ABxGN=B·G sinB=x s·inB，EM=B·E sinB=（ ABx） ·sinB S 阴影 =SGDE SEGF11= DE·GN GF·EM2211= DE·（ x·sinB） DE·（AB x） ·sinB221= DE·x s·inB（ AB x） ·sinB21= DE·AB·sinB2DE、AB和 B都为定值S 阴影也为定值故选 B【点睛】 此题考查的是锐角三角函数和求

9、阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和 三角形的面积公式是解决此题的关键5如图，在 ABC中， AC BC， ABC 30°，点 D 是 CB延长线上的一点，且 ABBD，则 tanD 的值为（ ）A2 3B 3 3C 2 3D 2 3【答案】 D【解析】【分析】 设 ACm，解直角三角形求出 AB，BC，BD 即可解决问题【详解】设 ACm ，在 RtABC中， C90°， ABC30°，AB 2AC 2m ， BC 3 AC 3 m， BDAB 2m， DC 2m+ 3 m，AC mtan ADC2 3 CD 2m 3m 故选： D【点睛】本题考查

10、解直角三角形，直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型PA 等于（ ）D 100tan55 米°6如图，要测量小河两岸相对的两点C 100tan35 米°P，A 的距离，可以在小河边取 PA的垂线 PB上的一解析】 分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度 【详解】 PA PB，PC=100米， PCA=35°， 小河宽 PA=PCtan PCA=100tan35°米 故选： C【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是： 将实际 问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角

11、三角形转化为解直角三角形问题） 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答 案，再转化得到实际问题的答案7某游乐场新推出了一个 “极速飞车 ”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为 i1：2，BC12 米， CD8 米， D36°，（其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内）则垂直升降电梯 AB 的高度约为（）米（精确到 0.1 米，参考数据：tan36 ° 0，.7c3os36 ° 0，.8s1in36 ° ）0.59A5

12、.6B 6.9C 11.4D 13.9【答案】 C【解析】【分析】根据勾股定理，可得 CE， BE的长，根据正切函数，可得 AE 的长，再根据线段的和差，可 得答案【详解】 解:如图,延长 DC、AB 交于点 E，由斜坡轨道 BC的坡度（或坡比）为 i1： 2，得BE： CE1： 2设 BExm， CE 2xm在 Rt BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2BC2，即 x2+（2x） 2（ 12 ）2， 解得 x 12，BE 12m， CE 24m ， DEDC+CE8+2432m， 由 tan36 ° 0.，73得0.73，解得 AB0.73 ×32 23.36m 由线段

13、的和差，得ABAEBE23.3612 11.36 11m.4， 故选： CCE，BE的长是解题关键，又利用了正【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 切函数，线段的和差8如图，在 RtVABC 中， C90 ， 则点 D 到 AB 的距离为 ( )B 30， AD 是 BAC 的角平分线， AC 6 ，C23DA3【答案】 C【解析】【分析】 如图，过点 D作 DE AB于 E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得 为 BAC的角平分线可得 DAC=3°0 ，根据角平分线的性质可得 DE=CD， 求出 CD的值即可得答案【详解】 B=30°， C=90

14、6;， BAC=60°， AD 平分 BAC， DAC=3°0 ， DE=CD，33BAC=60°，由 AD利用 DAC的正切AC=6， CD=A·Ctan DAC=×6 3 =2 3 ，即 DE=2 3，3点 D 到 AB的距离为 2 3 ，【点睛】本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜 边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两 边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键39菱形 ABCD的周长为 20cm,DE AB,垂足为 E,sinA= ,则下列结论正确的

15、个数有(5 DE=3cm; BE=1cm; 菱形的面积为 15cm2; BD=2 10 cmB2个C3个A1 个【答案】 C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】菱形 ABCD 的周长为 20cmD4个AD=5cm3sinA=5 DE=3cm（ 正确） AE=4cm AB=5cm BE=5 4=1cm（ 正确）菱形的面积 =AB×DE=5×3=15cm2（ 正确） DE=3cm,BE=1cm BD= 10 cm （ 不正确） 所以正确的有三个 故选 C【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键10“奔跑吧

16、，兄弟！ ”节目组，预设计一个新的游戏： “奔跑 ”路线需经 A、 B、C、 D四 地如图，其中 A、B、C三地在同一直线上， D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C地北偏西45°方向 C地在 A地北偏东 75°方向且 BD=BC=30m从 A 地到 D地的距离是（20 5 mC 30 2 mD 15 6 m【答案】 D【解析】分析：过点 D 作 DH垂直于 AC，垂足为 H，求出 DAC的度数，判断出 BCD是等边三角 形，再利用三角函数求出 AB 的长，从而得到 AB+BC+CD的长详解：过点 D 作 DH 垂直于 AC，垂足为 H，由题意可知 DAC=7

17、5°30°=45° BCD是 等边三角形， DBC=60°，BD=BC=CD=30m， DH= 3 × 30=15 3，2AD= 2 DH=15 6 m故从 A地到 D地的距离是 15 6m 故选 D点睛：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想B（ 0， 6）， BAO， ABO的平分线相交于 D 的坐标为（11 如图，平面直角坐标系中， A（8，0）， 点C，过点 C作CDx轴交 AB于点 D，则点3 ， 1）C（ 83 ，2）D（ 83，1）答案】 A解

18、析】分析】 延长 DC交 y轴于 F，过 C作CGOA于G， CE AB于 E，根据角平分线的性质得到 FC CGCE，求得 DHCG CF，设 DH3x，AH 4x，根据勾股定理得到 AD 5x，根据平行 线的性质得到 DCA CAG，求得 DCA DAC，得到 CD HG AD 5x，列方程即可 得到结论【详解】解：延长 DC交y轴于 F，过 C作 CGOA于 G，CEAB于 E，CD x 轴，DF OB， BAO， ABO的平分线相交于点 C，FCCGCE，DHCGCF，A（8，0），B（0，6），OA8，OB6，DHOB 3tan OABAHOA4设 DH3x， AH 4x， AD5x

19、， CDOA， DCA CAG， DAC GAC， DCA DAC， CD HGAD 5x， 3x+5x+4x8，【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅 助线构造矩形和直角三角形是解题的关键y4x12如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数11x2 刻画，斜坡可以用一次函数 y x 刻画，下列结论错误的是 ( )22A斜坡的坡度为 1: 2B小球距 O点水平距离超过 4 米呈下降趋势C小球落地点距 O 点水平距离为 7 米D当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球距 O 点水平距离为 3m【答案】 D【解析】【分析】求

20、出抛物线与直线的交点，判断A、 C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断 B ；求出当 y7.5时， x的值，判定 D详解】1x2 4x解：解得，x1 0y1 0x2 77，y27 7=1 2， A 正确；2小球落地点距 O点水平距离为 7 米，C正确；4x12 x2122(x 4)2 8， 则抛物线的对称轴为 x 4 ，当 x 4时， y随 x的增大而减小，即小球距 O点水平距离超过 4米呈下降趋势， B正当y7.5时，7.54x整理得2 x8x150，解得，x13，x25，确，12x，2，当小球抛出高度达到 7.5m时，小球水平距 O点水平距离为 3m或5m，D 错误，符合

21、题 意； 故选： D【点睛】 本题考查的是解直角三角形的 坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数 的性质是解题的关键13如图，点 M 是正方形 ABCD边 CD 上一点，连接 AM， 点 F，连接 BE，若 AF 1，四边形 ABED的面积为6，则作 DE AM 于点 E，EBF的余弦值是（BF AM 于 )B 3 13B 13CD1313【答案】 B【解析】【分析】BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面首先证明 ABF DEA 得到 BF=AE；设 AE=x，则1积等于ABE的面积与 ADE的面积之和得到?x?x+?x ×1=，6解方程求出 x得到 AE=BF

22、=3，2则 EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解【详解】四边形 ABCD为正方形，BAAD， BAD 90°，DEAM 于点 E，BF AM 于点 F， AFB 90°， DEA90°， ABF+BAF90°， EAD+ BAF90°， ABF EAD， 在ABF和 DEA中BFA DEAABF EADAB DA ABF DEA（ AAS），BF AE；设 AEx，则 BF x，DEAF1，四边形 ABED的面积为 6，11 x x x 1 6，解得 x13，x2 4（舍去）， 22EFx12，在 RtBEF中，

23、 BE 22 3213 ，BF 3 3 13 cos EBF BE 13 13故选 B【点睛】 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边 形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质会运用全等三角形的知识解决线段相等的问 题也考查了解直角三角形14如图，基灯塔 AB 建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i1：0.75小明为了测得灯塔的E处，他在AB 的高度EF20m，则灯塔 tan43 ° 0.93）（高度，他首先测得 BC20m，然后在 C 处水平向前走了 34m 到达一建筑物底部 该建筑物顶端 F处测得灯塔顶端 A 的仰角为 43°若该建筑物A46

24、.7m【答案】 B【解析】B 46.8mC 53.5mD 67.8msin43 °0.68， cos43° 0.73，分析】根据山坡的坡度i1：0.75，可得 CBDD 43，设 BD4x，CD3x，然后利用勾股定理求得BD4x 16m，CD3x12m；再利用矩形的性质求出 FGDE 46m， BG DGDB4m，最后利用三角函数解直角三角形即可【详解】解：如图，ADC90°，i1：0.75，即 CBDD设 BD4x， CD3x，则 BC （4x）2 （3x）2 5x20m ，解得： x4， BD4x16m，CD3x12m， 易得四边形 DEFG是矩形，则 EFD

25、G20m，FGDE DC+CE12+3446（m）， BG DG DB 4m ，在 RtAFG中， AG FG·tan AFG 46· tan43 ° 46×0.4923.78（ m）， ABAG+BG42.78+446.8（m）， 故选： B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是 解答本题的关键 .15如图，点 E 是矩形 ABCD的边 AD的中点，且 BE AC于点 F，则下列结论中错误的是 （）1A AF CF2B DCF DFCC图中与 AEF相似的三角形共有 5 个Dtan CAD答案】 D解析】

26、分析】由 AE=1 AD=1 BC，又 ADBC，所以22AEBCAFFC1 ，故 A 正确，不符合题意；21过 D 作 DMBE交 AC于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B 正确，不符合题意； 根据相似三角形的判定即可求解，故 C 正确，不符合题意；由BAE ADC，得到 CD与 AD 的大小关系，根据正切函数可求 tanCAD的值，故 D错 误，符合题意【详解】解：A、 ADBC， AEF CBF， AE AF ，BC FC11AE AD BC，22AF 1 1 ，故 A 正确，不符合题意；FC 2B

27、、过 D 作 DMBE交 AC 于 N， DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形，1BM DE BC，2BMCM，CNNF，BEAC于点 F， DMBE，DNCF，DF DC， DCF DFC，故 B正确，不符合题意；C、图中与 AEF相似的三角形有 ACD，BAF，CBF，CAB，ABE共有 5 个，故 C正 确，不符合题意baD、设 ADa，ABb 由BAE ADC，有 a2tanCAD CD b 2 ，故 D 错误，符合题意AD a 2故选： D【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线 是解题的关键16已知 B港口位于 A观测

28、点北偏东 45°方向，且其到 A观测点正北风向的距离 BM 的长为 10 2 km，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC方向航行 4 7 km 到达 C处，测得 C 处 位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC的长为（）答案】 A解析】分析】 【详解】解： MAB=4°5 ， BM=10 2 ， AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km， 过点 B 作 BDAC，交 AC的延长线于 D， 在 RtADB中， BAD=MAC MAB=7°5 45°=30°，BDta

29、n BAD=ADAD= 3 BD， BD2 +AD2 =AB2，即 BD2+( 3 BD)2=202， BD=10， AD=10 3 ， 在 RtBCD中， BD2+CD2=BC2， BC=4 3 ， CD=2 3 ， AC=AD CD=10 3 2 3 =8 3 km，答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC的长为 8 3 km 故选 A考点】解直角三角形的应用 -方向角问题17如图 1，在ABC中， B90°， C30°，动点 P从点 B 开始沿边 BA、AC向点 C以恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC向点 C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设BP

30、Q的面积为 y（cm2）运动时间为 x（ s）， y 与 x之间关系如图 2所示，当点 P 恰好为 AC的中点时， PQ 的长为（ ）A2B 4C 2 3D 4 3【答案】 C【解析】点 P、 Q 的速度比为【分析】3： 3 ，根据 x 2， y6 3 ，确定 P、 Q 运动的速度，即可求解【详解】解：设 AB a， C 30°，则 AC 2a ， BC 3 a， 设 P、 Q 同时到达的时间为 T， 则点 P的速度为 3a，点 Q的速度为 3a ，故点 P、 Q的速度比为 3： 3，TT故设点 P、 Q的速度分别为： 3v、 3 v，由图 2 知，当 x2 时，y6 3，此时点 P到达点 A的位置，即 AB2×3v6v，BQ2× 3 v2 3 v，11yAB×BQ6v×2 3 v 6 3 ，解得： v1，22故点 P、Q 的速度分别为： 3， 3，AB6v6a，则 AC 12， BC6 3 ， 如图当点 P 在 AC的中点时， PC6，此时点 P 运动的距离为 AB+AP12，需要的时间为 12÷34， 则 BQ 3 x 4 3 ， CQ BC BQ6 3