人教A版函数的单调性学案

1、函数的单调性1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的性质3能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性知识梳理1函数的单调性的定义给定区间 D上的函数 f(x)，若对于任意的 x1， x2D，当 x1<x2时，都有 f (x1) <f (x2) ，则 f( x)为区间 D上的增函数 对于任意的 x1，x2D，当 x1<x2时，都有 f (x1) >f (x2) ，则 f (x) 为区间 D 上的减函数2函数的单调区间的定义如果函数 yf (x) 在某个区间 D上是增函数 或是减函数 ，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有 (严格的 )单调性

2、，区间 D叫做 yf(x)的单调区间 . 如果函数是增函数，则称区间 D 为 增区间 ，如果函数是减函数，则称区间D 为 减区间3单调函数的图象特征增函数的图象是上升 的( 如图 1) ，减函数的图象是下降 的(如图 2) 1单调性定义的等价形式：设x1， x2 a，b ，且 x1x2，那么f x1 f x2(x1x2) f (x1) f ( x2)>0x1x2>0 f(x)在a，b 上是 增函数(x1x2) f ( x1) f ( x2)<0x1 f x2x1x2<0 f(x)在a，b 上是 减函数2判断单调性的常用结论(1) 若 f ( x)，g(x)均为增 (减)

3、 函数，则 f( x)g(x) 为 增( 减) 函数(2) 若 f (x)为增(减)函数，则 f (x)为 减(增) 函数(3) yfg(x) 是定义在 M上的函数，若f ( x)与 g( x)的单调性相同，则其复合函数 f g( x)为 增函数 ；若 f ( x) ， g( x)的单调性相反，则其复合函数f g(x) 为 减函数x，(4) 已知函数 yf(x) ，给定区间 D，若对 D内任意的 x，f (x)>0 ，则函数在区间 D 上单调 递增 ；若对 D内任意的 x，f (x)<0 ，则函数在区间D上单调 递减热身练习1下列函数 f( x) 中，满足“对任意 x1，x2 (0

4、 ， ) ，当 x1<x2时，都有 f (x1)<f (x2)”的是 (D)Af(x)x1 B f(x)(x1)2xCf(x)ex D f ( x) ln( x1)根据单调性的定义，满足条件的函数f( x) 在(0，) 上为增函数，分别作出选项 A，B， C， D的图象 (如下图 ) ，根据图象特征进行判断2由图象可知，应选 D.(2019·北京卷 )下列函数中，在区间 ( 1,1) 上为减函数的是 (D)1AyB ycos x1 xCxy ln( x1) D y211选项 A中， y 1 x在( ， 1)和(1 ， )上为增函数，故 y 1 x在( 1,1)1 x1 x

5、上为增函数；选项 B中，ycos x 在（1,1） 上先增后减；选项 C中， y ln（ x1） 在（1， x 1 x ）上为增函数， 故 yln（ x1）在（ 1,1） 上为增函数； 选项 D中，y2x（ 2） x在 R上为 减函数，故 y2x在（1，1） 上为减函数23已知函数 f（x）x22ax3在区间 1,2 上具有单调性，则实数 a的取值范围为 （D）A 1,2 B （1,2）C（ ， 1） （2 ， ） D （ ， 1 2 ，）(1,2)因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间内，所以 a2或 a1.4函数 f（x）axlog a（ x1）在0,1 上的最大

6、值与最小值之和为 a，则 a的值为 （B）1A. B.4C2 D 4因为 yax与 ylog a（x1） 的单调性相同，所以 f（x）axlog a（x1）是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得， 所以最值之和为 f（0） f （1） a log a1alog a2a.1所以 log a21 0，所以 a 2.125（2019·杭州期中 ）函数 f （ x） log 2（4 x2）的单调递增区间为0,2）函数的定义域是 （ 2,2） 2u4x2 的递减区间为 0,2） ，1又因为 2<1，根据复合函数的单调性可知，函数 f（ x） 的递增区间为 0,2）单调性的判定与证明

7、证明函数 f( x) x xa( a>0)在(0 ， a) 上是减函数因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明( 方法一 ) 设 0<x1<x2< a，则 aa f( x1)f(x2) ( x1 )( x2 ) ( x1 x2)(x1x2x1x2ax1x2因为 0<x1<x2< a，所以 x1 x2<0,0< x1x2<a，所以 f(x1)f ( x2)>0 ，即 f (x1)>f (x2)，所以函数 f ( x)xa在(0， a)上是减函数x2(方法二)因为 0<x< a，

8、所以 f(x)1x2 x2 <0，xx所以 f(x)在(0， a) 上是减函数(1) 单调性的判定与证明的常用方法： 定义法：基本步骤为：一设，二作差，三比较，四下结论 导数法： 若 f( x) 在某个区间内可导，当 f (x) > 0 时，f ( x)为增函数； 当 f(x) <0 时， f( x) 为减函数(2) 函数 y xax( a>0) 是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？a1 证明函数 f （x） xx（ a>0）在（ a， ）上是增函数x( 方法一 ) 设 a<x1<x2，

9、则 aa f(x1)f(x2)(x1x )(x2x ) x1x2 ( x1 x2)(x1x2ax1x2）因为 a<x1<x2，所以 x1 x2<0，x1x2>a， 所以 f(x1)f ( x2)<0 ，即 f (x1)<f (x2)，所以函数 f （ x）xxa在（ a， ）上是增函数2a x a（ 方法二 ） 因为 x> a，所以 f （x） 1x2 x2 >0， xx所以 f（x）在（ a， ）上是增函数复合函数的单调性（2019·全国卷 ）函数 f （ x） ln（ x2 2x 8） 的单调递增区间是 （ ）A（ ， 2） B （

10、， 1） C （1 ， ） D （4 ，）由 x 2x 8>0，得 x>4 或 x< 2. 设 t x2 2x 8，则 y ln t 为增函数2要求函数 f （ x）的单调递增区间，即求函数 tx22x8 在定义域内的单调递增区间 因为函数 t x22x8 的单调递增区间为 （4，）， 所以函数 f （ x）的单调递增区间为 （4，）D复合函数 yf g（x） 的单调性可按下列步骤判断：将复合函数分解成两个简单的函数，yf（ u）与 ug（x） ；确定函数的定义域； 分别确定分解成的两个函数的单调性； 其单调性规律：函数单调性ug(x)增函数增函数减函数减函数yf (u)增函

11、数减函数增函数减函数yf g(x)增函数减函数减函数增函数复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”122（2019·马山县期中 ）函数 ylog 2（x23x2）的单调递增区间为（ ， 1） ，单调递减区间为 （2 ，） .2 3 2 1 3 3令 ux23x2（x2）24在 2， ）上递增，在 （， 2）上递减， 又因为 x2 3x 2>0，所以 x>2 或 x<1.2故 ux23x2在（2，）上递增，在 （， 1）上递减1又因为 y log 2u 为减函数，12所以函数 ylog 2（ x23x2） 在（2 ， ）上递减，在 （， 1）上递增 函数单调性的应

12、用（1） 已知 f （ x）的图象向左平移 1个单位后关于 y 轴对称，当 x2>x1>1时，f（x2）1f（x1） ·（x 2 x1）<0 恒成立，设 af （ 2） ，bf （2） ，cf （3） ，则a，b，c的大小关系为 （ ） A c>a>b B c>b>aC a>c>b D b>a>c（2）（2019 ·昭通月考 ）已知函数 f （ x）是定义域 （ 3,3） 上的增函数，如果 f （3 m）< f （ m2 3） ，则实数 m的取值范围是 （ ）A（2， 6） B （ 6， 6）C（ 6，

13、2） D （ 6，2） （2， 6）（1） 由条件知 f （ x）的图象关于 x 1对称，且 f（ x） 在（1 ， ）上是减函数，1 5 5因为 af（2）f（2），且 2<2<3，所以 b>a>c. 3<3 m<3 ，（2） 依题意 3<m23<3，解得 2<m< 6.23m<m3，(1)D (2)A(1) 单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面：根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等；根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等(2) 解函数不等式的一般

14、步骤：第一步， (定性)确定函数 f ( x)在给定区间上的单调性；第二步， (转化)将函数不等式转化为 f (M)<f ( N)的形式；第三步， (去 f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步， (求解 )解不等式或不等式组确定解集13(1) 已知 f ( x) log 2x，若 x1(1,2) ， x2 (2 ， ) ，则 (B)1 xAf ( x1)<0 ， f ( x2)<0 B f(x1)<0，f(x2)>0Cf ( x1)>0 ， f ( x2)<0 D f(x1)>0，f(x2)>03

15、x1 x(1,2) 时， f ( x1)< f (2) 0，当 x2 (2 ， )时， f ( x2)> f (2) 0，即 f ( x1)<0 ， f ( x2)>0.(2) 因为当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数图象是一条连续不断的曲线因为当 x0时， f ( x) x3为增函数，当 x>0 时，f (x)ln( x 1)也是增函数， 且当 x 1<0， x2>0 时，f (x1)<f (x2)，所以 f(x)是定义在 R上的增函数， x0，2(2) 已知函数 f(x)若 f (2 x (1) 因为函数 f ( x) log

16、 2x在(1 ， )上为增函数，且 f(2) 0，所以当 x1)> f ( x) ，则实数 x 的取值范围是ln x1 ， x>0.(D)A( ，1)(2，)B( ，2)(1，)C( 1,2)D( 2,1)因此不等式 f (2 x2)> f ( x)等价于 2x2>x，2即 x2 x 2<0，解得 2<x<1，故选 D.1对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：(1) 单调性是与“区间”紧密相关的概念一个函数在不同的区间上可以有不同的单调 区间(2) 单调性是函数在某一区间上的“整体”性质因此，定义中的x1，x2 具有任意性，不能用特殊值代替(3) 由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且 f(x1)<f (x2) x1<x2(或x1>x2) ，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互 推”，即有 x1&