二次函数压轴题专题突破练专题01二次函数基础上的数学建模类(教师版)

1、备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数专题 01 二次函数基础上的数学建模类【方法综述】此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问题。【典例示范】类型一 临界点讨论例 1： （ 2018?河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点B，与滑道 y= （ x1 ）交于点A，且 A B=1 米运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米 /秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M ， A 的竖直距离h

2、（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1 时 h=5， M ， A 的水平距离是vt米（ 1 ）求k，并用t 表示 h；（ 2）设v=5用 t表示点 M 的横坐标x和纵坐标y，并求y与 x的关系式（不写x的取值范围），及 y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（ 3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5 米 /秒、v 乙 米 /秒当甲距x 轴 1.8米，且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时，直接写出t的值及 v乙 的范围k=18，设h=at2，把t=1 ， h=5 代入， a=5， h=5t 2；（ 2）v=5， AB=1 ， x=5t+1 ， h=5t 2， OB=18，

3、y= 5t2+18，由 x=5t+1 ，则 t= （ x-1 ） ， y= （ x-1） 2+18=，当 y=13 时， 13=（ x-1 ） 2+18，解得 x=6 或4， x 1 ， x=6 ，把 x=6 代入 y= ，y=3，运动员在与正下方滑道的竖直距离是13 3=10（米）；针对训练1 （ 2017内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的 A处发出，把球看成点，其运行的高度y（ m）与运行的水平距离x（ m）满足关系式，已知球网与 O点的水平距离为9m，高度为3m，球场的边界距O点的水平距离为14m.（ 1 ）当h=4 时，求y 与 x 的关

4、系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（ 2）当h=4 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.;（3） h.（ 2）答：球能越过球网且球会出界理由如下：由（1）可知，令 x=9 得 y=3.5， 3.5> 3球能越过球网;令 y=0 得 x= ，> 142 （ 2017.山东）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（ m） 关于飞行时间x（ s） 的函数图象（不考虑其它因素）， 已知足球飞出1s 时， 足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s（ 1 ）求 y 关于 x

5、 的函数解析式；（ 2）足球的飞行高度能否达到4.88 m ？请说明理由；（ 3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不计） 如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要在几s 内到球门的左边框？【答案】（1） y=-1.22x2+3.66x ;（2） 不能理由见解析;（3）2s.【解析】 （ 1 ）观察抛物线的图像经过原点，因此设y关于 x 的函数关系式为y=ax2+bx，再将点（1， 2.44） ，（ 3,0）代入函数解析式，可解答。（ 2）将y=4.88 代入（1）中的函数解析式，解一元二次方程，根

6、据方程解的情况作出判断。（ 3）将y=2.44 代入函数解析式，求出x 的值，根据题意得出符合条件的x的值，即可解答。解： （ 1 ）解：设y 关于 x 的函数关系式为y=ax2+bx依题可知：x=1 时， y=2.44；当 x=3 时，y=0， y=-1.22x2+3.66x3 （ 2019 盘锦双台子区）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面距离为3.05m.求抛物线的解析式.该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时他跳离地面的高度是多（

7、1）（ 2）他跳离地面的高度为0.2m.31（ 2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， y=-0.2x2+3.5，而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（ h+2.05） m， h+2.05=-0.2 ×（ -2.5） 2+3.5， h=0.2答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2mOA宽O为原点，4 （ 2017 杭州月考）如图所示, 是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，路面8m, P 处有一照明灯，从O、 A两处观测P处，仰角分别为、 ，且 tan 1 ,tan 3。以22OA所在直线为x 轴建立直角坐标系。1 ）求 P点坐标。2）现有一辆货车，宽为4

8、 m，高为2.5 m，它能否安全通过这个隧道？ 说明理由。1(1) P(6,3) ； (2) y=-x2 2x ；可以通过413 OPC和 PAC是直角三角形，tan , tan22PC 1 PC 3OC 2 AC 2OC 2PC， AC 2 PC3OA OC+CA， OA 8，8PC 8 ， 3PC 3，OC 6， CA 2，P 的坐标为（6， 3）5 （ 2018 保定三模）如图， 儿童游乐场有一项射击游戏从 O 处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC 正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2） ，D（2，3） 小球按照抛物线yx2+bx+c 飞行小球落地点P坐标（n， 0）（ 1 ）

9、点 C 坐标为；（ 2）求出小球飞行中最高点N 的坐标（用含有n 的代数式表示）；（ 3）验证：随着n 的变化，抛物线的顶点在函数y x2的图象上运动；（ 4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n 的取值范围n<（ 1 ） （ 3， 3） ； （ 2）顶点 N 坐标为（，） ； （ 3）详见解析；（ 4）（ 1 ）由正方形的性质及A、 B、 D 三点的坐标求得AD=BC=1 即可得；2）把（0， 0） （ n， 0）代入y=-x 2+bx+c 求得b=n、 c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；3）将点N 的坐标代入y=x2，看是否符合解析式即可；4）

10、根据 “小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当 x=2 时 y> 3，当x=3 时 y< 2，据此列出关于 n 的不等式组，解之可得（ 3）由（2）把x 代入y x2（） 2，抛物线的顶点在函数y x2的图象上运动；（ 4）根据题意，得：当x 2 时 y> 3，当x 3 时 y< 2， 即，解得： <n< 6 （ 2018 河南周口期末）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m（ 1 ）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（ 2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米

11、，不会影响过往船只？（ 1 ） y= 0.04（ x 10） 2+4（ 2） 0.76m【详解】（ 1 ）设所求抛物线的解析式为：y=a（ x h） 2+k，由 AB=20 ， AB 到拱桥顶C 的距离为4m，则C（10，4）， A（ 0，0）， B（ 20，0）把A，B，C 的坐标分别代入得a=0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=0.04（x 10）2+4；（2）由题意得可设E（1， y），把 E 点坐标代入抛物线的解析式为y= 0.04（ x 10） 2+4，解得：y= 0.76， DF=0.76m 7.（ 2017 扬州）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断

12、面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线 ”，锅口直径为6dm，锅深 3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同） ，建立直角坐标系如图 所示（图 是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（ 1 ）求C1 和 C2 的解析式；（ 2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径；（ 3） 如果将一个底面直径为3dm， 高度为 3dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由【答案】 （1 ）C1 ：y=x23（3x3）；C2：y=x2+1 （3x3）39（ 2） 2 3 dm（ 3）锅盖能正常盖上，理由详见解析试题解析：（

13、1）由于抛物线C1、C2都过点A（-3，0） 、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x-3）（x+3）；抛物线C1 还经过D（ 0， -3） ，1则有：-3=a（ 0-3） （ 0+3） ，解得：a=3即：抛物线C1： y= 1 x2-3（ -3 x3） ；3抛物线C2还经过C（ 0， 1） ，1则有：1=a（ 0-3） （ 0+3） ，解得：a=- 19即：抛物线C2： y=- 1 x2+1（ -3 x3） 9（ 2）当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y=-2，即1 x2-3=-2，3解得：x=±3 ，此时水面的直径为2 3 dm（ 3）锅盖能正常盖上，理由如下：当 x=3

14、时，抛物线C1： y= 1 ×（3 ） 2-3=- 9，抛物线C2： y=-1 ×（ 3 ） 2+1= 3 ，2324922而3 -（ - 9 ） =3，44锅盖能正常盖上8. （ 2019 盐城期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分如图建立平面直角坐标系，甲在O 点正上方1m 的 P 处发球，羽毛球飞行的高度y（ m）与羽毛球距离甲站立位置（点 O）的水平距离x（ m）之间满足函败表达式y a（ x 4） 2+h已知点O 与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m，球场边界距点O 的水平距离为10m（ 1 ）当a时，求 h 的值，并通

15、过计算判断此球能否过网2）若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离lm 处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离lm，离地面高度2.2m 处飞过，通过计算判断此球会不会出界？（ 1 ） 球能过网；（ 2） 此球不会出界【详解】（ 1 ）当a时，y（ x 4） 2+h，将点 P（ 0， 1）代入得：1（4） 2+h，y（ x 4） 2+， 来源 :ZXXKx 5 时，y× （ 5 4） 2+ 1.75>1.55，9 （ 2018 湘潭期末）小明为了检测自己实心球的训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如A 的坐标为（0，） ，球在最高点B 的坐标为（3，危险（如果实心球在

16、小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险）（ 1）求抛物线的解析式；2）已知某市男子实心球的得分标准如表：得分16151413121110987654321掷远（米）8.68.387.77.36.96.56.15.85.55.24.84.44.03.53.0假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分；3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7 米处有一个身高1.2 米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有2）根据y 随 x 的增大而增大，可得证明的结论；3）根据一次函数的性质，可得答案来源 :Z,X,X,K（ 2）将y=0 代入 y=得，x 1= 2， x2=8，掷出的距离为正值，来源 :

17、小明掷出的距离是8 米，得分是14 分，即小明在实心球训练中的得分是14 分；（ 3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7 米处有一个身高1.2 米的小朋友在玩耍，该小朋友有危险理由：将x=7 代入 y=可得， y=， 1 < 1.2，身高 1.2米的小朋友有危险，即在小明练习实心球的正前方距离投掷点7 米处有一个身高1.2 米的小朋友在玩耍，该小朋友有危险10 （ 2018 安徽阜阳期末）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O 建立平面直角坐标系，篮球出手时在O 点正上方1m 处的点P.已知篮球运动时的高度y（m） 与水平距离x（m）之间

18、满足函数表达式y=- x2+x +c.8（ 1） 求 y 与 x之间的函数表达式；（ 2）球在运动的过程中离地面的最大高度；（ 3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.【答案】（1）y 与 x 的函数表达式为y=- 1 x2+x+1； （2）篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m； （3）小亮离8小明的最短距离为6m.12（2）yx2 x 1812（ x 8x） 18（x 4）2 3，8当x 4 时， y 有最大值3故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；12（3）令y 2.5，则有（x 4）2 3 2.5，解得x

19、1 2， x2 6，根据题意可知x1 2 不合题意，应舍去，故小亮离小明的最短距离为6m.类型二 实际问题为背景的二次函数最值问题例 2 （ 2018 南京秦淮期末）问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解: 根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图）和一边“包含”墙（如图） 特例分析1 ）当时，若按图的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是；若按图的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是（ 2）当时，解决“问题情境”中的问题解决问题: （3）直接写出“问题情境”中的问题的答案【答案】 （ 1 ） 288， 324； （ 2）

20、当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是； （ 3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为【详解】解： （ 1）如图,设矩形的长为x 米 , 则矩形的宽为（30- ）米 , 面积为 S,依题意得：S=x· （ 30- ） =-=-,（x12）当 x=12 时 , 矩形有最大值为288如图 , 设矩形的长为x 米 , 则矩形的宽为（36- x）米, 依题意得：S=x· （ 36-x） =-,当 x=18 时 , 矩形有最大值为324综上 , 矩形的面积为288， 324（ 2）如图，设，则所以根据题意，得因为，所以当时，随 的增大而减小即当时，有最大值

21、，最大值是400（ m2）如图，设，则所以根据题意，得所以当时，有最大值，最大值是.综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是针对训练1. （ 2019 武汉市硚口期中）某小区业主委员会决定把一块长50m， 宽 30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形）4 个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2（ 1 ）直接写出：用x 的式子表示出口的宽度为； y 与 x 的函数关系式及x 的取值范围；（ 2）求活动区的面积y的最大面积；3）预计活动区造价为50 元 /m2，绿化区造价为

22、40 元 /m2，如果业主委员会投资不得超过72000 元来参与建造，当x 为整数时，共有几种建造方案？（ 1 ）502x，y4x2+40x+1500（12x18）； （ 2）1404m2；（3）共有4种建造方案【详解】解： （ 1 ）出口的宽度为：50 2x，根据题意得，y 50× 30 4x（ x 10） ，即 y与 x的函数关系式及x的取值范围为：y4x2+40x+1500（ 12 x 1）8；故答案为：50 2x， y4x2+40x+1500（ 12 x 1）8；（ 2） y4x2+4 0x+15004（ x 5） 2+1600，a4<0，抛物线的开口向下，对称轴为x5

23、，当12x18时，y随x的增大而减小，当x 12 时， y 最大 1404，答：活动区的面积y 的最大面积为1404m2；（ 3）设费用为w，w50（4x2+40x+1500）+40× 4x（x10）40（x5）2+76000，w 72000 时，解得：x1 5， x2 15， a 40< 0，当x5 或 x 15 时，w 72000， 12 x 18， 15 x 18，且x 为整数，共有 4 种建造方案2 （ 2015 湖北襄阳模拟）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距 80 米， 在两腰中点连线（虚线） 处有一条横向甬道，上下底

24、之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x 米（ 1 ）用含x 的式子表示横向甬道的面积为平方米；（ 2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（ 3） 根据设计的要求，甬道的宽不超过6 米 如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5 7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0 02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【答案】 （ 1） 150x（ 2） 5米 （ 3）当x=6 米时，总费用最少=238 44万元试题解析：解：（ 1 ） 150x（ 2）依题意：2 80x 150x 2x21 120 180 8

25、0，82整理得：x2 155x 750 0x15， x2 150（不符合题意，舍去）5 米3 （ 2016 无锡模拟）动手实验：利用矩形纸片（如图1）剪出一个正六边形纸片；再利用这个正六边形纸片做一个无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形），如图 2（ 1 ）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？（ 2）在（1 ）的条件下，当矩形的长为2a 时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率为多少？（矩形纸片的利用率 ）【答案】2：；【解析】 （ 1）画出图形，利用正六边形的性质，设出矩形的长宽和正六边形的半径，利用特殊角的三角函数用正六边形的半径表示

26、出矩形的长与宽即可得到结论；（ 2） 利用 （ 1 ） 中的边关系，设出正六边形高为x， 表示出正六边形的面积，利用二次函数的性质解决问题试题解析：（ 1）如 图所示：由于正六边形内角和为（6 2） × 180°=720°，则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；设所需矩形的长宽分别为A、 B，剪出的正六边形半径长为L，那么A=2L， B=2L?sin60°=L；因此，所求长宽比为A： B=（ 2L） ： （L） =2： ，做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为：2：；4 （ 2018 自贡期末）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪

27、舍的一边利用现有的住房墙，另外三边用25m 长得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个小门（ 1 ）如果住房墙长12 米，门宽为1 米，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2？（ 2）如果住房墙长12 米，门宽为1 米，当 AB 边长为多少时，猪舍的面积最大？最大面积是多少？（ 3）如果住房墙足够长，门宽为a 米，设AB x 米，当6 .5 x 7 时，猪舍的面积S 先增大，后减小，（ 1 ） 长是10 米、宽分 8 米时 ; （ 2） 当 AB 边长为 7 米时， 猪舍的面积最大，最大面积是84 平方米；3） 1 < a< 3.【详解】解： （ 1

28、）平行于围墙的边长为x 米，x?=80，解得，x1=10， x2=16（舍去）=8，即所围矩形猪舍的长是10 米、宽分8 米时，猪舍面积为80 平方米；（ 2）设平行于围墙的边长为x 米，猪舍的面积为S 平方米，S=x?=- （x-13） 2+，墙长 12 米，当x=12 时，S 取得最大值，此时S=84， 7，即当 AB 边长为 7 米时，猪舍的面积最大，最大面积是84 平方米；（ 3）由题意可得，S=x?（ 25+a-2x） =-2（x-）2+，当 6.5 x7 时，猪舍的面积S先增大，后减小， 6.5<< 7，解得， 1 < a< 3，即 a 的取值范围是1<

29、; a< 3.5 （ 2018 北京丰台二模）数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大1)设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，根据长方体的体积公式得到y和 x 的关系式：2)确定自变量x 的取值范围是；3)列出y 与 x 的几组对应值x/dm13 y/dm1.32.22.73.02.82.51.50.94)在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；5)结合画出的函数图象，解决问题：当小正方

30、形的边长约为dm 时，盒子的体积最大，最大值约为3 dm3.03dm3.5)根据图象，当x=0.55dm 时，盒子的体积最大，最大值约为故答案为：0.55， 3.03.6.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成， 建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD。 已知木栏总长为120 米， 设 AB边的长为x米， 长方形 ABCDS 平方米(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，当 x=30 时 , S有最大值为1800；不可行由 知，当S 取得最大值时，有，设 的半径为r 米，圆心到 AB 的距离为y 米，据题意

31、，得解得，这个设计不可行.8 （ 2018 湖州期末）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米， BC=1 米；上部 CDG是等边三角形，固定点E为 AB 的中点 EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）， MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆（ 1 ）当 MN 和 AB 之间的距离为0.5 米时，求此时 EMN 的面积；（ 2）设MN 与 AB 之间的距离为x 米，试将 EMN 的面积S（平方米）表示成关于x 的函数；（ 3）请你探究 EMN 的面积S（平方米）有无最大值，若

32、有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由【答案】 （ 1 ） 0.5 平方米； （ 2）0<x1 时，S=x；1<x<13 时， S= 3x233 x；（3）1 或 3 2 3336（ 2） 本题要分情况解答（ 0<x1 ； 1<x<1+ 3 ） 当 0<x1 时， 可直接得出三角形的面积函数；当 1<x<1+ 3 ，连接EG，交CD于点F，交MN 于点 H，先求FG，再证 MNGDCG，继而得出三角形面积函数；2)当 MN 在矩形区域滑动时，即0< x1 时，此时MN=AB=2 米，11 EMN 的面积 S= MN x 2 x x；

33、22当 MN 在三角形区域滑动，即1< x< 1 3 时 .如图，连接EG，交CD于点F，交M N 于点H，235 E为 AB 中点，易得 F 为 CD中点，GF CD,且 FG3GH= 13 x，又MN CD， MNGDCGMN GHDC GFMN21 3x3MN6 2 3 2 3x31故 EMN 的面积SMN x1 6 2 3 2 3x3 2 33x xx；233329 （ 2017 郑州二模）问题发现：如图1，在 ABC中，C=90°，分别以AC， BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG（ 1 ） ABC和 DCF面积的关系是； （请在横线上填写“相等 ”或 “不等 ”）（ 2）拓展探究：若C 90°， （ 1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2 给出证明；若不成立，请说明理由；（ 3）解决问题：如图3