中考数学锐角三角函数综合练习题附详细答案0001

1、-锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚0C = OD = 10分米，展开角Z COD=60%晾衣臂0A=OB = 10分米，晾衣臂支架HG= FE = 6分米，且HO = F0 = 4分米.当Z AOC=90°时，点A离地而的距离AM为分米：当0B从水平状态旋转到0B，（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至0B，上 的点F处，则BE - BE为分米.i【答案】5 + 5药4【解析】【分析】如图，作0P丄CD于P, 0Q丄AM于Q, FK丄0B于K, FJ丄0C于J.解直角三角形求出 MQ,

2、 AQ即可求岀AM,再分别求出BE, BE即可.【详解】解：如图，作0P丄CD于P, 0Q丄AM于Q, FK丄0B于K, FJ丄0C于J AM 丄 CD, Z QMP = Z MPO = Z OQM=90°,四边形OQMP是矩形， QM = OP,/ OC=OD = 10, Z COD = 60°, COD是等边三角形， OP 丄 CD,. z COP=Z COD=302/. QM = OP=OC>cos30°=5 VJ （分米）， Z AOC=Z QOP = 90。， Z AOQ=Z COP = 30%AQ =丄0A = 5 （分米）,2 AM=AQ+MQ

3、=5 + 5 V?. OBII CD, Z BOD=Z ODC = 60°在 RtA OFK 中，KO = OF>cos60° = 2 （分米），FK=OFsin60° = 2（分米），在 RtA PKE 中.EK= y/EF2-FK2 =2 x/6 （分米），I BE = 10-2-2（ 8-2 6）（分米）9在 RtA OFJ 中，OJ = OF<cos60° = 2 （分米）,FJ = 2jJ （分米），在 RtA Fjr中，EX（62-（20）2 =2 点,BE = 10- （26-2） =12-2 76 > BZE-BE=4.

4、故答案为：5 + 5 JJ, 4.f【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型.2.已知:如图，在RtA ABC中，Z ACB=90%点M是斜边AB的中点,MDII BC,且MD=CM, DE丄AB 于点 E,连结 AD、CD.(1) 求证： MED- ' BCA；(2) 求证： AMD旻厶CMD：(3) 设 MDE的面积为Sj,四边形BCMD的面积为S2，当S2= Si时，求cosZ ABC的值.【答案】 证明见解析；(2)证明见解析；(3) cosZABC弓.【解析】【分析】(1) 易证Z DME=Z CBA, Z

5、 ACB=Z MED二90。，从而可证明 MED- BCA：(2) 由Z ACB=90°,点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM,从而可证明Z AMD=Z CMD，从而可利用全等三角形的判左证明 AMD旻心CMD：(3) 易证 MD二2AB,由(1)可知： MED-心 BCA,所以一 =|- j =-,所以S“ACB I A3 丿 41 2 ME .Sa mcb= Sa ACB=2Sit 从而可求出 Sa ebd=S2 - Sa mcb Si= Si，由于 T =厂门，从而可2 5S 如EBME 57知-= 设ME=5x, EB二2x,从而可求出AB=14x, BC=-t最后根据

6、锐角三角函数的 EB22定义即可求出答案.【详解】(1) / MDII BC, Z DME=Z CBA, Z ACB=Z MED=90°, MED BCA：(2) Z ACB=90点M是斜边AB的中点， MB=MC=AM, Z MCB=Z MBC, Z DMB=Z MBC, Z MCB=Z DMB=Z MBC, Z AMD=180° - Z DMBtZ CMD=180° - Z MCB - Z MBC+Z DMB=180° - Z MBC, Z AMD=Z CMD,在厶AMD与厶CMD中， MD = MD< ZAMD = ZCMD ,AM =CM

7、AMD旻 CMD (SAS):(3) MD二CM. AM=MC=MD=MB, MD=2AB,由(1)可知： MED BCA,Jacb I AB )4Sa acb=4ShCM是氐ACB的中线，_ 1 _I Sa mcb= Sa acb=2Sii2 Sa ebd=S2 " Sa mcb 一 Si= Si>5S MES bEBDEBS ME-FME 5EB 2设 ME=5x, EB=2x, MB=7x, :.AB=2MB=14x,MD ME 1 _ 7F" BC " 2 BC=10xtcosZ ABC=BCAB10x_514x"7【点睛】本题考查相似三角

8、形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判左与性质，三角形面积的而枳比，锐角三角函数的左义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及左理进行解题是关键.3 阅读下而材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后而的问题.在锐角AABC中，ZA、ZB、ZC的对ADAD边分别是b、c,过A作&D丄BC于D （如图），则sinB=-一 , sinC= ，即AD= cbbec acsinB, AD=bsinC, 于是 csinB=bsinC, 即= 同理有： =,sin B sin Csin C sin A丄=A,所以丄=丄=丄.sin A si

9、nBsin A sinB sinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元 素（至少有一条边），运用上述结论和有关泄理就可以求岀其余三个未知元素.根据上述 材料，完成下列各题.（1）如图，AABC 中，Z 3 = 75°, ZC=45°, BC= 60,贝 AB=:（2）如图，一货轮在C处测得灯塔力在货轮的北偏西30。的方向上，随后货轮以60海里/ 时的速度按北偏东30。的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔人在货轮的北偏 四75。的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB.（3）在（2）的条件下，试求75。的正弦值.（结果保

10、留根号）圉1A【答案】(1)20点：(2) 156海里;【解析】【分析】(1) 根据材料：在一个三角形中，务边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入 数值即可求得AB的值.(2) 此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出ZA的角度，过B作BM丄AC于M,求出Z MBC=30求出MC,由勾股立理求出BM,求岀AM. BM的长，由 勾股定理求岀AB即可；(3) 在三角形ABC中，ZA二45, Z ABC二75, Z ACB二60,过点C作AC的垂线BD,构造直 角三角形ABD, BCD,在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求岀sin75。的值.【详解】解:(1)在A ABC

11、 中，Z B=75% Z C=45°, BC=60,则Z A=60°,AB BCsinCsinA 'AB 60sin45sin60AB60即迈=莎22解得：AB=20 y/6 .(2)如图，IL依题意:BC=60x0.5=30 （海里） CDII BE, Z DCB+Z CBE=180° Z DCB=30°, Z CBE=150° Z ABE=75° Z ABC=75°, Z A二45°,=旦即型=旦sinZACB sinZA sin60?灯45?解之得：AB=15 6答：货轮距灯塔的距离AB=15V6海里

12、.（3）过点B作AC的垂线BW 垂足为M.可求得CM=15t所以AM二在直角三角形BDC中，Z BCM=60 BC=30°,所以 AC=15由题意得，心近一心=, sin75J 如並.si nl 55/7/604【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性 质和判泄等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.4.如图，在RtA ABC中，Z C=90°, Z A = 30°, AB=4,动点P从点A出发，沿AB以每 秒2个单位长度的速度向终点3运动.过点P作PD丄&C于点D（点P不与点A, B重合）， 作ZDP

13、Q=60°,边PQ交射线DC于点Q设点P的运动时间为r秒.（1）用含t的代数式表示线段DC的长：；（2）当2时，点Q与点C重合时；（3）出线段PQ的垂直平分线经过ABC 边中点时，求岀r的值.1 3 5 【答案】 （2） 1；（3） t的值为或瓦或孝【解析】【分析】（1）先求出AC,用三角函数求岀AD,即可得出结论；（2）利用AQ=AC,即可得岀结论：（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得岀结论.【详解】（1）*. AP= 2t, AB=4,Z A=30°/. AC= 2、戸,ADt/. CD=2p3 一 Qt；（2）AQ=2AD=2®当AQ=AC时，Q与C重

14、合即2p3t=2护 t=l；（3）如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时, AP + PF = 2t+2t=2, /. t如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,-.ZQMN = 90% AN=|a", QM=；PQ=”t.在RE NMQ中,NQ =MQcos 30°32V*33AN + NQ=AQ,、3+二2 2/3匚 a t =-3、4如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,1 1 BF=-BC = 1, PE=PQ=t, Z H = 30°Z ABC=60°, Z BFH = 30° = Z H,BH = BF = 1.在/?仏 P

15、EH 中，PH = 2PE = 2t.5. AH=AP + PH=AB + BH, 2t + 2t=5, /. t=-.413 5 即当线段PQ的垂直平分线经过 ABC 一边中点时，t的值为劳牝或军【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线 的性质，正确作出图形是解本题的关键.5现有一个Z"型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中处为20c/n, BC为60cm, Z ABC=90, Z BCD=6O求该工件如图摆放时的高度（即&到CD的距离）.（结果精确到0le 参考数据：1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm

16、.【解析】【分析】过点 4 作 4P丄 CD 于点 P,交 BC 于点 Q,由ZCQP=Z&QB、Z CPQ = Z 3=90。知ZA = ZC = 60°,任厶ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在厶CPQ中可得 PQ，根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解：如图，过点人作qp丄cd于点巴交bc于点a Z CQP=Z AQB, Z CPQ = Z 8=90%Z A = Z C=60°,AB 20=40 在ABQ 中，.&Q=cos41 (cm),2BQ=ABtanA = 20tan60°=2(yxp (cm),CQ=8C-B

17、Q=6O2OB (cm),在厶 CPQ 中，； PQ=CQsinC= (60>2() sin60° = 30 (yp - 1) cm,. &P=&q+PQ=40+30 (3-i)61.9 (cm),答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键.6. 如图，在AABC中，AC = BC = O, cosC = -,点P是BC边上一动点(不与点A,C 重合)，以P4长为半径的OP与边43的另一个交点为D,过点D作DE丄CB于点E(1) 当OP与边BC相切时，求OP的半径：(2)

18、 联结交DE于点F,设AP的长为, PF的长为V,求)'关于大的函数解析式, 并直接写出X的取值范围：(3) 在(2)的条件下，当以PE长为直径的0。与0P相交于AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.【答案】(1) ： (2) y = -vV.v；-8.v + 8O /0< v< j0. (3)10-2593x+ 20'7【解析】【分析】(1)设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP丄BC, cosC=-,则sinC=-HP R 4即可求解;sinC=CP 10 R 5(2) PDII BE,EBPDBFPF即:_ y/x2 -8x + 8

19、0 - y ,即可求解;3,解得:R弓;(3) 证明四边形PDBE为平行四边形，则AG二GP二BD,即：AB二DB+AD二AG+AD二4,即可求解.【详解】(i) 设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,HP RsinC=CP 10-R(2)在A ABC 中，AC=BC=10, cosC=-,5设 AP二PD二x. Z A=Z ABC=p,过点 B 作 BH丄AC,B则 BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6, HA二4, AB=45，贝9： tanZ CAB=2BP= 82+(%-4)?-8.V + 80 >DA二二x,则 BD=4 苗 2示、x,55如下图所示，PA二PD,

20、Z PAD二Z CAB二Z CBA邙，tanp=2i 则 cosp= j=,2EB=BDcosp= (45- PDII BE,EB' PD2:竺，即：4_5 A x2-Sx + SO-y , PFvy整理得：5xjx】 -8x+80(、y=(0<x<10):3x + 20'7（3）以EP为直径作圆Q如下图所示,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D, GD为相交所得的公共弦，点Q时弧GD的中点, DG丄EP,TAG是圆P的直径, Z GDA=90 EPII BD,由（2）知，PDII BC,四边形PDBE为平行四边形, AG=EP=BD, AB二DB+AD二AG

21、+AD二4 5 ,2r设圆的半径为在 ADG中,2r一 20厉+2Zj5解得：2屁AD=2rcosp=4rDG二AG=2rt4r厂则：DG=-=1O-2V5 ,相交所得的公共弦的长为10-2 V5 【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股泄理等知识，其中（3）,要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.7. 如图，某次中俄"海上联合"反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30。.位于军舰 A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68。.试根据以上数据求岀潜艇C离 开海平面的下潜深度.（结果保留整数.参考数据：si

22、n68%0.9, cos68%0.4, tan68°«2.5, >/3»1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CD丄43,交弘的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜 深度，用锐角三角函数分别在RtA ACD中表示岀CD和在RtA BCD中表示出3D,利用 BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解.试题解析：过点C作CDJ.AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，根 据题意得：ACD=30 N BCD二68。，设 AD=x.则 BD二BA+AD=1000+x,/£ RtA ACD 中，CD=

23、ADtan ZA CDxtan30°在 RtA BCD 中，BD=CD*tan68°, /. 325+x二 tan68°解得：x=100米，潜艇C离开海平而的下潜深度为100米.8如图，在航线I的两侧分别有观测点A和B,点B到航线I的距离BD为4km,点A位 于点B北偏西60。方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74。方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长 度.（结果精确到 0.1km）（参考数据：*473, sin74%096, cos740.28, tan 743.49)【答案】209km【解

24、析】分析：根拯题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质 和解直角三角形即可.详解：如图，在 RtA BDF 中, Z DBF二60°, BD=4km>BDBF=8km,cos 60T AB=20kmt叮.AF=12kmt Z AEB二Z BDF, Z AFE=Z BFD, AEF- ' BDF,AE BDAF BF/. AE=6km»在 RtZAEF 中，CE=AE>tan74°20.9km故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km.点睹：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.9.

25、 如图以AABC的一边AB为直径作00, 00与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点 D作OO的切线交AC边于点F.(1) 求证:DF丄AC：(2) 若Z ABC=30 求 tanZ BCO 的值.【答案】(1)证明见解析;tanz BCO=【解析】试题分析：(1)连接0D,根据三角形的中位线沱理可求出ODll AC,根据切线的性质可 证明DE丄0D,进而得证.(2) 过0作OF丄BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的立义用0B表示出OF、CF的 长，根据三角函数的定义求解.试题解析：证明:连接0DT DE为00的切线， OD±DE0为AB中点,D为BC的中点0D ACDE±

26、;AC过0作OF丄BD,则BF=FD在 RtZkBF0 中，Z ABC二30°.0F二丄OB, BF二週OB2 2 BD=DCZ BF二FD.FO3BF二上近OF _ °B7322在 RtA OFC 中，tanZ BCO=点睛：此题主要考査了三角形中位线左理及切线的性质与判泄、三角函数的立义等知识点，有一定的综合性，根据已知得岀oF=-OB, BF=2ZEoB, FC=3BF=±0B是解题关2 2 2键.10. 如图，AB是圆0的直径，0为圆心，AD、BD是半圆的弦，且Z PDA=Z PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1) 判断直线PD是否为OO的切线，并说

27、明理由：(2) 如果Z BED=60°, PD=J,求 PA 的长：(3) 将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆0上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.【答案】(i)证明见解析；(2) 1：(3)证明见解析.【解析】【分析】(1) 连接0D.由AB是圆0的直径可得Z ADB=90%进而求得Z ADO+Z PDA=90°,即可得 出直线PD为OO的切线：(2) 根据BE是00的切线，则Z EBA=90。，即可求得Z P=30°，再由PD为的切线，得 ZPDO=90。，根据三角函数的定义求得0D,由勾股左理得0P,即可得出PA；(3) 根据题意可证得Z ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF由AB是圆0的直径，得Z ADB=90°, 设Z PBD=x°,则可表示