不等式的性质与证明剖析

1、不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.二、知识要点：1.实数大小的根本性质:a-b 0仁ab; a-b=0u a=b; a-b0u a b,bc,那么ac;如果ab,bc,那么ab,那么a+cb+c;如果abj a-c b-c;(3)乘法法贝U :如果ab,c0j acbc;如果ab,c0jSJ acc,那么ac-b;(5)同向不等式的加法法那么：如果ab且cdj a+c b+d;如果ab且c d那么a+cb0,且cd0,那么acbd.3.几个拓展的性质：ab0= anbn(n C N,n1);ab0= Va Vb (n N,n 1);ab且c

2、d = a-db-c;ab0,且cd0= -;d c11ab0(或0ab)n2ab(a bCR) ;a2+b2+c23abca、b、c R+);, ja+b2/一厂 c、 , a + b + c3/,厂-+、ab 2 (a、b同号)；2+c+a3 (a、b、c同号)a ba b c(4)倒数形式：a +12(aC R+) ; a + l02 (aC R-).aa三、典型例题：例1:ab,那么不等式a2b2;1中不能成立的个数是(a b a - b aA.0个B.1个C.2个D.3个例2:证明不等式：2+ h *22(1)对V实数a、b,求证：ab0a;0,q0,p3+q3=2,试用反证法证明p

3、+q02(4)对V实数x、y,求证:x2+xy+y21Q(5)对V实数a、bCR+,且a+b=1求证：(1 +-)(1+-) 9.a b四、归纳小结：1.实数大小的根本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系，是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法：1比拟法常和配方法结合使用.用比拟法证明的一般步骤是：作差 t 变形 T 判断符号；2综合法和分析法常结合使用.综合法就是由因导果使用不等式的性质 和已证明的不等式去直接推证；分析法就是 执果索因表达的形式是：要 证A,只要证B;反证法的步骤:假设 T 推理 T 矛盾 T 原命题成立；3.在利用不等式求最大值或最小值时，

4、要注意变量是否为正，和或积是否为定 值，等号是否能成立.通过变形，使和或积为定值，是用不等式求最值的根本技巧. 五、根底知识训练：一选择题：1.在以下命题中，是真命题的是A.x y和冈|y|互为充要条件B.xy和x2y2互为充要条件2 . 2一1111C.a b b w 0 -2 a -2互为充要条件D.-a4-一b和4a3b互为充要条件a b342.a b,cC R,由此能推出以下不等式成立的是22ccA.a+cb-cB.acbcC.acbcD.a2b23.如果ab0且ab,贝有A.11Bb2D.a2 b2a ba b11.4 .让b一成立的a bA.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非

5、充分条件D.既不充分又不必要条件5.不等式a+b2成立的充要条件是b aA.ab0且awbB.abwdl awbC.a 0,b0且awbD.alH bwl16.x2,那么函数y=x+-的取小值是()x -2A.4B.3C.2D.17.不等式a2+22aa2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2中，恒成立的个数 是()A.0个B.1个C.2个D.3个8假设实数a、b、c满足b+c=3a2-4a+6, b-c=a2-4a+4那么a、b、c的大小关系是()A.baB.bcaC.b c aD.b c g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) -5B.M-5C.M=-

6、5D.不能确定111.0a aaaaC.aaaa a12.a bbB. a bC.a b13.设a、b是不相等的正数，那么2214.右0 x 1,0yaa a1D. a a* aaD.B. aba ba2b22222,c a+b r a + bD. v- Jababa bi2中，包成立的个数是a bA.4个B.3个C.2个16.设正数a,b满足ab=4,那么2a+3b的最小值是A.12B.10C.4 6D.4 317.设a,bC R且a+b=3,那么2a+ 2b的最小值是()A.6B.8C.4 2D.2 218.假设实数x,y满足方程x+y-4=0，那么x2+y2的最小值是()A.4B.6C.

7、8D.1019.令0a 1;a+b=2；a+b2；a2+b22；ab 1.其中能推出“& b中至少有一个数大于1的条件是()A.B.C.D.2Y221.以下命题中，(1)x+1的最小值是2; (2)X的最小俏是2; (3)5的最x. x21x24小值是2; (4)2-3x-4的最小值是2.正确命题的个数是()xA.1个B.2个C.3个D.4个(二)填空题：22.假设xy且ab,那么在a-xb-y; a+xb+y; axby;x-by-a；a b这五个式子中包成立的不等式的序号是 .y xcd23.三个不等式：ab0；ad以其中两个作为条件，余下ab的一个作为结论，那么可以组成 个正确的

8、命题.1124.以下四个不等式：a 0b;ba 0;b 0a；0V ba.其中使0),那么y的取小值是xC. aba2b2a b, 22A.2xyB.x+yC. 2 xyD.x2+y2D.1个25.x0,函数y = 2-3x -的最大值是.x一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集.二、知识要点：1.能直接说明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做 同解变形.2.一次不等式ax baw0解法：当a0时，解集是xx2,用区间表示为2,+ 8；aa当a0时，解集是xxB,用区间表示为-oo,b.aa3 .不

9、等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.三、典型例题：例1：解以下不等式组：22(x2+1)(x-3) 03x + 4 5x - 6四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式组的根底.解不等式实际上就 是利用数与式的运算法那么，以及不等式的性质，对所给不等式进行同解变形，直到变 形为最简不等式为止.五、根底知识训练：一选择题：1.方程x2+m+2x+m+5=0有两个正根，那么实数m的取值范围是A.m-2B.m-5D.-5m-42.方程mx2+2m+1x+m=0有两个不相等的实根，那么实数m的取值范围是A.m -414C.m?-41 L-D.m一 且mO 4三解答题：x -

10、1：二0解不等式 组:2仅-22 55(2) 2x 5 03x - 6 0.分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式：上b0或*lb0(c#0).cx d cx d二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为：止bA0或军士b0(c*0),不等号也可以是“漱 Y .cx d cx d三、典型例题：例:解不等式：空3下5.x -2 x-1四、归纳小结:1.分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解，常用的解法有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2 .解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法那么化成不等式组或用区间分析法.注意

11、：不能按解分式方程的方法去分母;制.五、根底知识训练：(一)选择题：.1, 11.满足00C.x 13)C.Ig(x-3) 1的解集是()x2A.x|0 M 3B.x|-2x34.不等式2、-30的解集是(x - 2x 1A.x|x 3B.x|1 x3C.x|-6 0式3)C.x|x 或x 0D.x|x 2D.x|x3且xw5.不等式(x(x3)(X7)(X7)WO 的解集是()x一2A.x|1今2B.x|1 x bc,那么不等式(x(xa)(xb)b)冷的解集是()x - cA.(-8,c)jb,a)B.(c,bU a,+ 8)C.(c,b U (b,aD.(c,a U b,+ oo)(二)

12、填空题：7.不等式2x二！1的解集是.x 38 .不等式(X -1)(x+2) 0的解集是(x2-4)(3-x)9.假设不等式2x+a一0的解集为x|-3x2那么a=x 4x 3(三)解答题：10 .解以下不等式：2-1(1) ： x 1(2)0 ： x -一： 1xx含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集.二、知识要点：1 .|x-a|(a )几何意义是x在数轴上的对应点到a的对应点之间的距离.2.不等式|x| & a(a0)的解集是x|-a&x0赤等式|x|a(a0)的解集是x|x a.3.不等式|ax+b|0)的解集是x|-c ax+b c(c 0)的解

13、集是x|ax+bc,然后解这 个一次不等式，求出原不等式的解集，即这两个一次不等式的解集的并集为原不 等式的解集.三、典型例题：例:解以下不等式：(1) |x2-3x|4(2) 1 |2x1|5(3) x+|x-1|2四、归纳小结:解绝对值不等式时，应先了解根本绝对值不等式|x|a (a0)的解法，并 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式.五、根底知识训练：(一)选择题：1.不等式|x-2|1的解集是()A.(1,3)B.(3,+ oo)C.(-oo,1)D.(-oo,1)j (3,+ oo)2.不等式|2-3x|5的解集是()A.(-1,7)B.(7,+ oo)C.(-1,+ 8)D

14、.(-oo-1)U(7,+ oo)333A.x|1x5 B. x|x5 C. x|x或乂5D. x| - 5,B=x 3x 1B.x| -7K 1C.x|x RD.x|x 35.A= x x-2 1,那么APB等于()A.x|x 2C.x|-1 x0(二)填空题：3.不等式|2-3x|4的解集是(2B.x| -1 x5D.x|-1 x0或2x 5a6.右不等式|x-a|b的解集为x|-3 xb,b0=x|x 4,那么a2+b=_.8.假设xC Z,那么不等式|x-2| 3的解集是.(三)解答题：9.设集合A=x|2x- 1| 03,B=x|x+芥1,求集合C,使其同时满足以下三条件(1)C?(

15、AUB)nZ (2)C中有三个元素；(3)CUBW .10.解以下不等式：(1) 3 2x-12x -1元二次不等式的解法、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.、知识要点：儿次方程的根、一元二次不等式的解集的比照表一元二次函数的图象、如下：、典型例题:例1:求以下不等式的解集：(1)2x+3-x2 0 ; (2)x(x+2)-1x(3x) ; (3)x2-2sx+3 0 ; (4)x2+6(x+3) 3 ;(5)3x2+50 3x.例2:m是什么实数时，方程m-1x2-mx+m=0有两个不相等的实数根？2112例3:ax+2x+c0的解集为- x 0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要

16、有：1转化为一次不等式组；2区间分析法；3配方法；4利用二次函数的图象.五、根底知识训练：一选择题：1 .97高职-1不等式x2+2x+10的解集是A.B.RC.x|x= -1D.x|x -1,x R2.不等式x2-4x-5x2+8 0的解集是A.x|-1 x5 B.x|x5 C.x|0 x5D.x|-1 x0a w0解集是空集的充要条件是A.a0且b2-4ao0 B.a0且b2-4ac 0 C.a 0D.a0且b2-4ac0B.2x2-4石x+600 C.3x2-3x+1 0D.2x2-2x+1 05.假设x2-mx+1 2或m-2B.-2m0的解集是x x 0的解集为x|x J2,那么b=

17、,c=.8.(m+3)x2+(2m-1)x+2(m-1)0,x R,B=x|1-|x-a| 0, x,a R,A n B=求a的取值范 围.10.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解是全体实数，求实数a的取值范围.11.假设函数y=x2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数，求实数k的取值范围.12.假设关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的 取值范围.不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用，会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：设未知数；2根据题意，列出不等

18、式或不等式组；3解不等式或不等式组；4检验结果是否符合实际，并作答. 三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元, 从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕 捞的总收入为50万元.1该船捕捞几年开始盈利即总收入减去总本钱及所有费用为正值?2该船捕捞假设干年后，处理方案有两种：当年平均盈利到达最大值时，以26万元的价格卖出；当盈利总额到达最大值时，以8万元的价格卖出，问哪一种方案 较为合算？请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p元,每月售货卖出n件,因而现在每月售货总金额为np元.设定价上涨x成,卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍.1用x和y表示z;2设y=kx