专题22正方形存在性问题知识精讲-冲刺中考数学几何压轴专项复习

1、正方形存在性问题知识精讲6、关于正方形的基础知识1. 正方形的定义 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质） 边：四边相等，邻边垂直，对边平行；角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴； 正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心 .3. 正方形的判定 四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形； 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形 .4. 特殊

2、四边形之间的关系如图所示：、正方形存在性问题解决策略 1. 从未知量的角度来看， 正方形可以有 4 个未知量， 所以它的坐标应满足 4 个等量关系， 互相平分 2 个， 垂直（ 1 个）且相等（ 1个） .已知平面内 2 个定点，可以在平面内确定 2 个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！2. 解决正方形存在性问题常用方法从正方形判定入手若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直

3、或平分或相等，则加上其他条件即可 构造三垂直全等若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取 3 个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知 道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3 个点，然后再进一步求出第 4 个点 .若题目中给了 4 个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添 加某些条件，使得其构成一个正方形 .例 1：如图，在矩形 ABCD 中， AB 16cm， AD 6cm，动点 P，Q 分别从点 A，C同时出发，点 P以每秒 3cm的速度向点 B移动，点 Q以每秒2cm测得速度向点 D移动，当点 P到达点 B处时，两点均停止移动， 问：1）

4、P，Q两点出发多长时间，线段 PQ 的长度为 10cm？2）是否存在某一时刻，使四边形 PBCQ 为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由解答】（1） P，Q 两点出发 或 秒，线段 PQ 的长度为 10cm；（2）不存在解析】（1）过点 P 作 PH CD 于点 H，如图所示： HQ 16 5t ，PQ2 PH2+HQ2，即 102（ 16 5t） 2+62， 解得 ，答： P，Q 两点出发 或 秒，线段 PQ 的长度为 10cm；（ 2）四边形 PBCQ 是正方形， BPCQ，即 16 3t 2t， 解得不成立例 2：如图，已知抛物线交 x 轴于点 A、点 B，交 y 轴于点 C

5、，且点 A（6，0），点 C（0， 4），AB5OB， 设点 E（x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）求平行四边形 OEAF 的面积 S与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？不存在【解析】（1）点 A（ 6，0）， AB 5OB， 点 B（1， 0）， 设所求抛物线的解析式为 y ax2+bx+c，所求抛物线的解析式为所求抛物线的顶点坐标为，解得则由题意可得：， y< 0，2）点 E（ x，

6、y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 即 y>0， y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是平行四边形 OEAF 的对角线，22 S2SOAE2× × OA ?|y| 6y 6（ x2x+4 ） 4x2+28x24，自变量 x 的取值范围为： 1<x< 6；（3）根据题意得： 4x2+28x24 24，解之，得 x13， x24， 所求的点 E 有两个，分别为 E1（ 3， 4），E2（4， 4），点 E1（ 3， 4），OE 5， OEAE，平行四边形 OEAF 是菱形，点 E2（4， 4）， OE， ， 不满足 OE AE，平行四边形 OEAF

7、不是菱形；（4）当 OA EF，且 OAEF 时，平行四边形 OEAF 是正方形，此时点 E 坐标只能（ 3， 3），而坐标 为（ 3， 3）点不在抛物线上，不存在这样的点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形例 3：如图，直线 y 3x+3 与 x轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 ya（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X轴交于另一点 C，其顶点为 P1）求 a，k 的值；2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使 ABQ 是以 AB为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标；3）点 M 为抛物线上任意一点，点 N为对称轴上任意一点，是否存在点M，N使以 A，C，M，N 为顶点 的四边形为正方形？若

8、存在，请求出求此正方形的边长若不存在，请说明理由【解答】（1）a，k的值分别为 1， 1；（2）Q（2，2）；（3）存在，边长为.【解析】（1）直线 y 3x+3与 x轴、 y轴分别交于点 A、B， A（1，0），B（0，3）又抛物线 ya（x2）2+k 经过点 A（1，0），B（0，3），故 a， k 的值分别为 1， 1；2）如图，设 Q点的坐标为（ 2， m），对称轴 x2交 x轴于点 F，过点 B作 BE 垂直于直线 x2于点 E 在 RtAQF 中， AQ2AF2+QF21+m2，在 RtBQE 中， BQ2 BE2+EQ2 4+（ 3 m） 2，AQ BQ，1+m24+（ 3m）2，m2， Q 点的坐标为（ 2， 2）；（3）如图，当点 N在对称轴上时， NC 与AC不垂直，所以 AC