专题1三视图方法总结及例题(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

1、中学教育专题仁三视图方法总结及例题（解析版）一. 空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前而向后而正投影得到的投影图；反映了物体的髙度和长度 側视图：光线从几何体的左而向右而正投影得到的投影图；反映了物体的髙度和宽度 俯视图：光线从几何体的上而向下而正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、髙的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”二. 空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：建立适当直角坐标系XOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） 建立斜坐标系厶Oy，使ZXOy=45° （或135°） 画对应图形在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于

2、X '轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y 轴，且长度变为原来的一半;直观图与原图形的面积关系：S总如幻=S尿图形 -j-常见几何体的三视图:三视图几何体矩形矩形矩形立方体（四棱柱）矩形矩形三角形三棱柱三角形三角形四边形四棱锥三角形三角形三角形三棱锥矩形矩形圆圆柱等腰三角形 等腰三角形圆圆锥球还原三视图的策略:切割法M交汇法拔高法去点法一，切割法例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 20B. 24C. 18D. 16【答案】A【分析】由三视图还原岀该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得 到的，然后计算体积

3、即可【详解】解：由几何体的三视图还原出该几何体的宜观图，如图所示.该几何体是一个直三棱柱去掉 一个三棱锥得到的.由题中数据可得三棱柱的体积为丄×3×4×4=24,截去的三棱锥的体枳为42故该几何体的体积是20.【点睛】此题考查由三视图求几何体的体枳需熟记锥体的体积公式，属于基础题切割法规律总结：1、还原到常见几何体中2、实线当而切，虚线背后切3、切完后对照三视图进行检验二，三点交汇法例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为()A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4,

4、宽为4,高为3的长方体中截得(如图), 直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D-ABC从长为4,宽为4,高为3的长方体中截 得，所以 VDWC= *x*x423 = 4故选：A【点睛】此题考查由三视图求多而体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.三点交汇法规律：三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能用不完，个中取舍是关键:三、拔高法例3： 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）W正豪帕用IA. 42+4B. 22+8C. 42+8D. 12【答案】B【分析】由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的而积即可【详解】解：由三

5、视图可得此几何体为如图所示的四棱锥EABCD，由题可得，AB = BC = CD = AD = CE = 2. DE = BE = 2屈所以该几何体的表而积为2×2 + 2×-×2×2 + 2××2×-V2 =8+2>2 ,2 2故选：B拔高法规律总结：1标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图2. 由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.四、去点法例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）ftmsA. 6B 12C. 24D 36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【

6、详解】原图如图所示，可得 V = IX3x3x4=12,3故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体枳公式，属于基础题.去点法规律：画立方体A刊多余点，A连剩余点六字真言：先去除.再确泄针对练习1. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为（）C. 23+2D. 6中学教育【答案】C【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求岀侧视图的面积.【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：由于正视图和侧视国为全等的等腰直角三角彤，俯视图是边长为返的正方形, 故底而的对角线长为

7、2所以四棱锥的岛为y×2=l,故四棱锥的侧而髙为力=i +12 =JL叽2丿 2则四棱锥的表而枳为S = 4×丄XJTXd+ 2 = 2J+22 2故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体枳公式和而积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型2. 某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为()A. 4/rD 20”【答案】B【解析】由三视图町知，几何体是一个三棱柱，儿何体的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2 ,三棱柱的两个底而中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是半径，r = J(×3

8、)2+12 =2 ,球的表而积为4r2=4×- = - ,故选 BY 3333点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1) 由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部 分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.(2) 由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直 观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐 项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.(3) 由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的 形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.3. 如图，

9、网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的各条棱中，最长的棱的长度为()B. 26C. 42D 43【答案】C【分析】依据多而体的三视图，画出它的直观图并放入棱长为4的正方体中，求出最长的棱长为IABI可得答案.【详解】依据多而体的三视图，画出它的直观图，如图所示:在棱长为4的正方体中.四而体ABCD就是满足图中三视图的多面体,其中A、B点为所在棱的中点，所以，四而体ABCD最长的棱长为I A31= 4W = 42 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，由三视图画岀直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几

10、何体地而的直观图：2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的髙度：3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）侧视图6c. 5D. 3【答案】B【分析】 画出直观图，然后计算岀最长的棱长.【详解】 画出三视图对应的儿何体的门观图如下图所示四棱锥P-ABCDAB = BC = CD = AD = XPA = JF +1- = y/2 PB = + 12 ÷12 = 3 ,PD = 12+22 =5 > PC = l2+22+l2 =6所以最长的棱长为点故选：B【点睛】本小题主要考查三视图，属于基础题.5. 某三棱锥的三

11、视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为()A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4,宽为4,高为3的长方体中截得（如图）, 直接由三棱锥的体积公式可得答案【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D-ABC足从长为4,宽为4,高为3的长方体中截得，所以 VDTBC=*x*x4x2x3 = 4故选：A【点睛】此题考查由三视图求多而体的体枳，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.6. 如图，网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A 4 + 4B 2 + 62C. 3 + 32D8【答

12、案】A【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表而积.【详解】由已知三视图，可彳*此棱锥ABCD的直观图如下图所示:AABD川KBD部是讥角边为2和2血的直角三角形ABC 41APCJ是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表而积为S = 2×l×2×22 + 2×l×22=4 + 422 2故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表而积，空间想象能力，属于基础题.7. 一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（）c D【答案】D【分析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积歹ff*丿、掉的

13、三棱锥的体积丄乂丄×a×a×a = -M此组含体的体积/一呂=竺，故答案为D.3 2666考点：由三视图求几何体的体积8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（）正视图侧视图1U 2【答案】B【分析】2根据三视图，画出原图，根据原图,判断各个而的而积大小，即可得解.【详解】如图：棱锥P-ABC即为所求图形，PC = PA = W* AC =迈'AB = BC = I3所以APAC而积为二，2而厶PBC, ¾B. ABC的而积分别为更,迈,丄，2 2 2故APAC的而枳最大，故选：B.【点睛】本题考查了立体几何的三视

14、图，本题所用方法是利用长方体的割补进行还原原图，是解三视图的一个重要方法，考查了空间想象能力和空间感，计算量不大，属于中档题.9. 一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（）3cm左视图2cnA. 12 + 3(cnr) C. l + 23(cm2)【答案】D【分析】B. 10 + >J(Cld)D. 12 + 2>5(Cm)由三视图可知，该正三棱柱的底而是边长为2cm的正三角形，髙为2cn根据而枳公式汁 算可得结果.【详解】正三棱柱如图,有AB = BC = AC = 2. A41=BB1 =CC1 =2,三棱柱的表面积为2×2×3 + 2

15、15;-×2×>3 = 12 + 2.2故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求表而积，考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题.10. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）【答案】D【分析】 浪据三视图町知儿何体为圖柱体.山U知条件得底而直径"和高都为2,即可求圆柱体 表而积.【详解】由题意知：几何体为底而直径力和高力都为2的圆柱体，：衣而枳 S = 2rh + 2r1 = 6， 故选：D【点睛】 本题考查了由几何体三视图求表面积，应用了圆柱体表而积的求法，属于简单题.11. 如图，网格纸上小正方形的边

16、长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）0 厂A. 7 + 35B 7 + 2*5C.D.【答案】A 【解析】 分析：通过三视图可知该多而体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥OABCD，A. D为棱的中点,再讣律该四棱锥各而而枳Z和即可详解：根据三视图可知,该几何体为四棱O-ABCD. 棱长为2的正方体切割而成底而 ABCD 为矩形，5ocD=2×l2+22=25OD oCDSiioCD =MBC = SjE方形二 X 2 二 2 n.tn = - SryABCl) =y5易得AB = 屈 OA = 3QB = 2迈山余WZw严瓷;扩）2吩S如冷X3x

17、2屁当=3四棱锥的表而积S = 25 + 5+2×2 + 3 = 7 + 35点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形 状确宦几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验 证几何体的正确性.（2）表而枳计算中，三角形的而积要注意正弦定理和余弦宦理的运用.12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A 22B. 25C 26D. 42【答案】C【分析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，讣算其长度即可.【详解】由题意得该几何体的直观图是一个四棱锥A- BCCb如图所示Fi体积为（）11A.-B.-84Jt Cl为最

18、长棱由勾般定理得ACl =42+22+22 =26故选：C【点睛】 本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题 13-如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的D.【答案】C【分析】 观察三视图并将其“翻译”成宜观图，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.【详解】如图所示，三棱锥D-ABC即为函求.正方体的棱长都是2,B点到底ifi: DAC的距离是2,所以故选：C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力14. 某几何体的三视

19、图如图所示，则该几何体的体积为（）2TD. 2【答案】A【分析】由三视图可知该几何体为一个鬪柱内挖去两个与圆柱同底的半球，由圆柱体积减去两个半球 体枳可得.【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V=VP- 2×V球= "xl22-2x丄X-Xl3=-故选:A.【点睛】本题考査三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图得岀几何体的结构.15. 某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A. 8 - 16B. 8+16C. 168【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为两个底而为弓形的柱体,底而积为一个半圆割去一个等腰直角三 角形，

20、其而枳为兰21 -丄×4×2 = 2-4,高为4,所以柱体体枳为4(2-4) =8r-16.选 A【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底而为两个弓形，所以原几 何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年髙考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要 根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标淸几何体中线段的长度，利用面积或体积公式 计算16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）IW现图Be 3C.16TD. 16【答案】B【分析】 由三视图画出英直观图，再根据锥体的体积公式汁算可得:【详解】 解：由三视图可知，该儿何体是一个竖放的四-有一条侧棱PA垂

21、直于底面ABCD ）.英直观图如图所示：四棱锥P-ABCD的底而是直角梯形ABCD （上底为BC = I,下底为AD = 3,高为AB = 2）,四棱锥的高是4 = 2所以直角梯形ABeD的而积为SM 梯形 BCI)=（肌+岁）小"=（T）X2=4,所以该四棱锥P-ABCD的体枳为2 2VP-ABCD =X SMABCD XPA = TX 4 X 2故选：E【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题17. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）俯视图TB. 4D. 3【答案】B【详解】试题分析：如图，阴影平行四边形表示

22、截而可见这个截而将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体 积的一半，V = ×2×2×2 = 4.2考点：1三视图：2.正方体的体枳18. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）正（壬舰圄制（左觑图俯视團A. - + 5/2" + y/S2B. 5÷÷5c 5÷÷TD 5 + 2+5【答案】D【分析】依题总，由三视图得到直观图，再求岀四棱锥的表面积即可;【详解】解：由三视图可得如下直观图1,所以则SA丄面ABCD9 ABCD为矩形，且SA = 2. AB = 2 AD =SA

23、B = ×2×2 = 2, SASAD = ×2×l = lt SABCD =1x2 = 2,SdSCD =丄X2X>12 + 22 = 5 , SSSCB =丄XlX Jy +2, = >/22 2所以表而积为5 + 5+故选：D【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，属于基础题.疋进髙考1, 2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国II卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示ICnl）周中粗线画出的是某零件的三视图， 该零件由一个底面半径为3cnb高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

24、（）279【答案】AIOC.27D.【详解】I川为加丁前的零件丫彳令为3,髙为6,所以体积Vi=549又因为加匸后的冬件，左半部为小卜W为2,高4.右半部为大圆柱,羊径为3高为2,所以体积Vi=I6 + 18 = 34,所以削掉部分的体积与原体积之比为54r-34r54IO27故选A.考点：本小题主要考査立体几何中的三视图，考查冋学们的空间想象能力2, 2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II）如图，已知万是球0的球面上两点，ZAoB=90° , C为该球面上的动点，若三棱锥磁体积的最大值为36,则球。的表面积为（）A. 36 B. 64 C. 144 D. 256

25、 【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂宜于IfII40s的直径端点时，三棱锥°"BC的体枳最大，设ORVIBC = VGAOB=;HMKR=W 疋=36R= 6 O球的半径为此时，故 ，则球的表而积为S = 4R2=144故选C考点：外接球表而枳和推体的体积.C3, 2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标【）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A 6巧B. 6C. 6y2D 4【答案】B【详解】由正视图、侧视图、俯视图形状.可判断该几何体为四面体，且四而体的长.宽、高均为4 个单位，

26、故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四而体为Q ABC,且AB = BC = 4.AC = 4y2 DB = DC = 2ys DA = (42)2+4 = 6 > 故最长的棱长为 6,选 B.4, 2015年全国普通髙等学校招生统一考试理科数学（新课标II）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）111c. D765【答案】D【解析】 试题分析：设正方体的棱长为由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥.F方体切心分的体枳为IXIXlXI×1 = 1,A剩余部分体枳为1一 ； = ?，截去部分 3 26

27、66体枳勺剩余部分体积的比值为*.故选D.考点：由三视图求体积5, 2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16 + 20,则r=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【详解】【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，°其表而积为：× 4t2 +-X r + × 2?- × lr + Ir × 2?- + - × r =

28、 5r2 +422 2 2 2又J该几何体的表而积为16+20,* 5r1 + 4r2 = 16 + 20?F ,解得 r=2,本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐"，即正视图和侧视图一样髙、正视图 和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表而的交线是它们的 分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.6, 2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.佔【答案】BB. 54÷lC. 90D. 81【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱,其底面而积为:3X6=18,前后侧而的面积为:3X6X2 二 36,左右侧面的面积为:3x32 + 62 ×2=185f故棱柱的表面积为： 故选:B.18+36+18vz5 =54+185点睛：