整理向量代数与空间解析几何

1、精品文档2 -11 -13-1I,IIIC = 5i j 7k十、向量代数与空间解析几何1设 a 二3, _1, _2 ,b =1,2, -1,求(2a) 3b 和 a b.解：(-2a)3b = ( 3 1( -1) 2 (2) ( 1) = -18精品文档2. a =2 i -3 j k, b=i-j 3k, c = i2 j,求(a b) (be) 解:(a-b)(bc)=(3_4j4k)(2, _3j3#)i J3-42-3-44t-34|j +3-4-33232-3y3.求过点(3,0, -1),且与平面3x -7y - 5z -12 =0平行的平面方程. 解：由于所求平面与平面3x

2、 -7y - 5z _12=0平行,所以其法向量n =3： 7：5k由点法式得 所求的平 面方程为3(x-3) -7( y -0) 5(z 1) =0即3x -7y 亠5z -4=04 求过点M0(2,9, -6)且与连接原点O及点M0的线段OM0垂直的平面方程 解：向量OM.所求平面的法向量 n =2i 9J -6k由点法式得所求的平面方程为2( x -2)9( y -9) -6( z 6)=0即 2x 9y -6z-121 =05求过三点 R(0,4, 5)、F2(1,2,2)、P3(4,2,1)的平面方程.解：所求平面的法向量n同时垂直于线段rb ,所求平面的法向量n=n,汉n2 = -

3、14RP2 說-6* 7k、且 RP3 邛2 =4, -2j 6kJ k-6=-22*+34* + 26k-2 6由点法式得所求的平面方程为-22( 0 ) 34( 4 ) 26( z 5 0即-11x 17y 13z -3 =06求平行于平面 x2y _z _3 =0,且过点P(2, -5,3)的平面方程. 解：由于所求平面与平面 x 2y _z _3 =0平行,II所以其法向量n 2j-k,由点法式得所求的平面方程为(x_2)2(y 5)_(z_3) =0 即 x 2y_z 11=0x 3z 1一7.求过点(4, -1,3),且与直线y平行的直线方程.2 5x 一3z 一1解：由于所求直线

4、与直线y平行,其方向向量为25S =2 j 5kz-18 .求过两点9求过点(2,3, -8)且与直线解：PP2 =S = -4i +2j +面方程.R(3, 2,1)和 F2( 1,0,2)的直线方程.即为所求直线的方向向量S 一4丫 2彳k由点向式得所求的直线方程为 =2 = _1-421一8匸2垂直,23 七I.!I直线的方向向量S = 2, 3 j -8k即为所求平面的法向量 2* 3J1 -8k解：所求的平面直线x 1 y -6号4垂直的平-由点法式得所求平面方程为 2( x -2) 3( y -3) -8( z 8) =0即2x 3y 8z -77 =010设两点M<4, 2

5、,1),M2(3,0,2),计算向量MM?的模,方向余弦和方向角解：向量MM? -2 j - k所以M.M 的模二.(-1)2( 2 )2 12,-1: 21M1M2的方向余弦cosjcos -,cos2222 二3兀所以M1M2的方向角为:-, -.343由点向式得所求的直线方程为11 说出以下方程所代表的图形名称：22xz1椭圆柱面4922y 2x2Z2 =1 单叶双曲面42 2 2xyz,“(5)222 1双叶双曲面abcx y z =1直线|x - y - z - -6x2z2(9)1双曲柱面432 2 2y 51椭球面4992(4) y 1 = x抛物柱面2 _x y(6)+ = Z

6、4抛物面(8)x _2y 8z = 7 平面(10) z = x y 圆锥面x 2 y 3 z 412 .求直线与平面2 x y z - 6 = 0的交点.1 1 2求得t = 1Jx =t 2 x 2 v 3 z 4解：令t,贝U y = t 3代入平面方程2x y z-6 =0112Iz =2t +4所以求直线与平面的交点为 3,4,613.求两直线口与亠丄的夹角.1-41221.I|,1解：两直线的方向向量分别为-4j k ,罷=2丫 -2j -k所以两直线的夹角满足1 2-4 (-2) 1 (-1)匸厂代仃厂厂1- 2兀,所求夹角为4本章补充题:、选择题： 1设牙二 1,_ 1, k?

7、, 6 =2, 4, 2,当 a与b 垂直,那么 k=()A 1 B -1 C. 2 D.-22.设 a 1,1,0?, b .1,0, 一1?那么 a与 b 的夹角为()nnjiA.B.C.D.64323设b=i j k及c=2i j k垂直,那么d乜=() 一 一 一 a . - j - k b . j _ kc . j " k d . - j " k4同时与a =臼,一 1,o?及 b =1, 0, -2 -垂直的单位向量是()A.2j 2k B . 22j k C .牛纠D . H 作3 333335.平面x -2y z 0与平面()垂直A . -x 2y-z-5=

8、0 b . 2x-y 3z 3=0 c. . x-y-3z 5 = 0 D . 3x-5y z1=0x 1 v 2 z +16 .直线L : 二丄上二与平面()平行-12-2A . 4x y-z10=0 b . x-2y3z 5=0c . 2x-3yz 6=0D .xy -5z3 = 07.直线L:=1_1与平面x 2y -z 3=0位置关系是()3-11A .垂直.B.直线在平面内C.平行D .相交2 ,4 同时垂直的直线为8过点P(1, 2, 3)且与向量a, 2,2?及b -1,x 1 y 2z 3A .462x 1y 2z 3C .-4629 .在空间直角坐标系中方程x1y2z3B .

9、4 6-2x1y2z3D .4-622 2 2x (y -1) z =9 表示()A.球面 B.圆锥面 C.圆柱面10 .在空间直角坐标系中方程A . 一个圆 B .圆柱面11 .在空间直角坐标系中方程D.抛物面2 2 一x y 4z表示C.圆锥面 D .旋转抛物面2y二x 1表示A .抛物线B .圆柱面12.在空间直角坐标系中方程C .圆锥面 D .抛物柱面222 Zx y1表示()4A .球面B .圆柱面C.圆锥面 D.椭球面二、填空题：1. 设g =3卩+5+7丧的终点为B(1,_2,_3)那么分 起点A的坐标为().2. 设：, ', 是向量a的三个方向角,_那么 sin2鳥,

10、sin2 一： sin2 =.44-3设 a - ;6, 3, -2?, a 与 b 平行,且 b =14,那么 b =.4 A(2,J, 2),B( 0,2, 1),C(2,3, 0),那么心ABC 的面积为.5. 向量a与b的夹角为,且a =2, b =1,那么a -b与a b的夹角为.36. 设平面二过点(2,0, -1)且与平面4x -5y - 2z二0平行,那么平面二方程为 .7. 设平面二过点(1, -1,2)且与直线_ = _ =垂直,那么平面二方程为 .32-18直线L过点(2,-1,2)且与平面3x2y2z-5=0垂直,那么直线L的方程为9.点M (1, 2 ,1)到平面二:

11、3x -4y 5z 0的距离为.210坐标面yOz上的曲线z =：4y绕z轴旋转而得的旋转曲面的方程为 .三、解做题：x 1 v 2 z +41.求直线与平面x-3y,2z-5=0的交点和夹角.2 £12 A(2,1, 2),B(0,2,1),C(2,3,0),求也 ABC 所在有平面方程.x 2y 'Z '7 = 03.把直线的方程改写为点向式、参数式.、2x +y +z -1 =04平面二过点M(-1,-2,3)且与直线-:口=口 和直线L2 : -2二口 都平行,3 4612-8求平面二方程.5直线L过点P(0 ,1, 2)且与平面x,2y-5=0和y-3z,4

12、=0都平行,求直线 L的方程.6点M (k ,1, 2)到平面二：2x _2y z 0的距离为1,求k7.直线X 2y -z - 7 -0与平面3x ky 5z 0垂直,求k -2x +y +z1 =08指岀下方程表示的图形：2 2 x2y2 =9 x2y2 z2 -2x4y 4z = 0 x2 = 194 x2y2 -4z2 = 0 x2y2 -z = 0 2x2 y2-z2 = 1补充题参考答案或提示:一、选择题1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. D 12. D二、填空题1. ( -2,-7,-10)2. 23.二1

13、2, 6, -4?4.1卜曲4 =g4,3, 1x2,1,1卜 Q5 4ba+b|af-|B(23卩屮+句/a I2 _2a bb(商 +?a 曲'bf 呵6. 4x 5y 2z 6 = 07. 3x 2yz 1=0x2 y 1 z -28.3223X14X2+5X1+2运8. _=J32 +( _4)2 +5252 29. z =4( X2 y2)三、解做题：1.令 匸！= 红2 =-4 =t代入平面方程 x - 3y 2z-5 = 0得t = 2 所以交点为5,-4, -6 2-3-1由于：直线的方向向量 s-；2,-3,-门平面的法向量n- ；1,-3, 2?,所以夹角满足sin =coss, n $ %142.平面的法向量H=aB B?-2,3,-1? 2,1,仃-23一1 j +-13-1-2所以.ABC所在有平面方程为 _2(x 2) 4( y 1) 8( z2 ) =0 即 x 2y 4z8 = 0.3.直线的方向向量§ =4 n2二J k12-1-2113i j 5k,在直线取一点令Z = 0那么x 2y -7| 2x y -1 =04.所以点向式为x -1平面的法向量n二為y -3T-,参数式为5x = 3t 1y二t 3 ( t为参数)Iz