提升考能阶段验收专练卷三数列不等式推理与证明

1、第21页 共13页提升考能、阶段验收专练卷三数列、不等式、推理与证实时间：65分钟总分值：104分I .小题提速练限时45分钟一选择题本大题共12小题,每题5分1 11. 假设-<-<0,那么以下结论不正确的选项是 a bA. a2<b2B. ab<b2C. a+ b<0D. |a|+ |b|>|a + b|1 1解析：选 D tvivO,.'. b<a<0.a b a2<b2, ab<b2, a + b<0, |a|+ |b|= |a+ b|.2. 2021 山西山大附中月考设等差数列an的前n项和为Sn, a?+ a

2、4= 6,贝V S5等于 A. 10B. 12C. 15D. 30解析：选C 由等差中项可得a2 + a4= a1 + a5,所以S5=巴电=15.3.一个由正数组成的等比数列,它的前4项和是前2项和的5倍,那么此数列的公比为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B 由题意知an>0, S4= 5S2,显然公比qz 1,42且 q>0,所以 a1jq = f q,1 q1 q即 q4 5q2 + 4= 0,解得 q2= 4 或 q2= 1(舍去),又 q>0,所以q= 2.4.等比数列an满足 an>0, n N,且 a3 a2n-3= 22n(n > 2

3、),那么当 n> 1 时,Iog2a1+ log2a2 + , + log2a2n-1=()A. n(2n 1)B. (n+ 1)22 2C. nD. (n 1)解析：选A由等比数列的性质,得a3 a2n-3= an= 22n,从而得an = 2n.法一 ：log2a1 + log2a2 + , + log2a2n1= log2(aia2n-1) (an-2) - (an-ia)+i)arj = log22n(2n1)= n(2n 1).法二：取 n= 1, log2ai= log22= 1,而1+ 12= 4, 1 12= 0,排除 B, D;取 n= 2,2log2a1+ log2a

4、2+ log2a3= log22 + log24+ log28 = 6,5.假设关于x的不等式x2 ax 6av 0有解且解的区间长度不超过5个单位长度,那么 a的取值范围是A. 25,1B .汽一25 U 1,+sC . 25,0U 1,24D . 25, 24 U 0,1解析：选D 由x2 ax 6av 0有解得a2+ 24a> 0,由解的区间长度不超过5个单位长度,得,a2+ 24a< 5,由得一25 w av 24或0 v aw 1.6假设正数x, y满足4x2 + 9y2 + 3xy= 30,那么xy的最大值是45a3b35C. 2D.4解析：选 C 由 x> 0,

5、 y> 0,得 4x2+ 9y2 + 3xy> 2 2x 3y + 3xy当且仅当 2x = 3y 时 等号成立, 12xy+ 3xyw 30,即 xyw 2,a xy 的最大值为 2.7. 2021长春质量检测假设等差数列an前n项和Sn有最大值,且瓷<1,那么当Sn取 最大值时,n的值为A. 10B. 11C. 12D. 13解析：选B由等差数列的前 n项和有最大值,可知 dv 0,再由並<1,知an> 0,a12a12 v 0,从而使Sn取最大值的n= 11.x+ yw 1,8. 2021兰州诊断不等式组 x y> 1,所表示的平面区域为D,假设直线y

6、=!.y> 0kx 3与平面区域D有公共点,贝U k的取值范围为A. 3,3B. -8'- 3 u 3 +C. s, 3 U 3,+s 1 11r=ki-3D. 3, 3 一解析：选C 满足约束条件的平面区域如图中阴影局部所示.由于直线y= kx 3过定点(0, - 3),所以当 y= kx 3过点C(1,0)时,k = 3;当y= kx 3过点B( 1,0)时,k= 3,所以kw - 3或k>3时,直线y= kx 3与平面区域 D有公共点.1 2 19.数列an满足an+1 = ?+寸an a：,且a1 = q,那么该数列的前2 016项的和等于()A. 1 509B .

7、 3 018C . 1 512D . 2 016解析：选 C 由于 ai= 1,又 an+1 = 2 + Jan a；1所以 a2= 1,从而 a3 = q, a4= 1,卩,即得an= 21< 1 ?n= 2k 1 k N* , n= 2k k N* ,故数列的前2 016项的和等于S2 016 = 1 008 X1 +1= 1 512.10 . (2021 上饶六校一联)观察以下各式:C. 728D. 729解析：选Cm= 93 1 = 729 1 = 728.11.函数f(x)= (ax 1)(x+ b),如果不等式f(x)>0的解集是(一1,3),那么不等式f(2x) v

8、0的解集是()D.2解析：选 A 由 f(x) >0,得 ax率,显然OA的斜率最小,OB的斜率最大,即tw 2. 由于函数f(t) = t *在2, 2上单调递增,故-3< f(t)< ：所以y x的取值范围是 + (ab 1)x b>0,又其解集是(一1,3), av 0,且b=-3,a1解得a = 1或a= 3(舍去),a = 1, b= 3,2 f(x)= x + 2x+ 3, f( 2x)= 4x2 4x+ 3,由4x2 4x+ 3v 0,13得 4x2+ 4x 3>0,解得 x>2,或 xv ?.x + y 3< 0,x y+ 1?0, y

9、 x12.设点P(x, y)满足那么x x的取值范围是()x > 1,x yy> 1,3A |I2,+ mB.3 32 2C.D . 1,1x + y 3< 0,x y+ 1?0, 解析：选B不等式组x> 1,y> 1表示的平面区域如图阴影局部所示,-1332 2 .令t= y,那么y x = t £根据t的几何意义,t值为可行域内的点与坐标原点连线的斜 x x y t(二)填空题(本大题共4小题,每题5分)13 . (2021 全国卷 fl )设 Sn 是数列an的前 n 项和,且 ai = 1 , an + 1 = SnSn + 1,贝V Sn =解

10、析：-an+ 1 = Sn+ 1 S , an + 1 = SnSn+ 1,Sn + 1 Sn= SnSn+1.1.1 1V Sn 丰 °ST S = 1,即 Sn+ 1 Sn又 St- 1,是首项为一1,公差为一1的等差数列.1Sn14.等差数列an中,有an+ a12+, +10a2°a1+ a2+, +30a30 ,那么在等比数列bn中,=1 + (n 1)x ( 1) = n,. Sn= 答案：-J会有类似的结论： ,解析：由等比数列的性质可知b1 b30 = b2b29= , = b11b20,1030bnb12, 60= ：Jb1b2, b30.1030答案：-

11、./b11b12, b20= $ bb2, b3015. (2021济南实验中学调研)观察以下等式1 = 12 + 3 + 4= 93 + 4 + 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7 + 8 + 9+ 10= 49照此规律,第n个等式为 .解析：观察这些等式,第一个等式左边 1个数,从1开始；第二个等式左边 3个数相加,从2开始；第三个等式左边 5个数相加,从3开始；,；第n个等式左边是2n 1个 数相加,从n开始.等式的右边为左边 2n 1个数的中间数的平方, 故第n个等式为n+ (n + 1) + (n+ 2) + , + (3n 2)= (2n 1)2.答案：n+ (n+ 1

12、) + (n + 2) + , + (3n 2) = (2n 1)216. (2021洛阳一测)假设关于x的不等式ax2|x|+ 2a<0的解集为空集,贝U实数a的取值 范围为.解析：当a= 0时,不等式为一|x|<0,解集不为空集.当a丰0时,由题意知 a>0 ,令t= |x|,那么原不等式等价于at2 t+ 2a<0(t> 0),所以 a<t2*2(t?0).根据题意知td存2詁彳,所以a>答案：-42, +mn .大题标准练(限时20分钟)217.(本小题总分值 12分) f(x)= 3x2 + a(5 a)x + b.当不等式f(x)>0

13、的解集为(1,3)时,求实数a, b的值;假设对任意实数a, f(2)<0恒成立,求实数 b的取值范围.解：(1)f(x)>0,即一3x2 + a(5 a)x+ b>0,3x2 a(5 a)x b<0,3 + a 5 a b= 0,27 3a 5 a b= 0,解得a= 2, b= 9或 a = 3,b= 9.(2)f(2)< 0,即12+ 2a(5 a) + b<0,那么2a2 10a+ (12 b)>0对任意实数 a恒成立,1 100 8(12 b)<0 , b< 实数b的取值范围为8,2.2bn为等比数列,且 a1 =18.(本小题总

14、分值12分)数列an的前n项和Sn= 2n , b1, b2(a2 a“= b1.(1)求数列an和bn的通项公式；设cn= a,求数列Cn的前n项和Tn.解：(1) T Sn= 2n2, a1 = 2, n> 2 时,an = Sn Sn-1= 2n2 2(n 1)2= 4n 2,当n = 1时,上式也成立, an = 4n 2, n N .t b1 = a1, b2(a2 a“ = b1,bi = 2, b2 = 21又%为等比数列,公比 q= 4,nT .小题提速练限时45分钟一选择题本大题共12小题,每题5分1. 等差数列an满足 a2= 3, Sn Sn-3= 51n>3

15、, Sn= 100,那么 n 的值为A. 8B. 9C. 10D. 11解析：选C 由Sn- Sn- 3= 51得,an-2+ an-1 + an = 51 ,所以 an -1 = 17 ,又 a2= 3, Sn= na2；an 1 = 100,解得n= 10.2. 2021邢台摸底数列an为等比数列,a5= 1, ag = 81,那么a?=A. 9或9B. 9C . 27 或一27D . 27 n-12bn = biq = 2 4= 41.4n 2由(1)得 cn= = (2n- 1)严那么 Tn= 1 4°+ 3乍+ 5 42+ , + (2n- 3) 4n-2+ (2n- 1)

16、 4 n-14Tn= 1 41 + 3 42+ 5 43 + , + (2n 3) 4n-1 + (2n- 1) 4n.所以一3Tn = 1 + 241 + 42 + 43 + 4n-1 - (2n- 1) 4nn -1(2n - 1)4n1+2X41-4-1-4n=-(6n 5)4 -533.n 所以 Tn-65 + |.附加卷：数列、不等式、推理与证实教师备选数列、不等式、推理与证实时间：65分钟总分值：104分解析：选B 依题意得a a5 a9= 81, 又注意到a7= q2>0其中q为公比,因此a5, a7 a5的符号相同,故a7= 9,选B.3. 2021郑州联考a, b, c

17、 R,给出以下命题：假设 a> b,那么 ac2> be2;假设 ab 0,那么a+2;b a假设 a > |b|,贝U a2> b2.其中真命题的个数为A. 3B . 2C. 1D. 0解析：选C 当c= 0时,ac2= be2 = 0,故为假命题；当 a与b异号时,a< 0, < 0,b aa+- 2,故为假命题；由于 a> |b|>0,所以a2> b2,故为真命题.b a4. 2021洛阳统考设等比数列an的公比为q,那么“ 0< q< 1是“ an是递减数列的A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C充要条件D. 既不充

18、分也不必要条件解析：选D an+1 an = aiqn a1qn 1 = a1qn 1q- 1,而a1的正负性未定,故无法判断 数列an的单调性,因此“0< q< 1 是“ an是递减数列的既不充分也不必要条件.5. 2021焦作一模在正项等比数列an中,lg a3+ lg a6 + lg a9= 6,那么a1an的值是A. 10 000B. 1 000C. 100D. 10解析：选A 正项等比数列an中,lg氏+ lg a6 + lg ag= 6,由对数运算法那么及等比数列 的性质,有 lg a3a6a9= 6, a3a6a9= 106, £ = 106,a6= 100

19、, a1a11 = a2= 1002= 10 000.6. 2021秦岭一模不等式|x2 2|< 2的解集是A. 1,1B . 2,2C . 1,0 U 0,1D . 2,0 U 0,2解析：选 D Tlx2 2|< 2 , 2< x2 2< 2,. 0 < x2< 4. A 2< x < 0 或 0< x< 2.7. 2021山西山大附中一模数列an满足a1= 1,且对于任意的 n N*都有a“+1= d + an+ n,那么 1 + 1 +, + 1 等于a1 a2a2 0152 014 A2 016 4 028C.2 0164

20、030 B 2 0162021D.2 016解析：选 B 由于 an+1= a1+ an+ n = 1 + a“ + n,所以 a“+1 an= n+ 1,1所以an nn+ 1=2n-n+ ,米用叠加法可得 an= a1+ (a2 a“+ , + (an an-1)= 1+ 2 + , + n=2,1 1 1所以+ + , + a1a2a2 015=21 1+ 11+ 1 1 + , +亠-亠2 23 342 0152 016=2 1 20214 0302 016.8不等式x+ y 1 + y > 9对任意正实数x ,y恒成立,那么正实数a的最小值是解析：选B x+ yy =1+a+y

21、+齐1+a+2 a,当1+a+2 a?9 时不等式恒成立,故 一a+ 1> 3 , a > 4.且z= 2x + 4y的最小值为6,那么常数k等于x y+ 5 > 0,9.x,y, k满足彳xw 3,以+ y+ k > 0,C. 3 10解析：选D 如下图,当直线 z= 2x + 4y经过两直线x= 3和x + y+ k= 0的交点时,z有最小值一 6,所以一 6 = 2x 3 + 4y, y= 3,将 x = 3, y= 3 代入 x+ y+ k = 0,得 k= 0(经检验满足题意.y/3 x 卜x+ y+ 2表示的平面区域的面积为2,那么击x + yw 2,10.

22、(2021洛阳统考)不等式组>0,4D. 4cy> m 的最小值为()A.2解析：选B 画出不等式组所表示的平面区域,由区域面积为点(-1,-1)连线的斜率出的最小值为 罟十13'2,可得吩0.而吿二1 + Xj!,汨表示可行域内任意一点与的最小值是4.(1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4),11. “整数对按如下规律排成一列：(1,1), (2,3), (3,2), (4,1),那么第 60 个“整数对是(B. (5,7)D. (10,1)A. (7,5)C. (2,10)解析：选B 依题意,把“整数对的和相同的分为一组, 不难得

23、知第n组中每个“整数对的和均为n+ 1,且第n组共有n个“整数对,这样的前n组一共有旦号1个“整数对,注意到 E 2°+ 1 v 60 v “ 2"+ 1,因此第60个“整数对处于第11组(每个“整数对的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7),因此第60个“整数对是(5,7).12. (2021南昌调研)等比数列an的前n项和为Sn,那么以下说法中一定成立的是( )A .假设 a3>0,贝Ua2 015<0B .假设a4>0,那么a2 014

24、<0C .假设 a3>0,贝US2 015>0D .假设a4>0 ,贝US2 014>0解析：选C 等比数列a*的公比qz0.对于A,假设a3>0 ,那么a1q2>0,所以a1>0,所以 a2 015= a1q2 014>0,所以 A 不正确；对于 B,假设 a4>0,贝U a1q3>0,所以 a1q>0,所以 a2 014 = a1q2 013>0,所以B不正确；对于C假设a3>°'那么a1 =診0,所以当q= 1时,S2 015>0,当qZ 1 _2 015时,S2 015= a1

25、11qq一>0(1 - q与1-q2 015同号),所以C正确,同理可知 D错误.(二)填空题(本大题共4小题,每题5分)13. (2021南通一模)在平面上,假设两个正三角形的边长的比为1 : 2,那么它们的面积比为1 : 4.类似地,在空间中,假设两个正四面体的棱长的比为1 : 2,那么它们的体积比为解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内,假设两个正四面体的棱长的比为1 : 2,那么它们的底面积之比为1 : 4,对应高之比为1 : 2,所以体积比为 1 : 8.答案：1 : 814. (2021 邵阳一模)设 OA = (1,- 2), OB = (a, - 1),

26、OC = (- b,0)(a>0, b>0, O为坐标原点),假设A, B, C三点共线,贝U 1+壬的最小值是 .a b解析：易知AB = (a- 1,1), AC = (- b- 1,2)由于A, B, C三点共线,所以2(a- 1)-(b- 1) = 0,即卩 2a+ b= 1.又 a>0, b>0,所以 1 + 2 = 1+2(2a+ b)= 4+ b+4+ 4 =a b 0 b .八a b8,当且仅当a=严,b= £时,等号成立.42答案：8215.某种产品的总本钱 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y= 3 000 + 20x- 0.1x

27、 ,x (0,240),假设每台产品的售价为25万元,那么生产者不亏本时的最低产量是 台.解析：由题意知 3 000 + 20x- 0.1x2-25x< 0,即 0.1x2+ 5x-3 000 > 0,-(x 150)(x + 200)?0.又 x (0,240) , 150 < x V 240,即生产者不亏本时的最低产量为150 台.答案：15016. (2021杭州二检)假设不等式(一2)na-3n-1-(- 2)n<0对任意正整数n恒成立,贝U实数 a的取值范围是.解析：原不等式可转化为3(a- 1)(- 2)n<3n.由于n N*,所以当n为奇数时,不等式可 转化为3(1 - a)< 3 n,所以有3(1 - a)v；,解得a>*;当n为偶数时,不等式可转化为3(a-1)< 3 n,所以 3(a- 1)<9,得 a<4.综上可知avf.答案:4n .大题标准练限时20分钟6S2= 8(n N).17