大学物理机械振动

1、 第四章机械振动教学时数： 7学时一、 教学要求：（重点、 难点）1、掌握描述机械振动和简谐波的各物理量（特别是位相）及各量间的关系。2、理解旋转矢量法。3、掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。4、理解同方向、同频率的两个简谐运动的合成规律。理解简谐波的产生条件。掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。5、了解惠根斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用位相差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。6、

2、理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。7、了解机械波的多普勒效应及其产生的原因。在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿两者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。8、了解电磁波的性质。三、教学参考书1、WAVES . F.S Crawford, Berkeley Physics Course, Vol3.2 、 University Physics, Part 2.3 、 杨仲耆大学物理学 波动与光学4、 张三慧大学物理 波动与光学机 械 振 动 前言：物体在一定物置附近作来回往复的运动称为机械振动。常见的机械振动往往是周期性的，即每隔一个固定时间T ，物体的运动状态（）就完全重

3、复一次。T 称为周期。在单位时间内，运动状态完全重复的次数称为频率。当然振动也可能是非周期性的，即T 不等或各次的振幅有变化。质点作机械振动时，来回往复的轨道，可以是直线（谐振子），可以是平面曲线（单摆），甚至是在空间内的曲线。从数学上可证明，这些平面或空间的振动都可以认为是由若干个简单的直线振动叠加而成的。就象平面曲线运动是由若干个简单的直线运动叠加而成的一样。我们把最简单的周期性直线振动称为简谐振动。这就是谐振动的特点：（1）具有周期性；（2）轨迹为直线。本章只讨论谐振动。可以证明任何复杂的振动都可以认为是由几个或很多个谐振动合成的。我们在做示波器实验时已经体会到这一点。从这个意义上我们可

4、以说简谐振动是振动学最基本的内容。本章讨论八个问题： 一、谐振动的定义 为了帮助大家更好地掌握和判别谐振动，现从两个不同的角度来定义它。首先从物体的受力角度来表述其定义，看看作谐振动的物体所受的合外力有什么特点。1、谐振动的动力学定义：物体在线性回复力作用下的运动称为谐振动。线性回复力的公式 （1）从（1）式中可以体会到三点物理内容：（1）与的一次方成正比，即为“线性”二字的含义。（2）当时，。即运动物体存在一个平衡位置（做题时常将坐标原点选在平衡位置），在这个平衡位置上，物体不受力或受合力为0。（3）式中负号表明：永远与位移方向相反，即力总是指向平衡位置。这就是回复二字的含义。下面以弹簧振子

5、为例来探讨一下在线性回复力作用下的物体运动情况，并找出形成机械振动的成因：O 物体在线性回复力作用下运动到平衡位置（处）。这时物体所受合力为0，但由于物体本身的惯性，又会重新偏离平衡位置，从而使振动继续下去。因此：机械振动的成因体所受合力为0，但由于物体本身的惯性，又会重新偏离平衡位置，从而使振动继续下去。因此机械振动的成因是物体所受的回复力和物体所具有的惯性。给出了谐振动的动力学定义就等于给出了判断一个直线振动是否为谐振动的判据。谐振动的动力学判据：当物体所受的合外力与位移反向而成正比时，物体的运动为谐振动。例1、质量为的小球，在半径为R 的光滑半球形碗底附近的运动是否为谐振动？X坐标原点选

6、在小球的平衡位置。当偏离平衡点时，合外力大小。因为较小时，小球运动的弧线轨迹近似等于小球的水平 ）0水平位移，即：引入位移概念后，考虑到的方向： ,负号意为与反向。）因为小球始终受一个线形回复力作用，小球的运动是谐振动。若将此题中的R 以摆长代替，就得到单摆小角度摆动的情况，当摆角较小时，单摆的运动也可视为谐振动。例2、小球在地面上作完全弹性的上下跳动是否是谐振动？分析：小球在上、下跳动的过程中，小球的运动符合谐振动的特征（1、运动的轨迹是直线；2、具有周期性），小球离开地面时受重力作用，合外力不为0，平衡位置只可能发生在小球与地面碰撞时，建立坐标如图： 解：小球在与地面碰撞过程中，受到两个作

7、用力：小球的重力和地面对小球的冲力：，现用动量定理来检验合外力是否为0。假设碰撞前速度为，碰后速度为，由动量定理。即碰撞过程中小球所受合力，在碰撞以外，小球始终受重力。所以小球在运动过程中不存在一个受力为0的平衡位置。所以，它的运动不是谐振动。过程中小球所受合外力，在碰撞以外，小球始终受重力。所以小球在运动过程中所受的合外力不满足线性回复力的条件（不存在一个受力为0的平衡位置），所以，它的运动不是谐振动。（1）式中F为合外力，根据牛二，（1）式可写成： 令； 即 称为圆频率，它是系统在秒内完成的全振动次数。它与周期T和频率是属于同一性质的物理量，都是用来描述振动快慢的物理量，因而它们之间必定存

8、在一定的关系：=。将代入上式，有： （1）*谐振动的动力学定义也可以用（1）*式微分方程表达。2、谐振动的运动学定义上面是从物体受力情况来定义谐振动的，在线性回复力的作用下物体的位移随时间的变化规律是什么呢？现从运动学的角度出发，如何判断一个直线振动是否为谐振动。运动学的主要任务是解决物体何时在何处、处何状态的问题。这一点是由质点的运动方程来体现的。解微分方程（1）得： （2）（2）式中的A，是常数，它们与振动系统的初始条件有关（后面有证明）。（2）式是的函数关系式。很显然，它是一运动方程。从运动学角度来看，它解决了谐振动物体何时在何处处在何状态的问题。将（2）式两边同时对求导有： （3） （

9、4）（2）式解决了物体何时在何处，处在何状态（）的问题。由此得到谐振动的运动学定义：作直线振动的质点的坐标X 随时刻而变化的规律，遵从余弦函数（或正弦函数）时，这一直线振动称为谐振动。 总结：需要强调的是，对所研究的简谐振动来说，动力学定义和运动学定义是等效的。有两个理由：从数学角度来说，前者是方程，后者是解。从物理意义上说，前者是因（正因为受线性回复力作用），后者是果（物体才作正弦或余弦函数运动）。二、描述谐振动的三个重要物理量1、振幅运动学含义：振动物体偏离平衡位置的最大位移。即：动力学含义：回复力做功，使谐振子有能量。振幅A 标志了系统总能量的大小。（）2、周期T 、频率、圆频率它们都表

10、示振动的快慢，三者的关系是：。现在只讨论T。运动学含义：完成一次全振动所需要的时间。动力学含义：反映了振动系统的力学性质。（从弹簧振子、单摆等的周期来看，其中反映了振动系统的力学性质。有时称为系统的固有周期和固有频率。因而，是由振动系统本身的力学性质决定的。例3、证明图示系统谐振动的圆频率均为。（1）将向右偏离平衡位置0 处位置，此时，受力。（负号意为与反向），即： ，有：(2)将向右偏离平衡位置0 处位置，此时：。同理有：（2）（1）例4、如图两个质量均为，摆长均为的单摆由图示位置同时由静止放手后，它们在何处相碰？解：因为的周期相同，故经1/4周期后，两摆在平衡处相碰。03、周相（）周相包括

11、括号内全部内容。它是反映质点振动状态的物理量。由（2）、（3）、（4）式知三个状态参量都与周相发生关联。物体在一周期内经历的各状态没有一个相同，这就如同：把人走路的姿势用摄影机拍下，在一周期内（即左、右两步）没有一个姿势是一样的。当振幅为已知时，任一时刻的周相可以完全决定该时刻质点的振动状态（）。整个谐振动在一周期内的运动状态，完全可用周相在0之间的变化反映出来。当时，周相为。也称为初相。即反映时系统振动状态的物理量。求振动系统的初相是本章重点之一。将代入 中，有 根据式，就可求得初相。例3：一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X轴正方向运动时，从1/2最大位移处到最大位移处这段路程所需

12、的时间为多少？ 解：表面看这一题是求时间，但与求初相有着密切联系。以 处为计时零点，有：，得（其中）。由，取。质点的振动方程为：。设从计时处（）到A所用的时间为，解得： 。从数学上看，用时间来描述振动过程与用位相来描述运动过程只是参量的变换而已。振动的特征是运动的周期性。对一个周期性运动，我们感兴趣的是一个周期内的振动状态的变化（即：的变化）。我们只需分析任一周期内的振动状态的变化，就能描述全部振动过程。显然，用一个周期内的不同时刻（对应于周相的变化）来描述周期性运动比用连续的时间要方便。比如人们日常生活通常是按24小时内不同时刻来描述的。例：我们早晨7：50上课，12时午饭，下午2：30上课

13、，5：30下课。这样已经描述了学生的学习生活状况，完全没有必要说：“自地球形成之日开始计算，经过若干若干秒后干什么”。这种连续计时的描述反而变得不合理了。位相是用弧度表示，已经不如时间那样使人习惯。与一周期对应的位相变化是0。三、谐振动中三个状态参量之间的位相关系（2）式两边对时间求导，即得作谐振动的质点的振动速度： （3）为了便于与位移的周相进行比较，根据，将（3）式写成:其中，由此知：速度的周相比位移的周相超前。若（2）式中的取。可得右图由于一个周期内周相变化为2，所以，表明的位相比超前T/4周期。aA的位相比x超前或落后，即比x超前或落后T/2将（3）式对时间求导数，得振动质点的加速度：

14、 （4）为了便于与位移的周相进行比较，将（4）式写成:，由此知：加速度的周相比位移的周相超前或落后。见上图。思考题：在什么情况下，谐振动的速度、加速度是同号的？在什么情况下异号？加速度为正值时，振动质点一定是加快运动吗？加速度为负值时，振动质点一定是减慢运动吗？解答：物体作谐振动时，加速度的方向恒指向平衡位置（因为物受回复力作用），所以，当物体从位移最大处向平衡位置运动时，速度和加速度是同号的，由平衡位置向位移最大位置运动时，速度、加速度是异号的。加速度是反映物体运动速度变化的物理量，速度与加速度的正负号是相对所选定的坐标而言的。所以单纯从速度、加速度的正负是不能反映物体是加速还是减速，只有当

15、加速度和速度同号时（即方向相同），才对物体加速，当加速度和速度异号时（即方向相反），物体减速。即：物体由平衡位置向最大位移处运动时，物作减速运动，物体由最大位移处向平衡位置运动时，物作加速运动。5507、图中三条曲线分别表示谐振动的位移、速度和加速度，试指出曲线1、2、3分别表示什么曲线？2t由三者的位相关系知：曲线1、2、3分别表示。四、振幅和初相的确定由谐振动运动学方程知，为函数和变量，是表征振动系统的力学性质的物理量，剩下的只是两个量。如何求得呢？由，当时，代入左式，有： 联立两式得： （5）及 （6）由此知：可由振动系统的初始条件来决定。对上述四个问题的小结：有了振动系统的力学性质以及

16、初始条件就完全可以写出具体的振动方程。根据振动系统的力学性质及初始条件，写出具体的振动方程也是本章的重点。例4、一弹性系数为的轻弹簧，上端固定在顶板上，下端悬挂质量为两个物体，见图，如开始时处于静止状态，现把连接两物体的连线剪断，求：（1）的最大速度和最大加速度：（2）与弹簧组成的振动系统的振动方程。解：剪断后，组成振动系统，所以。决定振动系统的初始条件，显然，把以选在剪断连线的瞬间。取所受合外力为零的位置为坐标原点，建立坐标系：0（1）当时，。于是有： ，。（2）。五、谐振动的矢量图示法在振动方程中，除变量外，另三个物理量的具体含义可借助于旋转矢量来作进一步理解。A、也是描述谐振动的三个特征

17、量。0假设长度为A 的旋转矢量在平面内绕0点以匀角速度逆时针旋转（角速度与圆频率等值）其中，是时旋转矢量的位置。它与X 轴的夹角为（与初相等值）。在任意时是时旋转矢量的位置。它与X 轴的夹角为（与初相等值）。在任意刻与轴之间夹角与谐振动在该时刻的周相相等。的端点M 在轴上的投影点P 点的位移是一个周期性函数：，由运动学定义知，P 点的运动是谐振动。它可以代表某一个振幅为A 、初相为、圆频率为的谐振动。旋转一周所用的时间即是谐振动的周期；一秒钟转过的圈数即是谐振动的频率。上节课的重点放在：（1）判断直线振动是否为谐振动（2）求振动系统的初相（3）已知系统的力学性质和初始条件，求具体的振动方程。

18、六、谐振动的能量谐振子是作一维的直线平动，所以其振动平动动能可写为： （7）随时间作周期性变化，在一个周期内，当周相为时，（平衡位置处）； 当周相为时，（最大位移处）。振子是在线性回复力作用下作谐振动的，其振动势能： （8）也随时间作周期性变化，当周相为时，（最大位移处）； 当周相为时，（平衡位置处）。我们注意到：在平衡位置处，而在最大位移处 ，。振子的总机械能 （9）由此知：尽管作谐振动的物体的动能与势能分别随时间作周期性变化，但振子的总能量却保持恒定，不随时间变化。谐振子在运动过程中，动能和势能相互转化而保持总能量不变。符合机械能守恒与转换定律。这也是因为系统（弹簧和振子）只受保守内力（线

19、性回复力）作用的结果。物体在任一位置时，有： ，将该式对时间求导数，得：，即振子所受合外力。考虑到是弹簧作用于振子的保守内力，而弹簧和振子组成的系统所受的外力（重力、弹力）不作功，又不存在非保守内力，所以，机械能守恒。上面的结果表明：从谐振动机械能守恒性质又可以归结到谐振动的微分方程，这说明两者是一致的。实际上这是针对同一客观现象能量关系转化成运动学关系。这和把物体自由下落的能量关系转换成运动学关系是类似的情况。对于作谐振动的一定振动系统，振动的总能量与振幅的平方成正比：，这个规律具有普遍意义，对其他形式的振动及波动，也是适用的。3028、一弹簧振子作简谐振动，总能量为，如果谐振动振幅增为原来

20、的四倍，则它的总能量变为（16）。七、振动的合成一个质点同时参与几个振动的情况，由运动叠加原理，质点最终的运动实际上是几个振动的合成。下面讨论两种简单情况：1、同方向、同频率的简谐振动的合成设一质点在一直线上同时进行两个独立的同频率的简谐振动。以该直线为X 轴，质点的平衡位置为原点，两个谐振动的方程可分别写为：。意味同方向，无下标意为同频率，下标1、2意为两个独立的振动。由运动的合成知，合位移仍在同一直线上，且为上述两位移的代数和。即： （10）由谐振动定义知，合振动如为谐振动，须满足：（1）轨迹为直线；（2）具有周期性（不变或A 为常数）。由运动的合成知，合位移仍在x轴上，即轨迹为直线，现利

21、用旋转矢量法讨论合振动是否具有周期性。并将（10）式写成的标准形式。根据谐振动的矢量图示法，两谐振动可以表示成如图所示的两旋转矢量，由于两旋转矢量的角速度相等，可得出振幅A为一常量且具有与相同的角速度。故断定合成振动也为谐振动。X应用三角学恒等式关系： （11） （12）其中是与方向的夹角。有两个特例：（1）当 ） 此时 合振幅最大； （2）当 ） 合振幅最小。可见，二振动的周相差对合振动起着重要的作用。2、同方向、不同频率的简谐振动的合成设两个谐振动的圆频率分别为，即在谐振动图示法里，转动的角速度不同，因而周相差将随时间变化。合振幅 的大小及合振动的圆频率都随时间改变。这时的合振动虽然与原来振动方向相同，但不再是简谐振动。也有两种特例：（1） 当方向相同时，两振动的周相相同，合振动的振幅最大。，(1) (（1（1）(2)见图（1）。 （2）当方向相背时，两振动的周相相反，合振动的振幅最小。，见图（2）。若表明单位时间内比多振动次。即比多转周。多转一周，出现两个矢量恰在相同方向和相反方向各一次，故在单位时间内，两个矢量恰在相同方向和相反方向的次数为次，这样合振动将加强和减弱各次，这样的两个同方向简谐振动在合成时，由于周期的微小差别而造成的合振幅时而加强、时而减弱的现象称