03对称问题重点

1、7.6对称问题1#一、明确复习目标1.掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法2掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法二. 建构知识网络1点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。2点关于直线的对称点即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立 方程组，就可求出对称点的坐标，方法：设点(xo,yo)关于直线Ax+By+c=O的对称点(x ,y '则"-曲Ax - X。I Bax'bY 理 *0L

2、223曲线关于点(中心)，直线(轴)的对称问题的一般思想是用代入转移法。(1) 曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0(2) 曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点 P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P°(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上, 由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0,代入f(X0,y°)=0，即得对称曲线方程。4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b),关于y轴的对称点为(-a,b),关于原点的对称点(-a,-b) 关于直线y=x的

3、对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称 点为(b-m,a+m),关于直线 y=-x+m的对称点(m-b,m-a).三、双基题目练练手1. (2004全国II)已知圆C与圆(X 1)2+ y2= 1关于直线y = x对称，则圆C的方程为 ()A.(x+ 1)2 + y2= 1B.x2+ y2= 1Cx2 + (y+ 1)2= 1D.x2+ (y 1)2= 12方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线()A.关于x轴对称但不关于y轴对称 C关于原点对称D.以上都不对3. (2004全国II)函数y= ex的图象A.与y= ex的图象关于y轴对称

4、 C与y= e %的图象关于y轴对称4. 曲线x2+ 4y2= 4关于点M (3,B.关于y轴对称但不关于x轴对称()B与y= ex的图象关于坐标原点对称D与y= e %的图象关于坐标原点对称5)对称的曲线方程为 .#光线从点A (-3, 4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B (-2, 6),2求射入y轴后的反射线的方程。6.直线2x 3y6 =0交x、y轴于A、B两点，试在直线 y = _x上求一点 P,使RA + RB最小，贝U P点的坐标是简答:1-3.CCD; 4. (x 6) 2+4 (y 10) 2=4;5解：常A (-3 , 4)关于x轴的对称点 A, (-3 ,

5、 -4 )在经x轴反射的光线上；A (-3 ,-4 )关于y轴的对称点 A (3, -4 )在经过射入y轴的反射的光线上， kA2B = -2-2-3所求直线方程为y -6工(x 2)，即2x y 一 2 = 05. (0,0)四、经典例题做一做【例1】求直线a： 2x+y 4=0关于直线1: 3x+4y 仁0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线I对称，它们具有下列几何性质：(1)若a、b相交，则I是a、b交角的平分线；(2)若点A在直线a上，那么A关于直线I的 对称点B 一定在直线b上，这时AB丄I，并且AB的中点D在I上；(3)a以I为轴旋转180° ,

6、 一定与b重合使用这些性质，可以找出直线b的方程解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程解:由J 2x+y 4=0，解得a与I的交点E (3, 2), E点也在b上.3x+4y仁0,方法一：设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为一2,直线I的斜率为一-43 3-(-2)k -)则一4=3 3 1 () ( -2)1 k()4 42解得k=代入点斜式得直线 b的方程为112y ( 2) = (x 3),11即 2x+11y+16=0.方法二：在直线 a： 2x+y 4=0上找一点A (2, 0),设点A关

7、于直线I的对称点B的 坐标为(x0, y°),厂 3X +4X ° + y0 1=0,2 2由Yy。-0 = 4J X。-23解得 B ( 4 , - 8 ).5 5由两点式得直线b的方程为y _() =_3，即 2x+iiy+i6=0.84-2-()3 55方法三：设直线b上的动点P(x,y)关于1: 3x+4y仁0的对称点Q(xo,yo),则有广x +x0y +y0* 小3 x0 +4 x _ 1=0,2 2y - y° = 4、Xx°3解得 X0=7x-24y 6 , y0=»7y 8.2525Q (X0, y°)在直线 a：

8、2x+y 4=0 上， 贝y 2x 7x _24y6+ _24x_7y 8 4=。，2525化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线 b上的动点P (x, y),直线a上的点Q (x0, 4 2x0)，且P、Q两 点关于直线I : 3x+4y仁0对称，则有厂|3x +4y -1 |_ |3x° +4(4 2X0)-1 |= ,55wy (4 2X0)_4I X-x°3消去 X0,得 2x+11y+16=0 或 2x+y 4=0 (舍).提炼方法：1方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件:斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程

9、；2方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法 时，要注意区分动点坐标及参数 .【例 2】.已知 ABC中点 A(3,-1),AB 边上的中线为 ：6x+10y-59=0,/ B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程解：设B(a,b),在/ B的平分线上,则a-4b+10=0又AB的中点M(3 a，- 1)在CM上,有：2 2610 口 -59 =02 2解，得B(0,5).设/ B平分线交AC于点T.kAB1 6 , 1kBC - 由 474 _ kBC16111 kBC4 74 BC的方程为 2x+9y-65=0.法2:(1)求B的坐标；(2

10、)求A关于/ B的平分线对称的点 A',写出A'的方程即为所求(BC).【例3】已知点M(3,5),在直线：x-2y 2 =0和y轴上各找一点P和Q,使：MPQ的周长最小。解：可求得点 M关于丨的对称点为Mr ( 5, 1),点M关于y轴的对称点为 M 2 (-3 , 5),贝VMPQ 的周长就是 MzQ+QP+pMj，连 M2Mj ,则直线M2M1与y轴及直线x-2y，2 = 0的交点P、Q即为所求。直线M1 M2的方程为x 2y - 7 = 0，直线M 1 M 2与y轴的交点坐标为Q (0, 7)，由方程组X-2y+2 = 0、x + 2y -7 = 05 9得交点P(-,

11、9),2 4点 P(5,9)、2 4Q (0,7)即为所求。26#又 tan 0CP11 - xCP2 = CP, =x,特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。【例4】已知长方形的四个顶点 A (0, 0)、B (2, 0)、C (2, 1)和D (0, 1), 一 质点从AB的中点P0沿与AB夹角为0的方向射到BC上的点P1后，依次反射到 CD、DA 和AB上的点P2、P3和P4 (入射角等于反射角)设P4的坐标为(X4, 0) 若1<%<2，求tan 0的取值范围解：设 P1B=x,Z P1P°B=0，贝U CP1=1 x,/ P1P2C、/ P3P2D

12、、/ AP4P3 均为 0 , tan 0 =xP0B# CP2=1 -x 11.tan匸空=P2DDP312-( 1)x=DP3=13-x71DP3=x (3 ) =3x 1.x又 tan 0AP31_(3x_1)2 _3x=xARAP4AP48#AP4=2 -3xx一 3.2依题设 1<AP4<2，即 1<- 3<2,x.4<-<5,x.12>tan 0 > .25【研讨.欣赏】已知抛物线y=a/ 1上存在关于直线x+y=O成轴对称的两点,a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线 I对称的两相异点为 P( X1, yj、Q( X2, y2)的

13、中点为M( x0,y0)，设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在，所以方程组丿试求实数，线段PQy =x b,2.y = ax 1有两组不同的实数解，即得方程ax2 x ( 1+b) =0.判别式 =1+4 a (1 + b)> 0.由得 X0= X1 X2 = 1 , y°=x0+b= 1 +b.2 2a2a/ M l , 0=x0+y0= + b2a 2a '即b= 1，代入解得a> 3.a4解法二：设同解法一，由题意得” 2 dy1 =ax! -1,y2 ax2 一1,g=1,N -X2.2 2将代入，并注意到A片 +X2 =_, a2 + 2N

14、+X2X1 X2 M 0,得由二兀均值不等式易得2 2 22 ( X1 +X2 ) >( X1+X2)( X1* X2)将代入上式得92 (-丄+2)>(丄)2,解得 a> 2 .a aa4解法三：同解法二，由一，得 yi y2=a (xi+X2)( xi X2).y - y2T Xi 0, a (x<|+X2) =- =1.x -x2为+x21、厂二 Xo=-=. M (xo, yo) l,2 2a1 11 二yo+xo=0，即y0= x0=，从而PQ的中点M的坐标为(一,一).2a2a 2a/ M在抛物线内部，1 2 1 a ( ) 2(丄)1v 0.2a2a3解得

15、a> -.(舍去a v 0,为什么?)4五. 提炼总结以为师1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化 的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理2. 解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3. 求对称曲线的常用思想方法：代入转移法4. 许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、 线段中垂线、光线反射等同步练习7.6对称问题【选择题】1. 已知直线11： x+my+5=0和直线b:x+ ny+P=0,则I1、S关于y轴对称的充要条件是()5p11A、B、p=-5 C、m=-n 且 p= -5D、且 p=-5mnm

16、 n2. 已知点M (a, b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为()A (a, b)B (b, a) C ( a, b) D ( b, a)3. 方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆()A关于x轴对称B、关于y轴对称C关于直线x-y=0对称D、关于直线x+y=0对称10#【填空题】4.直线2x - y 3 = 0关于定点M(-1,2)1对称的直线方程是 #115. 直线2x y 4=0上有一点P,它与两定点 A (4, 1 )、B ( 3, 4)的距离之差最大,则P点的坐标是.6. 如果直线 axy+3=(与直线3xy b关于直

17、线x y+仁对称，则a=, b=答案提示：1 3.CBD； 4. 2x y 5 =0 ;5. 解：易知A ( 4, 1 )、B ( 3, 4)在直线1: 2x y 4=0的两侧 作A关于直线I的 对称点Ai(0，1)，当Ai、B、P共线时距离之差最大答案：(5, 6)6答案：1/3, 5说明：掌握k=± 1时，求对称点的方法【解答题】7条光线经过 P(2,3)点，射在直线I : x+y+仁0上，反射后穿过点 Q(1,1)(1) 求入射光线所在的直线方程(2) 求这条光线从P到Q的长度。解：(1)设 Q(1,1)关于：x+y+1=0 的对称点 Q1(x,y)，易证 Qj-2,-2),y

18、 + 2 x + 2入射光线所在直线方程 PQ1 :，即5x-4y+2=03+22+2(2)l是QQ1的垂直平分线，因而PQ1=J4i即为所求8. 已知 ABC的一个顶点A ( 1, 4),Z B、/ C的平分线所在直线的方程分别为l1： y+仁0, l2： x+y+仁0,求边BC所在直线的方程.解：设点A ( 1, 4)关于直线y+仁0的对称点为 A'( X1, y1),则X1= 1, y1=2X( 1) ( 4) =2，即 A' ( 1, 2).在直线BC上，再设点 A ( 1, 4)关于I?: x+y+仁0的对称点为 A( x?, y?),则 有/y2 +4x( 1) =

19、 1,x2 +1X2 1 y2 4c+ +1=0. j 22fx2=3,解得Yy2=0 ,即A( 3, 0)也在直线 BC上，由直线方程的两点式得 乂三=乞，即x+2y 3=0 0-23+1为边BC所在直线的方程.9. 已知两点 A (2, 3)、B ( 4, 1)，直线I: x+2y 2=0 ,在直线I上求一点P.(1) 使 |PA|+|PB|最小；(2) 使 |PA| |PB|最大.解：(1)可判断A、B在直线I的同侧，设A点关于I的对称点A1的坐标为(X1, yj .X1 -2则有Vy1 -3X _ 2+2 (756由两点式求得直线 AiB的方程为y= ( x 4)+1，直线AiB与|的交点可求得为 (,112525由平面几何知识可知|PA|+|PB| 最小.13(2)由两点式求得直线 AB的方程为y仁一(x 4) ，即卩x+y 5=0. 直线AB与I的交点可求得为 P (8, 3),它使| PA| |PB|最大.10若抛物线y=2x2上的两点A (x1, y1)、B( x2, y2)关于直线y=x+m对称且x1x2= 1 ,2求m的值解：设直线AB的方程为y= x+b,代入y=2x2得2x2+x b=0,