(广东学案)千题百炼——广东高二数学100个热点问题(二)重点

1、第七章第55炼 数列中的不等关系数列第55炼 数列中的不等关系一、基础知识：1在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 n N ”，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相 同，但定义域为 0,的函数，得到函数的单调性后再结合nN ”得到数列的单调性（2 ）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与 0比

2、较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1 比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的anbn 1是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知 识来进行处理。比如： 含n的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n项和Sn也可看做数列 £ ?： ME，|,S n等等。4、对于某数列的前n项和&： S,S2,|",Sn，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。 在相邻项比较的过程中可发现：an = & -，所以Sn 的增减由所加

3、项an的符号确定。进而把问题转化成为判断an的符号问题二、典型例题例1 :已知数列an a1，前n项和Sn满足nSn 1 - n 3 S = 0（1 ）求an 的通项公式fX（2 ）设q =2n丄-人，若数列qj是单调递减数列，求实数 九的取值范围2n丿解:（ 1）nSn , - n 3 Sn =0=葺二口Sn n本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列SnSn JSn/Sn 二S 门-1 n1n 2 n 1 n

4、32-2 时，an = Sn - Snan(2)=1时，ai =1符合上式思路：由（1）可得：cnnn1 n 2 n-1nn1 nn1所以代入只需4解：Cn = 2nt cn 是递减数列即 2n+1=2n 5+1九I,由已知cn为单调递减数列可得C通项公式得到关于构造函数或者数列求出一 n N ，cn1 ： CnCn 1 "： Cn只需：n 2 n 1 max“4构造函数：设f x ：x +24n,'的不等式-n +2=2n 5 +12xJ"2，即n 1最大值即可本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等

5、关系数列4 2x22 2x 2 x 12 24 22 x 2-4 x1+ 2 =x 2 x 1所以f x在1八2单调递增，在单调递减1 1 *f 1 ，f 2 =3 n N 时，f n ma f 1 = f 2 =-即三一耳max 3构造数列：设数列1tn 的通项公式tn =4242<42tntnkn n 24-2 nn n 1 n 24nn 1 -6nn 22 n1 nn(n +1 X n +2 ) n 2 时，匕 7：0,即 J : t.1所以/的最大项为t2二t =31>-3本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不

6、等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列例2 :已知等差数列咕鳥中，a3=9,a5=17记数列丄的前n项和为Sn，若IAJ本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列则整数m的最小值是（S2nSn m Z，对任意的n N恒成立，10本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关

7、系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列A. 5B. 4C. 3D. 2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列an的通项公思路：若S2n 1卡乞10恒成立，5n 1 - Sn max乞，要找&，则需先确定1a a1式得到 ：d 5 - =4，所以 an = a3 n -4 d = 4n- 3,发现一二 an5 3an直接求和，Sn 1 - &很难变为简单的表达式，所以考虑将 ln V - S/?视为一个数列，通过相邻项比较寻找其

8、单调性：S2n3 一 5 1 一Szn1 一Sn二务 3 一S?*，1-SnV -Sn111111-104n-870，进而+a2n -3a2n 2an8n 98n 54n - 3 8n 9 8n5 4n一 3S2n 1-和单调递减，S2n 1-Sn max = S3 一 3 = a3a2 14， 所以45m 142.81 04祥-，从而9心4答案：B例3:已知数列满足a日2川 4 =円2 " N”，若laj为等比数列，且印=2,鸟=6 b2(1)求 an, bn(2)设 cn1 1 n N ，记数列：cn的前n项和为Si anbn求Sn求正整数k ,使得对于-n N "，均

9、有Sk _ Sn解：（1）b3b36 b2- 2 2冃a?% =aa2一22 a3q -二 4= q = 2 或 q -2 (舍)nian 二 aq2bn2 二 ai a?川 a.bnn n 1.22 =2飞二 bn = n n 11 1 “ "n1r 1 1】 1anbn12 丿n (n +1 )二 112丿Inn +1(2 Cn =丄+鮎+川+训_"2 12 丿1丄1丄川1223本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章

10、第55炼 数列中的不等关系数列一n+1n+1 本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列 思路：实质是求 Sn取到最大值的项，考虑分析 Sn的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于Sn而言，fSn?的增减受Cn符号的影响，所以将问题转化为判断cn的符号。Cn 21 可估计出当n取得值较大时,n n 1Cn会由正项本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转

11、载第七章第55炼 数列中的不等关系数列变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可解:1 n 12n n 1'n(n +1)2n本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列当n _ 4时，可验证 n一 1 _0 ,从而可得 c _ 0-22设dn 当 n _5时，dn: dn = 递减5 6dn “551 <02n 亠5 时，Cn0-Sn max - S4-k =4 时，均有 S4 - Sn例4：已知数列:

12、an 的前n项和为Sn,a1且2n Sn1 -2 nSn二n n 1，数列 帚满足：bn 2 -2bn 1 bn =0 , b3 -5，其前 9项和为 63（2 ）令c bn an，记的前n项和为Tn，对一 nN“，均有-2a,b l,求b-aanbn的最小值解：（1）2nSn 1 -2 n1Sn= nn 1 L 一 宝二1 n +1 n 2S 11n为公差是丄的等差数列.n2色=包 1 n-1 二口n 122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列n f n +1 n( n +1 f n 1 nSnn 亠2 时，an=&

13、amp;'Snn2 2 2*a1 =1符合上式.an二nbn 2-'2bni bn= 0=bn2b=2bn1-bn / 为等差数列设 'bn f 前 n 项和为 RFg = 90 = 63 . b5 = 7 , b = 5d=U3=15-3bn = n 2(2)思路：依题意可得：g二鸟色anbn二亠=2 2n n 2n n 2，可求出Tn =2n 3 -2 -n 1 n 2，从而Tn - 2n3_2 -(n+1 n + 2 丿，若b a最小，贝U a,b应最接近人-2n的最大最小值(或是临界值)，所以问题转化成为求3-21范围，可分析其单调性。f (n ) =32(n+

14、1 n +2 /单调递增。所以最小值为而当上时,f n一 3，所以f n无限接近3，故Tn2n的取值范围为；4 3中 討中的离散点，从而求出b - a的最小值11本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列11本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列解:=1 2 n 2 一2 =2 2 j1 _ 二n n +2Tn=2n 2 i1 -1 丄丄132411本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等

15、关系数列11本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列=2n 3 _2 -ln+1 n +2 丿« I*Tn-2n=3-2+In+1 n +2 丿i 1设 f n =32 百 n 2 '可知f n递增11本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列当nr 时,_3,3二 l4,3 匕 Ia,bl：3丿若b -a最小，则a =4,b =335b_a min = 3本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七

16、章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列2例5 （ 2014 ,黄州区校级模拟）数列 an的前n项和S，数列bn满足43bn - bn j = n n _ 2 n N（1）求数列 & / 的通项公式1（2）求证：当0 时，数列ibn -an?为等比数列4（3） 在（2 ）的条件下，设数列bn 的前n项和为Tn ,若数列 汀中只有T3最小，求d的取值范围解：（1）an =Sn -Sn2 2n2 n -14 一 4本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转

17、载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列1a1 = S1符合上式41 an2n -141（2）bn - an =bn2n -14本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列考虑3bn - bn=n二j 2n-3= 04本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼

18、数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列即3 0一务-叭=0 br匚bz-儿数列0 -a.为等比数列f1 Y1 屮1（3）思路：由（2）可求得通项公式虬=b2n-1 ，但不知其单调I4人3丿4性，但可以先考虑必要条件以缩小b的取值范围。若要T3最小，则最起码要比T2,T4小，从而先求出R满足的必要条件-47 ： b ”： -11 （也许最后结果是其子集），在这个范围内可判 定£n 为递增数列，从而能保证 T3最小由（2）可得：bn 一 1 2 n _1是公比为1的等比数列7431 2 n-1若

19、要T3最小，则必然要T3： T4即 hT4 _ T30b40u u 1丫1 b3 = b-i -14 .3uC1 丫1 丫b4 二 b1 -4/435 门047 ： 04-11d-47.-47 : b:-110，所以：bn为递增数列-b1:b2:b3< 0,bn也IHb40，符合T3最小的条件所以 一47：8 ： 11小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例6 : （ 2014，文登 市二 模）各 项均为 正数的数 列 订鳥，其前n项和为Sn，满足也-纽=1 n N ，且 S5 2 二 a6an a

20、n 1（1）求数列 a匚 的通项公式（2）若n N ”，令bn=a2，设数列1bn 的前n项和为Tn，试比较卫12与4-6的4Tn4n1大小解：（1） _旦=1=. a； 1 pan 1 -2a； =0anan 1-an 1 - an an .1 2an =0an .1 - -an （舍）或 an .1 = 2an.Gn?是公比为2的等比数列aJ2 1 ）5S52=a6=-2=25®，解得：a22 _1.an =印2心=2n（2）思路：由（1）再进行化简通分可得可得bn =4n，进而可求出=3 4n -1，比较大小只需两式作差,3n 14 3n 1 - 7 44n -1 4n -1T

21、n1 12 4n 64Tn 4n -1利用函数或构造数列判断出 3n 1 - 74nJ的符号即可T”=J41I4"-1Tn 1124Tn34n1124n1 83 1 4 n4n 1 _44n _ 144n -1444 134n 6714n -14n -1Tn”2"n .,n4Tn4n-14-14n-14-174 3n 1 _7 424 -1 4n -14n -1x -J设 f x=3x 1 - 7 4xx _1. f' x4x'l n4 3，可得 f' x : 0-f x 为减函数 f x 一 f 1 = -3 ： 0.3n 1 - 7 4n，： 0

22、Tn 112 4n 64Tn 4n T例7：（2014,湖南模拟）已知各项都为正数的数列an1的前n项和为Sn，且对任意的nN”,2f1 1都有2pSn二a： pan （其中p 0，且p为常数），记数列的前"项和为HnLSn丿(1) 求数列 n ? 的通项公式及Hn(2)当p = 2时，将数列 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等 l3nj比数列 的前3项，记bn的前m项和为Tm，若存在m V，使得对任意n N*，总有0 ： H n恒成立，求实数的取值范围解:(1) 2pSn = a. pa.22pSn诃pan j门一2一可得：2 pan - an _ an J pan

23、 _ pan J2 2an _ an J _ Pan - pan J - 0an anan _ an J p = °* an 0- an-'an-'P=0 即 a -an = p fan?为公差是p的等差数列在 2pSn =a； + pan令 n =1 得：2pS =a：十 pa1 解得：印=pan = an _1 p = np & = p 1 2 川 n =1 _ 2 1 _ 21 _ 1 ： Snp n(n +1) p Inn +1/1一丄二丄p n 1 p n 1(2)思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求Tm,Hn的表达式。由已知可得：p

24、=2时，Hn二 ，要解决Tn，首先要解出等比数列 心的通项公式。p = 2时, n +1本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列an =2n ,进而丄 g n为减函数g n max本题在处理恒成立问题时， 两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在 m，也就是说只要有 m满足不等式即可，所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的m ；第二阶段是对任意的 n，不等式均要成立，所以只本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载, 11- 1 J 丄,显然抽去的应为

25、a12 a24 a36 a48a3解:21,b41蔦，得到q，所以要处理的恒成立不等式为:再利用最值逐步消元即可p = 2 时,C11 111 111an =2n，进而 )J a12 a2_ 4a36a481 1 1 1,成公比为一的等比数列，即2a2 a4:和的公比为丄，且2a1 2a1第七章第55炼 数列中的不等关系数列第七章第55炼 数列中的不等关系数列bn一2第七章第55炼 数列中的不等关系数列第七章第55炼 数列中的不等关系数列而由(1),当 p=2 时，H所以恒成立的不等式为:第七章第55炼 数列中的不等关系数列第七章第55炼 数列中的不等关系数列:n - ，所以"十(J

26、第七章第55炼 数列中的不等关系数列第七章第55炼 数列中的不等关系数列可得f m为递增函数1f m min 二 f 1 石所以n1对任意的2n N ”均成立即.，.：-12max第七章第55炼 数列中的不等关系数列第七章第55炼 数列中的不等关系数列小炼有话说:第七章第55炼 数列中的不等关系数列要g n最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。例&已知数列:an /的前n项和S,，数列？bn f满足bn = 2nan本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作

27、者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列(1) 求证：数列:bn 是等差数列，并求数列 :an /的通项公式 a. = :nn _I(2) 设数列cn 满足an (cn -3n ) = (1 j kn (九为非零整数，n N *)，问是否存在整数，使得对任意n三N ”，都有cn d - cnn -1解: (1)Sn 7n -2)(1和2= 2an =an本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系

28、数列.2na2n dan d 1 即 b bnJ1n-1.：bn?是公差为1的等差数列2 令 n =1 得:本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列1” bi = 2a = 1S = 一a-12 =上2bn 二 b|n1 d 二 n(2)思路：由(1)可得:n. n -1 _ancn -3- -1' n =nnn nnn歹(Cn3n)=(1)扎 n =Cn=(1)2壮+3n，所以n-1cn 1 c.等同于

29、 T 2“ 1 3 "务 J-12 ' 3，化简可得：-1 j-2n -1而n的奇偶将决定-1的符号，所以要进行分类讨论 解：由(1)可得：an =丄2nan Cn -3- -12' n牛 Cn - 3- T n 1 ' n = Cn - -1 "J，3“2则Cn ! Cn等价于：_1 n2n13n 1_1 七扌n (1)2n 2九十3 3n * _(_1 $2nh+3n二 2 3n _3 -1n nn 1 n 1. n-J2 = 3 -2 if.1当n为奇数时，恒成立不等式为:所以只需kc ”3)2二 1min当n为偶数时，恒成立不等式为:/ JJ

30、I2.max例9:-|,1已知数列、an '前n项和为&，且a 1 ,an 12n 1an2n(1)求an 的通项公式(2)设bn-',n N 恰有4个元素，则实数的取值范围解: (1)an 1an -an 12nan n 12nanJ| a2an -2aianain 二 an(2)思路：由(1)所得通项公式可利用错位相减法求Sn，进而得到bn二n n 22，要读懂集合M恰有4个元素的含义，根据M描述的特点可知：M集合中的元素应该为从大到小排前 4项的序数，所以只需判断出 Cbn?的单调性，并结合单调性选出较大的前4 项，便可确定的取值。1 fl解：s2 In112丿2

31、Sn(1袋-12丿+ 2312丿两式相减可得:1_n I -21 n 1一丄 2 2a!"122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列二 Sn=2-(n+2f1、2 )F面考虑江的单调性本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关

32、系数列bn _bn 4C 屮GY= nn 2n-1 n1nn 2-2 n-1 n1)|-n22 n 2.n =2 时，n22n 20，即 b2 bin 2 时，n2 2 n 2 ： 0，所以 b2 b3 b4 IH bn壬 315335而 bid =2,4 ,b4,b5 =28232:从大到小排的前4项为：b2 b3 b4 bi35 332，2例10： （2015，天元区校级模拟）已知数列:an 满足an .1 an = 4n 3（1 ）当ai =2时，求数列春的前n项和Sna2 +a2（2）若对任意n N ”，都有 勺 叮_4成立，求a_,的取值范围an *and1解: （ 1） an d

33、- an =4n - 3 a* a*二4 n -1 i亠3-可得：an 1 -anj =4-an /中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4a1 =2= a2 =5当 n =2k 时，a2k =a2k -1 4=4k 1an = 2 n 1当 n 为奇数时，an= 4n3 - an4= 4n3 - |2n T 1 = 2n；2 n +1, n为偶数nj2n,n为奇数所以当n为偶数时q = q111 ana2*4IIIan壬 1 卫nJn22n- 1 卫 5 n2 122224423=n n2n为奇数时,232315 = Sn m an = n -1 亠 I n -1 i 亠 2n =

34、n n -2 2 2（2）思路：考虑将不等式转化为a1的不等式，由（1）可得的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定n的奇偶，即可把an,an1均用a1表示，再求出a1范围即可解：由（1）可得：'an?的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为42n 2当n为奇数时,an4n 3 - an = 4n 3 - a 2n - 2 = 2n 5 - qa2 - a； 1_4 =an an 12 262n - 2 + 2n 5 - a!a! - 2n - 22n 5 - 印4本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数

35、列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列2 -a2n - 2 + 2n 5 a_4 4n 32222化简后可得：2 22a-i -14厲 _ -8n 4n -17max.6 2 2n -2 a- i 2n -2 i 亠-2 2n 5 a i 2n 5 _ 4 4n 3所以只需 2a； -I4a18n24n -17、 2 ( 1 设 f n = -8n4n -17 = -8 i n - 一f 门 max 二 f尸一212af14a1-21 解得：aj7 或 aQ72 2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学

36、易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列2n , an =4n 3 _ an 彳=2n 3 _ a1化简可得：2 2 2 22a2 -6a 8n2 +4n +3即 2a1 -6a (一8n +4n +3 )max4n 3设 gx 二七 n2 4n 3 可得：gXmax=g2=-211、已知数列的前n项和为Sn，4 = a1当n为偶数时，同理：an a1 -22 2 2 an an1 _4= -a1 2n 3 + 2n a1 an + an 出2a2 -6印 一 -2

37、1= 2a1 -6a121 一0二 a< R综上所述：77、.7-7a 一或 a1 2 2三、历年好题精选(1 )若bn =1 log2 anSn，求数列 也f的前n项和TnJI(2 )若0 ：片 ,2nan二ta nt，求证：数列 心是等比数列，并求其通项公式2(3 )记1+ a?2+!1! + an,若对任意的二N”,cn _ m恒成立，求实数m的最大值12、已知数列 召,是首项印二 的等比数列，其前n项和&中S3,S4,S2成等差数列4（1）求数列的通项公式、 1 1 111(2)设 bn =log1 an，若 Tn =+HI +，求证：一 <Tn <2db2

38、bAbnbn*623、已知数列Can ?满足:"1 + 2-兀-兀cosan +si-12丿2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列（1）证明：数列 订2kN”为等比数列（2）求数列 a / 的通项公式kJ.a（3） 设bk =a2k -1 -22k丄（为非零整数），试确定的值，使得对任意N，都有bk 1 - bk成立n a -a1.4、已知数列 玄中，a2=a（ a为非零常数），其前n项和&

39、满足Sn- nN2（1）求数列 & / 的通项公式1 2（2）若 a = 2，且一am - & =11，求 m,n 的值4（3） 是否存在实数a,b，使得对任意正整数 p，数列an ?中满足anp的最大项恰为第3p -2项？若存在，分别求出 a,b的取值范围；若不存在，请说明理由5、（2016，无锡联考）数列 N的前-项和为Sn，且对一切正整数-都有Sn = n2 -an .2（1） 求证：anan =4- - 2（2）求数列：a,的通项公式（3）是否存在实数a，使得不等式工对一切正整、耳人 a2 丿 I an 丿 2aj2n+1数-都成立？若存在，求出 a的取值范围；若不存在

40、，请说明理由2x 十3i 16、 已知函数 f (x)=，数列a*满足 a<i = 1,an= f , n N*3x®丿(1 )求的通项公式(2)令 bn - n _2 , b =3,Sn = bi b2 川 bn，若 Sn ： m 2004 对一切 n N an _ian2成立，求最小正整数 m7、( 2016，贵阳一中四月考)已知数列曲的前n项和为Sn， q =1，且11nan - =2Sn n N ，数列：b/满足d d ，对任意nN "，都有1 = bnbn 2 24(1) 求数列 a ? , :bn 的通项公式(2 )令Tn =a1b1 a2b2 JH an

41、bn ，若对任意的n N ” ，不等式 nTn 2bnSn 2 n 3bn恒成立，试求实数的取值范围8设数列Sn为数列'.an /的前n项和，且Sn = 2an - 2n n =1,2,3,|(1 )求的通项公式(2) 设bn =logan 2，数列bn的前n项和Bn，若存在整数m，使得对任意的n >2,n乏N*n卅都有B3n - Bn 成立，求m的最大值20本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列代入anSn二-n 4n可得:习题答案:1、解析：(1)bn十呃an&十也id14丿2-n.二n 一2

42、1 2 川 n =n 一2 “ “ 1(2)由 2nan =tanrn可知 an 二212n tan 片71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列.n _2 时,12n tann12n'ta n rn_i代入an =tan nn2n可得:tan vn _12n =2ntanvn71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不

43、等关系数列71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列tan2 片tan -nd = tan片-2tan 片71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列2tan 片-th 厂tan 2齐十n，1即入!是公比为一的等比数列2在anOgnSn=1 n N”中，令n =1可得：印二丄412 tan 弓二 2a1十弓=-4n_l

44、严=算| 1 |12丿ta n-an2n12n(3)可知an 二tan盯2n为递减数列71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列-an-an71122本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列11+ 111+1nq =a一一2+a?2an 2= 2_(a1,n aan = - - Snn +1i'n 、1Cn 1 -

45、01= -2 - Sn 1! 2 1 '= 2 _ an 1 _ 0为递增数列m兰（Cn hin =G =务1 =0即m的最大值为02、解析：（1） ： S3,S4,S2成等差数列S4 - S3 S2 - S4 =-印1 11 na42a“q 一21-2(2)由(1)可得:d Tog1 anbA 1n1 n 2 n1 n 2f1"2n 1 n 22 n 21Tn:、Tn为递增数列Tn - T1综上所述:'-Tn61<-23、解：（1）a2k 22k 二= 1+2 cosI22ksin2k：-3a2k& '是公比为3的等比数列(2)当 n 二 2k

46、 时，a2k 勺2 3k-3k，即 a32当 n =2k 一1 时,a2k 1 二 122k1 二cos 2a2kA *sin 2k 一仁.QkJ是公差为1的等差数列n +1a2kl =a k -1 1 = k 即 a.：“ n32, n=2k二 an =n +1，n = 2k1j 2(3) 由(2)可得：kk 1kbk =3-1 2.恒成立不等式为:3k 1，1 k 2k 1 . 3k _1 kJ . -2k二 2 3k >(-1 厂九 3 2k当k为奇数时,当k为偶数时,阻门=1*2 丿m-一in| 12丿丄 2-_max1 <nan4、解析：（1）由已知令n =1，则Sa-a

47、1- 0，所以 Snn 1 an 1Sn 1 =22 Sn 1 - Sn = n 1 an 1 - nan 二 n -1 % 1 = n* I当n -2时，ann -1本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第七章第55炼 数列中的不等关系数列ananan _2OnA Ai a3n -1 n-2a2 - n-2 n-3n = n 1 an = n 1 a a2验证4=0可知符合通项公式(2)可得 an =2 n -1Sn = n n -1，” 1 a： Sn =11= (m-1 f -n(n 1 )=1142= m -1 In 2 -I =曽二 4(m_1 )-(2n _ 1' = 43二 2m 2n-3 2m-2n-1 =43=1 432m 2n -3 二 43m =122m-2 n-1=1 匚 n =11(3 )由 an b _ p 可得 a n -