巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

1、巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学严云霞【根本模型】三角形的两个内外角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90.与第三个角一半的和如图1； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90.与第三个角一半的差如图2； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半如图3;如图1AEABC【分析】三个结论的证实例1、如图 ABC中,BDCD为两个内角平分线,1试说明：/ 490.+丄/ Ao2vZBDEA ABD 的外角 Z BDE=Z BAD+Z ABDA方法一解： BDCD为角平分线11/ CBD=± /

2、 ABC/ BCD=/ ACB92=180°-1(Z ABC+Z ACB2=180°-(180°-Z A)2=180°-11-z v cco i口 a22=90°+ -Z A2方法二解：连接AD并延长交BC于点E解： BDCD为角平分线11Z CBD=± Z ABC, Z BCD= Z ACB2 21=Z BAD Z ABCn同理可得/ CDEAZ CAD+1 / ACB2又 v/ BDOZ BDE+Z CDE / BDO/ BAD+丄 / ABC+Z CAD+1 / ACB221=/BAC+1 (/ ABC+ZACB21=/BAC+

3、1 (180° / BAC21=90° + 1 / BAC2例2、如图,ED、CD为从BC的两条外角平分线,1试说明：/ D=90° 1 / Ao2解：vBDCD为角平分线1/ CBD=1 / CBE21/ BCD=1/ BCF2又v/ CBE / BCDABC的外角/ CBE=/ A+/ ACB/ BC1 A+/ ABC/ CBEA/ BdA+/ ACB+/ A+/ ABO/A+ 180°在厶 BCD / D= 180° (/ CBM / BCD=180° -J / rotA 1 / BCF2 2=180°1 (/ CBE

4、A/BCF2= 180°1(/ A+ 180°)2=90° J / A2【小结】通过对模型1、2的分析和证实,我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补,即和为180o o 例3:如图,在ZXABC中,BD为/ABC的平分线,CD为/ACE的平分线,试 说明：/D= 1/ A；解：vBD为角平分线,1/CBD二1/ABC,2又v CD为/ ACE的平分线1/ DCE=1/ACEDR2而/ DCE%A BCD的一个外角 / DCE=/ D+Z DBC,即/ D=Z DCE-Z DBC1 1 Z D= 1 Z ACE1 Z ABC2 21ADcB=1

5、 (Z ACE-Z ABC) 2=1 Z Ao2【巧借模型解决问题】一、运用模型直接求值例4、如图,在ZkABC中,ZA =40°, D点是Z ABC和Z ACB角平 分线的交点,那么ZBDC=.1的模型：三角形两条内角1+ 1ZA2+20° =110°平分线的夹角,/ BDC二90当 ZA=40.时,Z BDC=90【思路分析】由条件知,这是图反之,如果ZBDC的度数,那么把度数代入公式：ZBDC二90° + - ZA,2可以解出Z A的度数.二、运用模型揭秘画图题例5、小明用下面的方法画出了 45.角：作两条互相垂直的直线MN、PQ,点A、B 分别是

6、MN、PQ上任意一点,作ZABP的平分线BD, BD的反向延长线交Z OAB的 平分线于点C,那么ZC就是所求的45.角你认为对吗？请给出证实.【思路分析】通过对两条角平分线的分析,可以发现AC BD分别是 AOB的内角 平分线和外角平分线的夹角.根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半,1可知ZC=?ZAOBoDMoAON2解：先模仿图3证实Z C=1 Z AOB 2又 vZ AOB=9°1ZC=1 Z AOB=452三、运用模型探究规律,提升拓展例6问题引入：(1) 如图,在厶ABC中,点O是Z ABC和ZACB平 分线的交点,假设ZA=a,那么ZBOC=(用a表示)； 拓展研究

7、：(2) 如图,Z CBO=1 Z ABC, Z BCO= 1 Z ACB Z A=a,试求 Z BOC 的度数33(用a表示)归纳猜测：(3) 假设BO、CO分别是 ABC的/ABC / ACB的n等分线,它们交于点O, /1 iCBO= / ABC, / BCOJ / ACB / A=a,贝 U/ BOC=nn用3表示.类比探索：1 14特例思考：如图,/ CBO=± / DBC, / BCOJ / ECB / A=a,求/ BOC 33的度数用d表示.一般猜测：假设BO、CO分别是 ABC的外角/ DBC/ ECB的n等分线,它们1i交于点 0,/ CBO=± / D

8、BC, / BCO/ ECB / A=a,请猜测/ BOC=用 ann表示.【思路分析】11(1) 此为图1的模型,/ 0= 90.+丄/ BAC= 90 +丄a2 2(2) 把角平分线换成1,但证实的思路大致相似.3在 OC 中：/ B00 180° -( / OBCA/ OCB1=180° - 1 (/ABC+/ ACB31=180.-丄(180°/ A)311=180° 一丄 X180°+ 丄/A3 31=120° + 丄 / A31 =120°+ 1 a3(3) 把角平分线换成-证实的思路类似.n在中：/ B00 1

9、80° (/ OBC+/ OCB1=180° (/ABC+/ ACBn1=180° 丄(180° / A)1 1=180°- iX180°+ / An n1n 1= X180n+ 1 / An=LX180°+1 ann此为图2的模型中,把角平分线换肿,普明如下:v/ CBD / BCEABC的夕卜角/ CBD_/ A+/ ACB, / BCE=/ A+/ ABC/ CBD+/ BCE=/ A+/ ACB+/ A+/ ABC_/ A+ 180 在中：/ BOC_ 180°般猜测：把|再次推广为S证实类似:(/ CBO

10、+/ BCO(/ CBO+/ BCO(1 CBD+ 力 BCE3 n在中：/ BOO 180°【小结】在2 3 4的结果0 /qCBD+ 1 /QBCEV CBMABCE313 (/ A+l 180)1n XJ80 1/ Ainn 31n ! X180 一an比照中,我们发现这两个夹角不再互补, 但仍然存在中间的运算符号相反的问题,从一般猜测中可以发现这个规律.虽 然在问题设计中引起一连串的变式,从-变成1,再从丨推广为-,但问题证实2 33n的思路并未发生质的变化.四、三种模型合为一体,渗透分类思想 例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后,钻研了以下4个问题,请你一起 参与,共同

11、进步如图, ABC点丨是/ ABC与/ ACB平分线的交点,点D是 /MBC与/ NCB平 分线的交点,点E是/ABC与/ ACG平分线的交点.问题1：假设/ BAC=50,贝 U/ BIC=° / BDC=.问题2猜测/ BEC与/ BAC的数量关系,并说明理由.问题3:假设/BAC=x Ov xv 90,那么当/ACB等于度用含x的代数式表示时,CE/AB.说明理由.问题4:假设厶BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍,试求/ BAC的度数.(/ CBD+/ BCE (/ A+ 180° )A【思路分析】(1) 点I是两内角/ABC、/ ACB平分线的交点,故由图1归

12、纳的模型：/ BIC9&£/ BAC由此可求/ BIC;由于CDBD分别为 ABC的两外角平分线, 故由图2的模型：/ BDC=190-丄/BAC,由此可求/ BDC2(2) 由于BE、CE分别为 ABC的内角、外角平分线,故由图3的模型：/BEC=二丄/ BAC由此可求/ BEC(3) 当 CE/AB 时,/ BEC=/ ABC,由(3)可知,/ ABC=Z BAC / ACB= (180 -/ BAC .(4) 由题意可证： BDE是直角三角形,/ DBE=9O, a/D+/ E=90°o条件中：一个内角等于另一个内角的三倍,贝U不明确,所以应当分类讨论.假设/

13、 EBD=3/D；假设/ EBD=3/E;假设/ D=3/ E;假设/ E=3/D解：(1) v点丨是两角B、C平分线的交点,/BIC=180- ( / IBC+/ ICB=180- (/ABC+/ ACB=180.一一 (180°-/ A) =90+二 / BAC=115;类似证实/ BDC=180/ BIC=90°-±/ BAC=65;或者也可以这样证实：BE BD分别为/ ABC的内角、外角平分线,/ ,BC 丄/ ABC, / CBD=/ CBM；/ DBI=/ IBC+/ CBD/ IBC 丄 / ABC 見 / CBM(/ ABC+/ CBM)4 X1

14、8052/ DBI=90°,同理/ DCI=90°,yr nnir7 CDBI r BDC 180_/ BIC 90_辛 BAC 65在四边形中,/='养 =；(2) 有图3的模型可证/ BEC丄/ BAC2也可借助上面的小题这样证实：在厶BDE中,/ DBI=90°,/ BEC=90-/ BDC=90 ( 90 丄/ BAQ 丄 Z BAC2 2 ,(3) 当/ ACB 等于(180-2x)o 时,CE/AB.理由如下:CE/ AB, / ACE/ A=x°,vCE是/ ACG的平分线,/ ACG=2/ ACE=2X,/ ABC=/ ACG-

15、/ BAC=2x- x°=x°,/ACB二 180/ BAC/ ABC=( 180-2x) °(4) 由题意知： BDE是直角三角形/ D+/ E=90°假设/ EBD=3/D 时/ BAC=120；假设/ EBD=3/E 时/ BAC=6° ；假设/ D=3/ E 时/ BAC=45;假设/ E=3/D 时/ BAC=135.综上所述,/ BAC=120 或60.或 45.或 135°.稳固练习：1、如图：BOCO分别平分/ ABC和/ACB(1) 假设/ A=40 °,求/ BOC的度数；(2) 假设/ A=60 °,Z BOC=假设/ A=100°,Z BOC=(3) 由(1)、(2)的结果,试直接写出/ BOC与/ A之间的数量关系；(4)利用你得 出的结论,求当/ BOC=150时,求/ A的度数.o2.如图,/ COD=90,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE和射 线AF交于点G.(1) 假设