层次分析法例题

1、专题：层次分析法一般情况下,物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价.如 果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断,缺乏定量分析依据来评价系统 方案的优劣,显然是十分困难的.尤其是物流系统的社会经济评价很难作 出精确的定量分析.层次分析法(Analytical Hierarchy Process)由美国著名运筹学家萨蒂(T. L. Saaty)于1982年提出,它综合了人们主观判断,是一种简明、实 用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法.目前,该方法 在国内已得到广泛的推广应用,广泛应用于能源问题分析、科技成果评选、 地区经济开展方案比拟,尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及

2、评 比等方面.它既是一种系统分析的好方法,也是一种新的、简洁的、实用 的决策方法.层次分析法的根本原理人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品.这时,一般是利用两两比拟的方法来到达目的.假设有n个物品,其真实重量用w1 , w2,W n表示.要想知道w1 , w2,wn的值,最简单的就是用秤称 出它们的重量,但如果没有秤,可以将几个物品两两比拟,得到它们的重 量比矩阵A.严/如果用物品重量向量 W=w1,/阴./ WfJw2 /叫W2/WnH 叫/叫 A W / 5V _w2,wnT右乘矩阵A,那么有:AW/ WW2 / WA 叫/W / w2 / w2W /叫nwl叫/%

3、1 H叫/由上式可知,n是A的特征值,W是A的特征向量.根据矩阵理论,n是 矩阵A的唯一非零解,也是最大的特征值.这就提示我们,可以利用求物品 重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W.从而确定最重的物品.将上述n个物品代表n个指标(要素),物品的重量向量就表示各指标(要素)的相对重要性向量,即权重向量；可以通过两两因素的比拟,建立判 断矩阵,再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要.依此类推,如果 n个 物品代表n个方案,根据这种方法,就可以确定哪个方案最有价值.应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：(1) 将复杂问题所涉及的因素分成假设干层次,建立多级递阶的层次结 构模型

4、(目标层、判断层、方案层).(2) 标度及描述.同一层次任意两因素进行重要性比拟时,对它们的 重要性之比做出判断,给予量化.(3) 对同属一层次的各要素以上一级的要素为准那么进行两两比拟,根 据评价尺度确定其相对重要度,据此构建判断矩阵A.(4) 计算判断矩阵的特征向量,以此确定各层要素的相对重要度(权 重).(5) 最后通过综合重要度(权重)的计算,根据最大权重原那么,确定 最优方案.例题：某物流企业需要采购一台设备,在采购设备时需要从功能、价格与可 维护性三个角度进行评价,考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序,从中选出能实现物流规划总目标的最优设备,其 层次结构如下

5、列图所示.以A表示系统的总目标,判断层中Bi表示功能,B2表 示价格,B3表示可维护性.Ci , C2 , C3表示备选的3种品牌的设备.目标层判断层购置设备A功能B1价格B2维护性B31AWCF产品C1产品C2产品C3图设备采购层次结构图解题步骤：1、标度及描述人们定性区分事物的水平习惯用5个属性来表示,即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要,当需要较高精度时,可以取两个相 邻属性之间的值,这样就得到9个数值,即9个标度.为了便于将比拟判断定量化,引入19比率标度方法,规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断,要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较 强重要、强烈重要、绝

6、对重要,而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折 衷值.标度定义比拟因素i与j1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、4、6、8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比拟得判断矩阵a ij,贝U因素j与i相比的判断为aji=1/aij注：ajj表示要素i与要素j相对重要度之比,且有下述关系:aij = 1/aji ; aii = 1 ； j , j=1 , 2,n 显然,比值越大,那么要素i的重要度就越高.2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析法的根本信息,也是进行权重计算的重要依据. 根据结构模型,将图中各因素两两进行判断与比拟

7、,构造判断矩阵：判断矩阵A B即相对于物流系统总目标,判断层各因素相对重要性 比拟如表1所示；判断矩阵B! C相对功能,各方案的相对重要性比拟如表2所示；判断矩阵B2 C相对价格,各方案的相对重要性比拟如表3所示；判断矩阵B3 C相对可维护性,各方案的相对重要性比拟如表4所 示.即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要表1判断矩阵A BAB1B2B3B111/32B2315B31/21/51表2判断矩阵B CB1C1C2C3C11l/31/5C2311/3C3531表3判断矩阵B2-CB2C1C2C3C11 :2 :7C21/215C31/71/51表4判断矩阵B3 CB3C1C2C

8、3C113l/7C2l/311/9C37913、计算各判断矩阵的特征向量、特征值及一致性检验指标一般来讲,在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,必不需要较高的精度,用求和法或求根法可以计算特征值的近似值.求和法1将判断矩阵A按列归一化即列元素之和为1: bj= aij/逊;2 将归一化的矩阵 按行求和：Ci=Ibij i=1 , 2, 3.n;3将G归一化：得到特征向量 W= w1, w2,wn T, wi=Ci /艺ic,W即为A的特征向量的近似值；4求特征向量W对应的最大特征值：七沁n .w.-求根法1计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；W naj i =1,wi2)将wi归一

9、化,得到wi; W= (w1, w2,wn ) T即为A的特wii 1征向量的近似值；3求特征向量W对应的最大特征值: 二艺沁n W.-1判断矩阵A B的特征根、特征向量与一致性检验计算矩阵A B的特征向量.计算判断矩阵A B各行元素的乘积Mi ,并求其n次方根,如M1 1323 , W1 3 M1 0.874,类似地有,W2 3 M2 2.466 ,表1判断矩阵A BAB1B2B3B111/32B2315B31/21/51W 3M3WW10.464.对向量W W W2, WnT标准化,有0.8740.2300.874 2.466 0.464nWi 1类似地有W2 0.684,W3 0.122

10、.所求得的特征向量即为:W 0.230, 0.648, 0.122T求和法：1/(1+3+0.5)=0.2222, 0.6667 0.1111B的特征根25 0.230,0.648,0.122T11计算矩阵A11/3AW 311/2 1/5AW11 0.230 0.648 2 0.1220.693类似地可以得到 AW2 1.948, AW3 0.3666.根据公式计算判断矩阵最大特征根：n AWi 0.691.948i 1 ng3 0.230 3 0.648max卫潭3.0043 0.122一致性检验.实际评价中评价者只能对A进行粗略判断,这样有时会犯不一致的错 误.如,已判断.比6重要,C/

11、匕C3较重要,那么,C1应该比C3更重要. 如果又判断5比.3较重要或同等重要,这就犯了逻辑错误.这就需要进行 一致性检验.根据层次法原理,利用A的理论最大特征值 致性指标：CI -川珊血一幷a -1乙諏与n之差检验一致性./丄/)3.004 30.002 <0.1 CR3 1'nn 1随机一致性指标表判断矩阵的一致性可以接受,否那么重新两两进行比拟 表5平均随机一致性指标计算CImaxCI0.003 0.1,查同阶平均 RI5 所示知 RI 0.58,一般认为 CK0.1、CRV0.1 时,.阶数34567891011121314RI0.580.891.12：1.261.361

12、.411.461.491.521.541.561.580.149 0.066 0.785(2) 判断矩阵Bi C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程,可以得到矩阵 Bi C的特征根、特征向量与 致性检验如下：W 0.105, 0.258, 0.637丁, max 3.039, CR 0.033 0.1B1C1C2C3C111/31/5C2311/3C3531(3) 判断矩阵B2 C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程,可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W 0.592, 0.333, 0.075T, max 3.014, CR 0.0

13、120.1(4) 判断矩阵B3 C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程,可以得到矩阵B3 C的特征根、特征向量与一 致性检验如下：W 0.149, 0.066,0.785t, max 3.08, CR 0.0690.14、层次总排序'获得同一层次各要素之间的相对重要度后, 就可以自上而下地计算各级 要素对总体的综合重要度.设二级共有 m个要素c1, c2,m,它们对总值的 重要度为w1, w2,wm ；她的下一层次三级有p1, p2,pn共n个要素,令要素 Pi对Cj的重要度(权重)为Vjj,那么三级要素pi的综合重要度为：眄二工叫SJ依据各方案综合重要度的大小,可

14、对方案进行排序、决策.层次总排序如表6所示.B1 c：W 0.105,0.258,0.637丁 代表 B1 对C重要度B2 C : W 0.592,0.333,0.075丁 代表 B1 对C重要度B3 C:W O.149, 0.066, 0.785丁 代表B1 对C重要度表6层次总排序第二层次第三层次B层次C 总排序权重B1B2B30.2300.6480.122CG0.1050.5920.1490.426C20.2580.3330.0660.283C30.6370.0750.7850.291即：(0.230 0.648 0.122)0.105 0.258 0.6370.592 0.333 0.

15、075方案G的重要度权重 方案C2的重要度权重 方案C3的重要度权重选抒役备方案B1方案B2方案E3功能C10.1050.5920.149或矩阵0.2580.3330.066 乘以 (0.230 0.648 0.122)0.6370.0750.785=0.230 >0.105+0.648 S.529+0.122 &149=0.426=0.230 >0.258+0.648 0.333+0.122 0.066=0.283=0.230 >0.637+0.648 0. 075+0.122 0785=0.2915、结论由表5可以看出,3种品牌设备的优劣顺序为：C1 , C3, C2,且品牌1 明显优于其他两种品牌的设备.flW.作业：某配送中央的设计中要对某类物流装备进行决策,现初步选定三种设备配套方案, 应用层次分析法对优先考虑的方案进行排序.解：对设备方案的判断主要可以从设备的功能