天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

1、天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解B A3、设 A,B,C 为三事件,用 A,B,C 的运算关系表示以下各事件(1)A发生, B 与 C 不发生 - C B A (2)A与 B 都发生, 而 C 不发生 - C AB(3)A,B,C中至少有一个发生 -C B A (4)A,B,C都发生 -ABC(5)A,B,C都不发生 - C B A (6)A,B,C中不多于一个发生 -C B C A B A (7)A,B,C中不多于两个发生 -(8)A,B,C中至少有两个发生 -BC AC AB 4、盒内装有 10个球,分别编有 1- 10的号码,现从中任取一球,设事件 A 表示“取 到的球的号

2、码为偶数 ,事件 B 表示“取到的球的号码为奇数 ,事件 C 表示“取到 的球的号码小于 5 ,试说明以下运算分别表示什么事件 .(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的号码不小于 5 (4)C A 1或 2或 3或 4或 6或 8或 10(5)AC 2或 4 (6)C A 5或 7或 9 (7)C B 6或 8或 10 (8)BC 2或 4或 5或 6或 7或 8或 9或 105、指出以下命题中哪些成立,哪些不成立 . (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)=) )(B A AB 成立

3、 (5)假设 B A ,那么 AB A = 成立(6)假设 =AB ,且 A C ,那么 =BC 成立 (7)假设 B A ,那么 A B 成立 (8)假设 A B ,那么 A B A = 成立7、 设 一 个 工 人 生 产 了 四 个 零 件 , i A 表 示 事 件 “ 他 生 产 的 第 i 个 零 件 是 正 品 ) , , , (4321=i ,用 1A , 2A , 3A , 4A 的运算关系表达以下事件 .(1)没有一个产品是次品; (1) 43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品; (2) 432143212A A A A A A A A B =8. 设

4、E、 F 、 G 是三个随机事件,试利用事件的运算性质化简以下各式 : (1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E (3) ()()G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()E F F F E F E E E =(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E =(3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E =9、设 B A , 是两事件且 7060. ) (, . ) (=B P A P ,问 (1)在什么条件下 ) (AB P 取到最大 值,最大值是多少? (2)在什么条件下 ) (AB P 取

5、到最小值,最小值是多少? 解 : (1)6. 0) (, =AB P B A (2)3. 0) (, =AB P S B A 10. 设 事 件 A, B, C 分 别 表 示 开 关 a, b, c 闭 合 , D 表 示 灯 亮 , 那么可用事件 A , B , C 表示:(1) D = AB C ; (2) = () 。11、设 A,B,C 是三事件,且 81041=) (, ) () (, ) () () (AC P BC P AB P C P B P A P , 求 A,B,C 至少有一个发生的概率 .解 :) () () () () () () () (ABC P BC P AC

6、P AB P C P B P A P C B A P +-+= 8500810414141=+-+= ABC AB 0) () (0=AB P ABC P 0) (=AB P B P A P B A P15、 8封信随机地投入 8个信箱 (有的信箱可能没有信 ) , 问每个信箱恰有一封信的概 率是多少?解 : 888! ) (=A P5 16、房间里有 4个人,问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少? 解:设所求事件 =A “至少有两个人的生日在同一个月的=“任何两个人的生日都不在同一个月427. 0121) (1) (, 12) (44124412=-=-=A A P A P A A P

7、17、将 3个球随机地放入 4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别为 1,2,3的概 率各是多少?解:3个球放入 4个杯子中去共有 34种放法,设 i B 表示杯子中球的最大个数为 n 的事 件 ) , , (321=n , 1B 表 示 每 只 杯 子 最 多 只 能 放 一 个 球 , 共 有 34A 种 方 法 , 故8343341=A B P ) (; 2B 表示有一只杯子中放 2个球,先在 3个球中任取 2只放入 4个 杯子中的任意一只, 共有 423C 种方法, 剩下的一个球可以放入剩下的 3只杯子中的 任 一 只 , 有 3种 放 法 , 故 2B 包 含 的 基 本 事 件 数

8、 为 363423=C , 于 是 16943632=) (B P ;3B 表 示 有 一 只 杯 子 中 放 3个 球 , 共 有 4种 方 法 , 故 1614433=) (B P . 18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内( 其 中 D 是 x = 0 , y = 0 , x + y = 2所 围 成 的 ) , 设 事 件 A 为:质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 , 求 P(A) 。y21D 1 432221111=+=) () (D D A P19、 (1) 504030. ) (, . ) (, . ) (

9、=B A P B P A P ,求 ) |(B A B P(2) 213141=) |(, ) |(, ) (B A P A B P A P ,求 ) (B A P6 解 : (1)250. ) |(=B A B P(2)31=) (B A P20、 一批产品共 100个 , 其中有次品 5个,每次从中任取一个,取后不放回 , 设 i A ( i =1, 2, 3, ) 表示第 i 次抽到的是次品,求: ()99412=A A P , )999512=A A P , ()99512=A A P )999412=A A P , ()983213=A A A P , )9894213=A A A

10、P 21、市场上供给的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂占 30%,甲厂产品的合格率为 95%,乙厂的合格率是 80%。 假设用事件 A 、 A 分别表示甲、 乙两厂产品, B 表示合格品。 试写出有关事件的概率 .(1)=) (A P 70%(2)=) (A P 30% (3)=) |(A B P 95% (4)=) |(A B P 80% (5)=) |(A B P 5% (6)=) |(A B P 20%22、袋中有 10个球, 9个是白球, 1个是红球, 10个人依次从袋中各取一球,每人取一球后,不再放回袋中,问第一人,第二人,最后一人取得红球的概 率各是多少?解 : 解:设 i A 第

11、 i 个人取得红球的事件 ) , , , (1021 =i , 那么 i A 为第 i 个人取得白球的事件, 显然 101) (1=A P , ) (212121212=A A A A A A A A A 10191109) |() () () (121212=A A P A P A A P A P 同理 101! 10! 9) () (1092110=A A A A P A P 23、某种动物由出生活到 20年以上的概率为 0.8,活 25年以上的概率为 0.4,问现 年 20岁的这种动物活支 25岁以上的概率是多少? 解:设 A 为 由出生活到 20岁 的事件, B 为 由出生活到 25岁

12、 的事件7 那么所求事件的概率为 ) () () |(A P AB P A B P = B AB A B =218040=. . ) () () () () |(A P B P A P AB P A B P 24、十个考签中四个难的,三人参加抽签, (不放回 ) 甲先、乙次、丙最后,记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,求 ) (), (), (), (ABC P B A P AB P A P . 解:152) (, 104) (=AB P A P 154) (=B A P 301) (=ABC P 25. 设 0 P(C) 1 ,试 证 :对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件

13、 A, B ,恒 有P ( A B )C = PAC + PBC证 :()()C P C B A P C B A P +=+ ()C P BC AC P +=()()C P BC P AC P += ()()C B P C P += 26、设事件 A 与 B 互斥,且 10) (B P ,证明 )() () |(B P A P B A P -=1. 证明:由于 =AB ,故 B A B B A A =) ( ) 1) () (1) () () () |(-=由全概率公式:) |() () |() () (2211H B P H P H B P H P B P +=易知:mn m H P m n

14、 n H P +=+=) (, ) (21 1) |(, 11) |(21+=+=M N N H B P M N N H B P 于是 111) (+=M N N m n m M N N m n n B P 30、 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产品占全厂产品的比例 分别为 25%,35%,40%;并且它们的废品率分别是 5%,4%,2%(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少?(2)如果取出的一件产品是废品,问它最大可能是哪个车间生产的?解:设 =A “所取出的一件产品是废品 , =1B “产品系甲车间生产 ,=2B “产品系乙车间生产 , =3B “产品系丙车间生

15、产 25. 0) (1=B P 35. 0) (2=B P 4. 0) (3=B P05. 0) |(1=B A P 04. 0) |(2=B A P 02. 0) |(3=B A P (1)由全概率公式:=+=310345. 002. 04. 004. 035. 005. 025. 0) () |() (i i i B P B A P A P(2)由贝叶斯公式:9 3623. 00345. 005. 025. 0) () () |() |(111=A P B P B A P A B P 4058. 00345. 004. 035. 0) () () |() |(222=A P B P B A

16、 P A B P 2319. 00345. 04. 002. 0) () () |() |(333=A P B P B A P A B P 所以,所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的 .31、 如图 1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 p ,且设 各继电器接点闭合与否相互独立,求 L 至 R 是通路的概率 . 解 : 设 i A 为第 i 只继电器闭合的事件, B 为有电流从 L 流向 R 的事件, ) 5, 2, 1() ( =n p A P i显然 4325315421A A A A A A A A A A B -=-=- 因此 N N A P A P k

17、1) 11(1) (1) (1-=-=- 第 2章一维随机变量 习题 2 一 . 填空题:1. 设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 ()x P x F =, 那么 用 F (x) 表 示 概11 0x P = = _。 解:()()000-x F x F2. 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 ()()+-+=x arctgx x F 121 那么 P 01 = _14_。 解: P 01 = =-) 0(F ) 1(F 14 3. 设 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 且 已 知 P = 2 = P = 3 ,那么 P = 3 = _2783e - 或

18、3.375e -3_。 4. 设 某 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 是 =, 2, 1, 0, ! k k C k P K ,常 数 0, 那么 C 的 值 应 是 _ e-_。 解:-=, 故 -=e a (2)设随机变量 X 的分布律为:N , , 2, 1k , Nak X P =,试确定常数 a .1a 1N 1aN N1a N a k X P N1k N1k N1k =np p n , 故168. 0!43434=-e x P 12、 某一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001, 在某天的该段时间内有 1000辆汽车

19、通过, 问出事故的次数不小于 2的概率是多少? (利用泊松定理计算 )解:设 x 为发生事故的次数,那么 k k k C k x P -=10001000) 9999. 0() 0001. 0(用泊松定理计算, 1. 00001. 01000=np00468. 01. 0110121. 01. 0=-=-=-=-e e x P x P x P13设 X 服从泊松分布,且 21=X P X P ,求 4=X P 解:! k e k x P k -=,由 21=x P x P ,得 ! 2! 12-=e e ,) 0, 0(0, 2=因为 舍去 0903. 0!42424=-e x P 14、 .

20、 求离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 为 ()kb k P =, ( k = 1, 2, ) , 的 充 分 必 要 条 件。解:由 1()k b k P =016 且()1k P 1k = b 1b 1b b b 0k k 1k k +=+=+= bb 111+=- h 即 cm h 184=设计车门高度为 184厘米时,可使男子与车门碰头的时机不超过 0.01。27求 2) 2(2-=X Y 的分布律 . 解 :28、设 ) 1, 0(N X ,求 (1)Xe Y =的概率密度 (2)122+=X Y 的概率密度20 (3)求 |X Y =的概率密度解:(1)设 +-=-x e

21、x f N x x , 21) (), 1. 0(22 yx y x e y e y x x 1 , ln , 0 , = +=其它 , 00, 1ln) (y y y f y 即 +=其它 , 00, 121) (2) (ln2y y e y y (2)1122+=x y ,当 1y 时, Y 的分布函数, 21212112) (22-=-=+=y x y P y x P y x P y Y P y F Y -=2102221212021,222122y x y y x Y x dx e dx e 当 1y 时, 0) (=y F Y , Y 的概率密度-+-=1, 01),21() 21(

22、1241) () (y y y f y f y y F y Y 即 -=-1, 01, ) 1(21) (41y y e y y y (3)0|, |=x y x Y ,当 0y 时, Y 的分布函数 -=-=yy Y dx x f y x y P y x P y Y P y F ) (|) (-=yy yx x dx e dx e 022222221当 0y 时, 0) (=y F Y , Y 的概率密度 =0, 00, ) (2) () (y y y f y F y 当 0y 时, 0) (, 0|) (=y y x P y F Y 21 =-0, 00, 22) (22y y e y y

23、29、设电流 I 是一个随机变量,它均匀分布在 9安 11安之间,假设此电流通过 2欧姆的电阻,在 其上消耗的功率为 22I W =,求 W 的概率密度 . 解:由题意 I 的概率密度为 =其它, 0119, 21) (x x f242162, 119, 2, 2, 222±=w x w x x w I w 时 当 对于 -=-=2) (22) (, 0dx x f I P w P w F w w由于 0w ,所以当 0w 时,其分布函数 0) (=w F w ,故 w 的概率密度 ww F w f w 41) () (=; -+=0, 00, )2() 2(21) (w w w f

24、 w f w w f =其它 , 0242162, 24121221w w w 30、 设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 ,且 在 区 间 ( 0 , a ) 上 均 匀 分 布 , 求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a 0 )解 :正 方 体 体 积 = 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 , a ) 上 的 反 函 数 x h y y =() 13 h y y () , =-1323()ay h 1= 的 概 率 密 度 为 ()=- a y y a y) (0031332 22 31. 设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 ()+=0,

25、00122x x x x 求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。解:函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y , 当 x 在 ( 0 , + )上 变 化 时 , y 在 (- , + ) 上 变 化 , ()1e 2y h , e ) y (h y 2y +=于 是 的 概 率 密 度 为 +-+=y e e y y y12) (232. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 服 从 N( , 2) , 并 规 定 | - | m 时 产 品 合 格 , 问 m 取 多 大 时 , 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%

26、。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 : (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (- 1.65) = 0.05, (- 0.06) = 0.475 .解:P | - | m = 0.95,此式等价于 P- m + m = 0.9 因 为 服 从 N( , 2 ) , 故P- m + m = ) () (-+m m 95012. ) () () (=-=-=m m m 查 表 m =196. 得 m = 1.96 故 m 取 1.96 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。 23 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1、随机点 )

27、 , (Y X 落在矩形域 , 2121y y y x x x 的概率为 ) , () , () , () , (21111222y x F y x F y x F y x F -+-.2、 ) , (Y X 的分布函数为 ) , (y x F ,那么 =-) , (y F 3、 ) , (Y X 的分布函数为 ) , (y x F ,那么 =+) , 0(y x F ) , (y x F4、 ) , (Y X 的分布函数为 ) , (y x F ,那么 =+) , (x F ) (x F X5、设随机变量 ) , (Y X 的概率密度为-=其它 042, 20) 6() , (y x y x

28、 k y x f ,那么 =k 816、随机变量 ) , (Y X 的分布如下,写出其边缘分布 .247、 设 ) , (y x f 是 Y X , 的联合分布密度, ) (x f X 是 X 的边缘分布密度, 那么 =+-) (x f X. 8、二维正态随机变量 ) , (Y X , X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 = 9、如果随机变量 ) , (Y X 的联合概率分布为那么 , 应满足的条件是 18=+;假设 X 与 Y 相互独立,那么 =184=182. 10、设 Y X , 相互独立, ) 1. 0(), 1, 0(N Y N X ,那么 ) , (Y X 的联合概率密度 =)

29、, (y x f 22221y x e +-, Y X Z +=的概率密度 ) (Z f Z 42x e -.12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为()+-+-+= y x y x y x A y x F 00, 0111111, 222那么 A =_1_。 25 二、证明和计算题1、袋中有三个球,分别标着数字 1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为 X ,第二次取的球上标的数字 Y ,求 ) , (Y X 的联合分布律 .解:0311, 1=Y X P 311312, 1=Y X P3121321, 2=Y X P3121322, 2=Y

30、X P 2、三封信随机地投入编号为 1,2,3的三个信箱中,设 X 为投入 1号信箱的信数, Y 为投入 2 号信箱的信数,求 ) , (Y X 的联合分布律 . 解:X 的可能取值为 0,1,2,3 Y 的可能取值为 0,1,2,33310, 0=Y X P3331, 0=Y X P 33233332, 0=C Y X P3313, 0=Y X P 3330, 1=Y X P 33231, 1=Y X P33132, 1=Y X P 03, 1=Y X P 32330, 2C Y X P =3331, 2=Y X P 02, 2=Y X P 03, 2=Y X P 3310, 3=Y X P

31、 03, 32, 31, 3=Y X P Y X P Y X P3、设 函 数 F(x , y) = +120121y x y x ; 问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的26 联 合 分 布 函 数 ? 并 说 明 理 由 。解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数因 P0 2, 0 1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1- 1- 1 + 0 = - 1 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。4、

32、设 +=01) (, 0) (dx x g x g 且 ,有 +=其它 ,0, 0, ) (2) , (2222y x y x y x g y x f 证明:) , (y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。证明:易验证 ) , (y x f 0,又 =+-+-dxdy y x f ) , (dxdy y x y x g +002222) (2=+=02001) () (2dr r g rr g d 符合概率密度函数的性质,可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。5、在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ,求 0) cos(+Y X P 的值。 解:=其它 , 0,

33、 0, 1) , (2y x y x f , 0) cos(+Y X P =43) 232=+Y X P 6、设随机变量 ) , (Y X 的密度函数为 =+-其它 00, 0) , () 43(y x ke y x f y x (1)确定常数 k(2)求 ) , (Y X 的分布函数 (3)求 20, 10Y X P 解:(1)+-=00) 43(1dx e k dy y x -=-=00030434123141k e e k dx e dy e k x y x y 12=k (2)-+-=y x y x v u e e dudv e y x F 0043) 43() 1)(1(121121

34、2) , ( ) 1)(1(43y x e e -=0, 0y x0) , (=y x F27 (3) 2, 0() 0, 1() 0, 0() 2, 1(20, 10F F F F Y X P -+=95021. 00) 1)(1(83=+-=-e e7、设随机变量 ) , (Y X 的概率密度为+=其它 020, 103/) , (2y x xy x y x f 求 1+Y X P 解:+-+=+110212) 3() , (1y x x dy xy x dx dxdy y x f Y X P =+=10327265) 65342(dx x x x 8、设随机变量 ) , (Y X 在矩形

35、区域 , |) , (d y c b x a y x D =内服从均匀分布,(1)求联合概率密度及边缘概率密度 . (2)问随机变量 Y X , 是否独立?解:(1)根据题意可设 ) , (Y X 的概率密度为=其它 0, ) , (d y c b x a M y x f +-+-=b a d c c d a b M dy dx M dxdy y x f ) )() , (1 于是 ) )(1c d a b M -=,故 -=其它 0, ) )(/(1) , (d y c b x a c d a b y x f +-=-=dc X ab c d a b dy dy y x f x f 1) )

36、() , () ( 即 -=其它 01) (b x a ab x f X +-=-=ba Y c d c d a b dx dx y x f y f 1) )() , () (28 即 -=其它 0)/(1) (d y c c d y f Y(2)因为 ) () () , (y f x f y x f Y X =,故 X 与 Y 是相互独立的 .9、 随机变量 ) , (Y X 的分布函数为 +-=-其它 , 00, 0, 3331) , (y x y x F y x y x 求: (1)边缘密度; (2)验证 X,Y 是否独立。解:(1) ) 33(3ln ) , (y x x x y x

37、F -=, , 33ln ) , (22y x y x y x F -= 0, 0y x .=-其它 00, 033ln ) , (2y x y x f y x=-+其它 0033ln 33ln ) (20x dy x f x y x X ,=-+其它 00, 33ln 33ln ) y (20y dx f y y x Y (2) 因为 ) () () , (y f x f y x f Y X =,故 X 与 Y 是相互独立的 .10、 一电子器件包含两局部,分别以 Y X , 记这两局部的寿命 (以小时记 ) ,设 ) , (Y X 的分布函数为 +-=+-其它 00, 01) , ()(0

38、1. 001. 001. 0y x e e e y x F y x y x(1)问 X 和 Y 是否相互独立? (2)并求 120, 120Y X P 解:(1)-=+=-0001) , () (01. 0x x e x F x F x X -=+=-0001) , () (01. 0y y e y F y F yY 29 易证 ) , () () (y x F y F x F Y X =,故 Y X , 相互独立 . (2)由 (1)Y X , 相互独立12011201120120120, 120-=Y P X P Y P X P Y X P091. 0)120(1)120(142=-=-e

39、 F F Y X 11、 设 随 机 变 量 ( , ) 的 分 布 函 数 为 F x y A B xC y (, ) ()() =+23求:( 1 ) 系 数 A , B及 C 的 值 , ( 2 ) ( , ) 的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。解:( 1 )F A B C (, ) () () +=+=221F A B C (, ) () () -+=-+=220F A B C (, ) () () +-=+-=220由 此 解 得 A B C =122, ,( 2 ) (, ) ()()x y x y =+64922212、设 ) , (Y X 相互独立且分别具有以下表格所

40、定的分布律 试写出 ) , (Y X 的联合分布律 . 解: 30 13、设 Y X , 相互独立,且各自的分布律如下: 求 Y X Z +=的分布律 . 解: , 2, 1, 0=k P k X P k , 2, 1, 0=q Y PY X Z +=的分布律为 , 2, 1, 0=-i q P i Z P ki kZ 的全部取值为 2,3,4412121111, 12=Y P X P Y X P Z P 1, 22, 13=+=Y X P Y X P Z P21212121211221=+=+=Y P X P Y P X P 412121222, 24=Y P X P Y X P Z P 1

41、4、 X,Y 相互独立,其分布密度函数各自为=00021) (21x x e x f x X=00031) (3y y ey f yY求 Y X Z +=的密度函数 .解:Y X Z +=的密度函数为 +-=dx x Z f x f Z f Y X Z ) () () (,由于 ) (x f X 在 0x 时有非零值, ) (x Z f Y -在 0-x Z 即 Z x 时有非零值, 故 ) () (x Z f x f Y X -在 Z x 0时有非零值-=Z Z xZ xZ xZ dx e edx e e Z f 0 6332613121) (31 ) 1(63063Z Z Z x Z e

42、e e e -=-= 当 0Z 时, 0) (=Z f 故 -=-000)1() (63Z Z e e Z f Z Z Z 32 第 4章 随机变量的数字特征一、填空题1、设 X 为北方人的身高, Y 为南方人的身高,那么“北方人比南方人高相当于) () (Y E X E 2、设 X 为今年任一时刻天津的气温, Y 为今年任一时刻北京的气温,那么今年天津的气温变化 比北京的大,相当于 ) () (Y D X D .3、随机变量 X 服从二项分布,且 44. 1) (, 4. 2) (=X D X E ,那么二项分布的参数n , p .4、 X 服从 1x 2x 2e 1) x (-+-=,那么

43、 . ) (X E , ) (X D 5、设 X那么 =+) 12(X E 9/4 . 6、设 Y X , 相互独立,那么协方差 =) , cov(Y X 这时, Y X , 之间的相关系数 =XY 7、假设 XY 是随机变量 ) , (Y X 的相关系数,那么 1|=XY 的充要条件是 1=+=b aX Y P . 8、 XY 是随机变量 ) , (Y X 的相关系数, 当 0=XY 时, X 与 Y , 当 1|=XY 时, X 与 Y 几乎线性相关 .9、假设 4) (, 8) (=Y D X D ,且 Y X , 相互独立,那么 =-) 2(Y X D .10、假设 b a , 为常数

44、,那么 =+) (b aX D ) (2X D a .11、假设 Y X , 相互独立, 2) (, 0) (=Y E X E ,那么 =) (XY E33 12、假设随机变量 X 服从 2, 0上的均匀分布,那么 =) (X E .13、假设 4. 0, 36) (, 25) (=XY Y D X D ,那么 =) , cov(Y X , =+) (Y X D ,=-) (Y X D 14、 3) (=X E , 5) (=X D ,那么 =+2) 2(X E 15、假设随机变量 X 的概率密度为 =-000) (x x e x x ,那么 =) 2(X E ,=-) (2X e E二、计算

45、题1、五个零件中有 1个次品,进行不放回地检查,每次取 1个,直到查到次品为止。设 X 表示检查次数,求平均检查多少次能查到次品? 解 : X 的分布律为 : =) (X E 51(1+2+3+4+5)=3. 答:略2、某机携有导弹 3枚,各枚命中率为 p ,现该机向同一目标射击、击中为止,问平均射 击几次?解: 设 X 为射击次数,那么 X 的分布律为 : 33) 1(3) 1(2) (22+-=-+-+=p p p p p p X E答:略 34 3、 设 X 的密度函数为 =其它 0102) (x x x f ,求 ) (X E 、 ) (X D 解 : =+-10232d 2d ) (

46、) (x x x x xf X E =+-1032221d 2d ) () (x x x x f x X E 故 181) 32(21) () () (222=-=-=X E X E X D4、 (拉普拉斯分布 ) X 的密度函数为 ) (21) (|+-=-x e x f x ,求 . ) (X E 、 ) (X D 解 : 0d e 21 ) (=-+-x x X E x2e 2 e d 2d e 2e e d d e d e 21 ) (00002021222=-=-=+-=-=+-+-+-+-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x X E 故 2) ()

47、 () (22=-=X E X E X D5、 设连续型随机变量 X 的分布函数 -+-=1 , 111 , arcsin 1 , 0) (x x x b a x X F求 a 、 b 、 ) (X E 、 ) (X D .解 : X 为连续型随机变量, ) (x F 为连续函数 . 0), 1() 1(2=-=-b a F F 1), 1() 1(2=+=+b a F F 可解得 ; 2=a , =b .X 的概率密度-=其它, 01, 1) () (2x x x F x f 35 -+-=112d d ) () (x x x x x xf X E =0 -=-=-102211222d 2d ) () (x x x x xx X E X D 令 t x s i n =,那么 21d sin 2) (202=t t X D 6、一台设备由三大部件构成,运转中它们需调整的概率分别为 0.1、 0.2、 0.3, 假设它们的状态相 互独立,以 X 表示同时需调整的部件数,求 ) (X E 、 ) (X D解 : 设 i A 表示第 i 个部件需调整, i =1,2,3=不 发 生 , , 发生 i i i A A X 0 , 1 那么 321X X X X += 3, 2, 1