现代信号处理方法1_2

1、 第一章第一章 信号的时频分析信号的时频分析1.1 引言引言1.2 Hilbert变换与解析信号变换与解析信号1.3 时频分布及其性质时频分布及其性质1.4 二次型时频分布的交叉项二次型时频分布的交叉项1.5 Wigner-Ville分布及其应用分布及其应用1.3时频分布及其性质时频分布及其性质 1.3.1单分量信号与多分量信号单分量信号与多分量信号 单分量信号单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号个频率窄带的信号。 图图1.2.2单分量信号时频表示及其特征单分量信号时频表示及其特征 峰值就是峰值就是瞬时频率瞬时频率与瞬时频率对偶的物理量叫做与瞬

2、时频率对偶的物理量叫做群延迟群延迟，定义如，定义如下：下：)(arg21)(tzdtdtfi1( )arg( )2gdfZ fdf 多分量信号多分量信号是由两个（或多个）山峰构成是由两个（或多个）山峰构成, 每每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。带宽。 Fourier变换另一种形式变换另一种形式 1.3.2时频分布定义时频分布定义dtetsfSftj2)()(dfefStstfj2)()(2维维Fourier变换变换 21)(221212211),(),(dtdtettsffStftfj 21)(221212211),(),(dfdfeffStt

3、stftfjCohen类时频分布定义类时频分布定义 dudvdevuzuzftPvufvtj)(2*),()21()21(),(时频分布的作用：时频分布的作用：将时间变元将时间变元t的解析信号的解析信号 变换成时间变元变换成时间变元t和频率变元和频率变元f的函数的函数 。)(tz式中式中 称为称为核函数核函数。 ),(v),(ftp（1.3.1） 特别，当核函数特别，当核函数 时，注意到时，注意到 detztzftPfj2*)21()21(),(则（则（1.3.1)式式化为化为1),(v上式就是著名的上式就是著名的Wigner-Ville分布分布 .)()(2utdveutvjfjfjetzt

4、zduuteuzuz2*2*)21()21()()21()21(（1.3.2） 记记上式是一个双线性变换（双时间信号）。关于上式是一个双线性变换（双时间信号）。关于时间时间t作作Fourier反变换反变换 称为称为模糊函数模糊函数 。则（则（1.3.1)式可写成式可写成 )2()2(),(*tztztkzdtetztzvAtvjz2*)2()2(),(（1.3.3） ),(vAzdvdevvAftPfvtjz)(2),(),(),(（1.3.4） 对上式作对上式作2维维Fourier反变换有反变换有则有则有dtdfeftpvvAfvtjz)(2),(),(),( dueuzuzdtdfeftP

5、vAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(（1.3.5） 如果如果时频分布时频分布 有特定性质要求有特定性质要求, 由上式可决定对由上式可决定对核函数的性质要求核函数的性质要求. ),(ftp互时频分布定义互时频分布定义 两个连续信号两个连续信号 ， 的的互时频分布互时频分布定义为：定义为：式中式中是是 和和 的互模函数。的互模函数。 )(tx)(tx)(ty dudvdevuyuxftPvufvtjxy)(2*),()21()21(),( dvdevvAftvjxy)(2),(),(（1.3.6） dueuyuxvAvujxy2*)2

6、()2(),(（1.3.7） )(ty两个信号之和两个信号之和 的时频分布的时频分布为：为： 上式右端前两项为信号项上式右端前两项为信号项,后两项为交叉项后两项为交叉项. 可以由可以由(自自)时频分布与互时频分布的时频分布与互时频分布的定义推导出上式定义推导出上式,请学生自己完成上式的推导请学生自己完成上式的推导.)()()(2211tzctzctz), (), (), (|), (|), (122121,*12,*212221ftPccftPccftPcftPcftPzzzzzzz（1.3.8） 1.3.3时频分布的基本性质要求时频分布的基本性质要求对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，对

7、于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性。因此希望时频分布能够满足下面的性特性。因此希望时频分布能够满足下面的性质：质： 1.时频分布必须是实的（且希望是非负的）。时频分布必须是实的（且希望是非负的）。2.时频分布关于时间时频分布关于时间t和频率和频率f的积分应给出的积分应给出信信号的总能量号的总能量E，即，即 dtdfftPE),(3.满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时功率；如果把某一特定频率的能量

8、分布在全功率；如果把某一特定频率的能量分布在全部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因此，在理想情况下，时间和频率的联合密度此，在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足：应该满足： 2| )(|),(fZdtftP2| )(|),(tzdfftP4.时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟，即群延迟，即dfftPdfftfPtfi),(),()(dtftPdtfttPfg),(),()(5.有限支撑特性有限支撑特性 从能量角度对时频分布提出的一个基本性从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，往往要求信号具

9、有有限质。在信号处理中，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。如果信号只在某个时的时宽和有限的带宽。如果信号只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某个频率区间取非零值，则称信号及其频谱是个频率区间取非零值，则称信号及其频谱是有限支撑的，同样，如果在信号和其频谱的有限支撑的，同样，如果在信号和其频谱的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，总支撑区以外，信号的时频分布等于零，就称时频分布是有限支撑的就称时频分布是有限支撑的.),(21ttt0)(ts0),(tP),(210)(S0),(tP弱有限支撑弱有限支撑 当当 时时,若若 ,则有则有当当 时时,

10、若若 ,则有则有强有限支撑强有限支撑 若若 ,则有则有若若 ,则有则有0),(tP0),(tP0)(ts0)(S 在上面的特性中，边缘特性和非负特性保在上面的特性中，边缘特性和非负特性保证了时频分布准确反映信号的谱能量、瞬证了时频分布准确反映信号的谱能量、瞬时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽等）正确给定。非负性则可以进一步保证分等）正确给定。非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理解释。非布的条件期望是切合实际的和物理解释。非负性和边缘特性一起可以保证时频分布的负

11、性和边缘特性一起可以保证时频分布的强有限支撑。强有限支撑。 但应当指出，并不是所有的时频分布都但应当指出，并不是所有的时频分布都满足表中的所有性质，实际中适用的时频满足表中的所有性质，实际中适用的时频分布并非一定要满足所有的性质，应该根据分布并非一定要满足所有的性质，应该根据具体情况进行合理取舍具体情况进行合理取舍。 1.3.4核函数的基本性质要求核函数的基本性质要求 dueuzuzdtdfeftPvAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(由（由（1.3.5）式）式 由时频分布要求的性质由时频分布要求的性质,可得到核函数要求的可得到核函

12、数要求的性质性质.1、边缘特性：边缘特性：为使信号时频分布满足时间、为使信号时频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足频率边缘特性，核函数必须满足 时间边缘时间边缘: :频率边缘频率边缘: : 1), 0(v1)0 ,(t2、能量归一化：能量归一化：为使时频分布在不一定满为使时频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足满足1)0 , 0(3、实值性：实值性：为了使时频分布是实的，核函为了使时频分布是实的，核函数必须满足数必须满足 5 5、尺度不变性：尺度不变性：为使时频分布具有尺度不为使时频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即变性

13、，核必须是一个乘积核，即 ),(),(*vv4 4、时、频移不变性：时、频移不变性：为使时频分布具有时、为使时频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。不相关的。 )(),(vv6、有限支撑性：有限支撑性：为使时频分布满足有限支为使时频分布满足有限支撑性，核函数必须满足撑性，核函数必须满足弱有限支撑：弱有限支撑：强有限支撑强有限支撑 : 时，当|20),(tdvevjvt时，当|20),(vdevj时，当|20),(tdvevjvt时，当|20),(vdevj1.3.5局部相关函数与特征函数局部相关函数与特征函数 信号信号 的瞬时功率实

14、质是一种二次型（双线性）的瞬时功率实质是一种二次型（双线性）变换变换 在平稳信号中就用二次型来定义相关函数和功率在平稳信号中就用二次型来定义相关函数和功率谱，即谱，即)(tz)()(*tztzdttztzR)()()(*deRfSfj2)()(考虑到非平稳信号与平稳信号具有不同的特性，考虑到非平稳信号与平稳信号具有不同的特性，把上面的自相关函数把上面的自相关函数 定义成如下对称形式定义成如下对称形式)(RdttztzR)2()2()(*对称的双线性变换对称的双线性变换 更能表现出更能表现出非平稳信号的某些重要特性。非平稳信号的某些重要特性。)2()2(*tztz非平稳信号的非平稳信号的局部相关

15、函数局部相关函数定义如下：定义如下： （1.3.9） duuzuztutR)2()2(),(),(*式中式中 是起平滑作用的窗函数，它与核函数是起平滑作用的窗函数，它与核函数存在如下存在如下FourierFourier变换关系：变换关系： ),(tdtetvtvj2),(),(dvevttvj2),(),(对局部相关函数作对局部相关函数作Fourier变换，得到变换，得到时变时变功率谱功率谱，也就是信号能量的时频分布，也就是信号能量的时频分布，即即（1.3.10） 这表明，时频分布可以局部相关函数定义，只这表明，时频分布可以局部相关函数定义，只要取不同的局部相关函数形式，就能得到不同的要取不同

16、的局部相关函数形式，就能得到不同的时频分布。时频分布。 detRftPfj2),(),(若取窗函数若取窗函数 ，则得到则得到瞬时相关函数瞬时相关函数 （1.3.10） 它的它的FourierFourier变换就是著名的变换就是著名的WignerWigner-Ville-Ville分布分布 )(),(tutu)2()2()2()2()(), (), (*tztzduuzuztutktRzdetztzftWfjz 2*)2()2(),(（1.3.11） 若信号若信号 的时频分布为的时频分布为 ，随机信号的，随机信号的特征函数特征函数定义为定义为 的二维的二维FourierFourier逆变换逆变换 （1.3.12） 于是时频分布可以通过特征函数的二维于是时频分布可以通过特征函数的二维FourierFourier变换得到，即变换得到，即 )(tz),(ftp),(ftp dtdfeftPvMftvj)(2)