漫谈数学开放题

1、例谈数学开放题的解题思路 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题来说的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造水平，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供充足的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。 一、开放意识的形成 学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，所以，一个良好的社会人必需具备适合社会变化的水平。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习

2、的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。所以首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适合时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促动了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践水平。关于开放题当前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，加强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出现了开放题的“影子”，如1998年第（19）题:“关于函数f(x)=4Sin(2x+/3)(xR)，有下列命题:由f(x1)=f(x2)=0可

3、得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-/6):y=f(x)的图象关于点（-/6，0）对称；y=f(x)的图象关于直线x=-/6对称。其中准确的命题是（注:把你认为准确的命题的序号都填上）”显然高中代数上册第184页例4“作函数y=3Sin(2x+/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题 函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一

4、段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大注重，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。 二、开放问题的构建 有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面实行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素:“结构、关系、顺序”，我们能够为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式: 例1已知,并且求证（高中代数下册第12页例7）除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整

5、、重新组合，可获得如下思路:两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。 例2用实际例子说明所表示的意义给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。1.X表示时间（单位:s），y表示速度（单位:m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点

6、以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。 2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。 函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。    例3由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的

7、轨迹方程。（高中平面解析几何复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2=1） 问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。 对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。 如改变位置，将A写成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的轨迹方程为(x-a)2+(2y-b)2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+(y-b)2=

8、4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由。 简解：解方程组得 y=0 或y=2b/3 当y=0时，x2+b2=4， （1）若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点； （2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若 -2<b<2，圆与椭圆恰有二个公共点。 当y=2b/3时,x2+b2/9=4， （1）若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点； （2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若-6<b<6，圆与椭圆恰有二个公共点。 综上所述，圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4，当b&

9、lt;-6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-6<b<-2或b=0或2<b<6时恰有二个公共点；当b=±2时恰有三个公共点；当-2<b<0或0<b<2时恰有四个公共点。 上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。 再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y-b)2=4上的点到椭圆x2+(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其

10、推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。三开放问题的探索开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。例4已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如图）（1） 试尽可能地找出：（a） 点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；（b） 图中各线段的垂直关系.（2） 如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？分析与解（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1，y1；x2，y2；x0，y0之间至少