因式分解的9种方法

1、因式分解的多种方法-知识延伸,向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比拟常规、简单,必须掌握.常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2 _3x = 0解：x(2x-3)=0,x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程.总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个 (x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助.2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式.注意：使用公式法前,局部题目先提取公因式.例二：X2 -4分解因式分析：此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相

2、乘法是做竞赛题的根本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松.注意：它不难.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1 正好是一次项 b,那么可以直接写成结果例三：把2x2 -7x - 3分解因式.分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数分解二次项系数(只取正因数)：2 = 1X2 = 2X1 ；分解常数项：3=1 X 3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3).用画十字交叉

3、线方法表示以下四种情况：经过观察,第四种情况是正确的,这是由于交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.解原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式axA2+bx+c(a工0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1 , a2 , c1 , c2,排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2+a2c1 ,假设它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c仁b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2 之积,即ax2+bx+c

4、=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验,多做,多练.它可以包括前两者方法.4. 分组分解法也是比拟常规的方法.一般是把式子里的各个局部分开分解,再合起来,需要可持续性！2 2例四：x 4x y可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解：原式 =(x+2 ) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作根底,可见前面方法的重要性.5. 换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的根底上2例五：(x y) -2(x y) 1分解因式考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1 =(a-

5、1)A2,回代原式=(x+y-1 ) A26. 主元法这种方法要难一些,多练即可.即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例六：因式分解 I6y 2x2(y -1)2 8x2y x4(y -1)2分析：此题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了.原式=x4(y _1)2 2x2(y _1)2 8x2y 16y 主元法=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) 【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要.7. 双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多.是用来分解形如ax2 bxy cy2 dx e f的二次六项式在草稿纸上

6、, a = mn, c = pq, f = jk如果mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规那么.那么原式=(mx + py + j)( nx + qy + k)要诀：把缺少的一项当作系数为0, 0乘任何数得 0,2例七：ab + b + a b 2分解因式解：原式= 0X1 XaA2 + ab + 匕人2 + a b 2=(0 Xa + b + 1 )( a + b 2)=(b + 1 )( a + b 2 )8. 待定系数法将式子看成方程,将方程的解代入,这时就要用到“1 中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=

7、a时,该式分解后必有一个 (x-a)因式例八：x2 x2该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做,xA2+x-2=0一眼看出,该方程有一根为x=1,那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2 (由于乘-1要为-2)一次项系数必为1 (由于与1相乘要为1),所以另一因式为(x+2 ),分解为(x-1)(x+2)9. 列竖式让人拍案叫绝的方法.原理和小学的除法差不多.要建立在待定系数法的方程法上,缺乏的项要用0补除的时候,一定要让第一项抵消例九：3x3 5x22分解因式提示：x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)那么该式分解为(x+1) (3xA2+2x-2)因式分解有9种方法,这么多其实是不止的,还有很多很多.不过了解这些,初中的因式分解是不会有问题了. 考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习.322 222 33a b c -6a b c 9ab cxy + 6 2x 3y2 2(3a -b) _4(3a _b)(a 3b) 4(a 3b)(x + 2)(x 3) + (x+ 2)(x + 4)2 2 212x 2