第十四次文概率

1、29.两个离散变量的函数的分布两个离散变量的函数的分布（1）P49 2.24,Pij Pi Pj （2）1?P ( )P A(,)(,)(,)ijijijijx yAx yAP x yp12,30,1PPP 30.两个离散变量的函数的分布两个离散变量的函数的分布2()96 98 100 102 104,计算计算9 9种情形，合并整理得到种情形，合并整理得到：9829203019()(,)(,)PPP29203019() ()() ()PPPP0 3 0 40 5 0 30 27.若若 r .v X具有概率密度具有概率密度0 其其中中为常数为常数, 则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分

2、布指数分布.000( )xexf xx12E XD X（ ）， （ ）指数分布指数分布( )Xef(x)x000( )xexf xx( )Xe100,( ),xexF xP Xx 其其它它( )( )abP aXbF bF aee0, a b 1( )bP XbF be 1aP aXP Xae 正态分布的定义正态分布的定义 若若r.v X的的概率密度为概率密度为),(2NX记作记作 f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 00，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. .

3、 222E XD X（ ）， （ ）P92xexfx,)()(22221 21)(f当当x 时，时，f(x) 0, ,x = 故故f(x)以以为对称轴为对称轴，并在并在x=处达到最大处达到最大值值: : 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .xexfx,)()(22221 21)(f2E XD X（ ）， （ ）正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 标准正态分布标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .2

4、2012( ),xxex )(x xexfx,)()(22221 P93 一个服从正态分布的随机变量一个服从正态分布的随机变量X的线性的线性函数函数Y=aX+b仍然服从正态分布仍然服从正态分布。2( ,)XN XY, ,则则 N(0,1) 设设定理定理P94正态分布表正态分布表2201( )2 txxedt 表中给的是表中给的是x0的值的值. .当当x0时时P Xx0,1XN001( )()xx 0102P260 xx ),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP00()( )( )P aXbba 00()() ba一般正态分布的计算一般正态分布的计算：),

5、(2NY时，时，9974. 0)3|(|YP可以认为可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在33, 区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .正态分布的背景和应用正态分布的背景和应用Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.010.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN(170,62),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: :

6、设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .因为因为XN( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX 0170()6 h故故 P(X0.991706h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X0,2 或或 若若 越小，则事件越小，则事件|X-E(X)| 0，定理定理（贝努里大数定律贝努里大数定律）1|li

7、m pnSPnn或或0|lim pnSPnnP106伯努利伯努利 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法（数学基础）（数学基础）.0|lim pnSPnn任给任给0，1|lim pnSPnn频率频率事件事件A A的概率的概率？11nniiSXpnn 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数次数，p是事件是事件A

8、发生的概率发生的概率，则对任给的则对任给的 0，定理定理（贝努里大数定律贝努里大数定律）1|lim pnSPnn11lim |1 niniPnpX P106iXP10pp11(),()()iiE Xp D Xpp 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，独立同分布，具有有限的数学期望具有有限的数学期望E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦辛钦注：注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。11lim |1 niniPnpX 1(),()()iiE Xp

9、D XppP107 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径. . 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，1|1|lim1 niinXnP 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，独立同分布，具有有限的数学期望具有有限的数学期望E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnPP1071111lim |()|1 nni

10、iniiPXE Xnn 定理定理（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的0，P105 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. . 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,2 221| )(| XEXPninii

11、inXEnXnP111| )(11|lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，则对任意的则对任意的0，证明证明: :11nniiYXn 记记: :由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式：.)(1| )(|2nnnYDYEYP11()()nniiE YE Xn 2211()()nniinKKD YD Xnnn niniiinXEnXnP111| )(11|lim 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则niiXn11与其数学期望与其数学期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11随机随机的了，取值接近于其数学期望的概率近的了，取值接近于其数学期望的概率近似于似于1.即当即当n充分大时充分大时，差不多差不多不再是不再是切