第十四章静不定结构

1、1材材 料料 力力 学学南京航空航天大南京航空航天大学学 陶秋帆等陶秋帆等第十四章第十四章静静 不不 定定 结结 构构2。 简要复习简要复习 13. 8 计算莫尔积分的图乘计算莫尔积分的图乘法法杆件为等截面杆件为等截面直杆直杆。 图乘法的条图乘法的条件件 用图乘法计算莫尔积用图乘法计算莫尔积分分 ld xEIM (x)M (x)EI式中式中，为为M(x)弯矩图的面积；弯矩图的面积；M C 为为 M ( x) 图中与图中与 M ( x) 图的形图的形心心C对应对应 M C的纵坐标。的纵坐标。3用图乘法时，应注意：用图乘法时，应注意：1 当弯矩图有变化时，应分段图乘；当弯矩图有变化时，应分段图乘；

2、2 当当 EI 有变化时，应分段图乘；有变化时，应分段图乘；3 作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。作弯矩图时，可用叠加法，分别进行图乘。4第十四章第十四章静不定结构静不定结构 14. 1 静不定结构概述静不定结构概述1 静不定结构静不定结构 外力静不定外力静不定 内力静不内力静不定定 混合静不混合静不定定2 静不定次数的确定静不定次数的确定静不定次数静不定次数 = 未知力个数未知力个数 - - 独立平衡方程数独立平衡方程数(1) 外力静不定次数的确定外力静不定次数的确定 根据约束的性质及根据约束的性质及力系的类型来确定。力系的类型来确定。 新课新课5(2) 内力静不定次数的确定内力静不定次

3、数的确定。 平面桁架平面桁架未知力个数未知力个数 = 约束反力数约束反力数 + 杆件数杆件数 独立方独立方程数程数 = 节点数节点数 乘以乘以 2。 刚架刚架 对于闭口的平面刚架，为三次内力静对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；不定； 每增加一个闭合框架，就增加三次每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。静不定。63 静定基和相当系统静定基和相当系统。 静定静定基基(基本静定基本静定系系) 静不定系统在解除某些约静不定系统在解除某些约束后得到的静定系束后得到的静定系统统. 静定基不唯一。静定基不唯一。 相当系统相当系统 在静定基上作用外载荷和被解除约在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反束的

4、约束反力的系统。力的系统。 与静不定系统静力等效。与静不定系统静力等效。7 14. 2 用力法解静不定结用力法解静不定结构构1 力法与位移法力法与位移法 力力法法 位移位移法法2 力法解静不定力法解静不定 例子例子。 静不定次数静不定次数 1次次。 静定基静定基。 相当系统相当系统。 变形协调条件变形协调条件1 08。 位移的表示位移的表示1 1P 1 X 1。 1X1的表示的表示 在在B点点沿沿X1的方的方 向加单位向加单位力力11对线弹性结构，对线弹性结构，有有: X 1 111 X1。 代入变形协调条件，得代入变形协调条件，得到到:1P X 1 11 0 011 X 1 1P9。 代入变

5、形协调条件，得代入变形协调条件，得到到:1P X 1 11 0这就是求解一次静不定问题的这就是求解一次静不定问题的力法正则方程力法正则方程。 其中每一项的物理意义是其中每一项的物理意义是位移位移。1P 表表示示: 在在X1作用点沿作用点沿 X1方向方向由于由于外载荷外载荷作用而引起的位移。作用而引起的位移。注意：外载荷中不包括注意：外载荷中不包括 X1。 011 X 1 1P l1Pd xEIM1 (x)M (x)可用莫尔积分表示可用莫尔积分表示为为:10 011 X 1 1P1P 表表示示:在在 X1作用点沿作用点沿 X1方向方向 由于由于外载外载荷荷作用而引起的位移。作用而引起的位移。 注

6、意：注意：外载荷中不包括外载荷中不包括 X1。可用莫尔积分表示可用莫尔积分表示为为:1 1 表表示示: 在在X1作用点沿作用点沿X1方向由方向由 于于X1处的处的单位单位载荷载荷引起引起 的位移。的位移。 l1Pd xEIM1 (x)M (x)111 1 表表示示: 在在X1作用点沿作用点沿X1方向由方向由 于于X1处的处的单位载荷单位载荷引起引起的位移。的位移。 可用莫尔积分表示为：可用莫尔积分表示为：11 ld xEIM1 (x)M1 (x) 对本例对本例,3EIl 311 (3l a)6EIPa 21P(3l a)2l 3Pa 21由正则方程解出：由正则方程解出： X用莫尔积分法，或图乘

7、法可求出用莫尔积分法，或图乘法可求出123 N次力法正则方程次力法正则方程 先先以三次静不定问题为例以三次静不定问题为例相当系统相当系统 i 0(i 1, 2, 3)变形协调条变形协调条件件:13变形协调条变形协调条件件: i 0(i 1, 2, 3)1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P 0同理，对同理，对 N次静不定问题，有次静不定问题，有11 X1 12 X 2 1n X n1P 0 21 X1 22 X 2 2n X n 2 P 0 n1 X1 n 2 X 2

8、 nn X n nP 0d x14 21 X1 22 X 2 2n X n2 P n1 X1 n 2 X 2 nn X nnP 0 011 X1 12 X 2 1n X n1P 0同理，对同理，对 N次静不定问题，有次静不定问题，有其中的常数项其中的常数项 iP 表示：表示： 在在Xi作用点沿作用点沿Xi方向方向由于由于外载荷外载荷而引起的位移。而引起的位移。 liPM i (x)M (x)EI可用莫尔积分表示可用莫尔积分表示为为:15其中的常数项其中的常数项 iP 表示：表示： 在在Xi作用点沿作用点沿Xi方向方向由于由于外载荷外载荷而引起的位移。而引起的位移。 li PM i (x)M (

9、x)d xEI可用莫尔积分表示可用莫尔积分表示为为:其中的系数其中的系数 ij 表示：表示： 在在Xi作用点沿作用点沿Xi方向由于方向由于Xj处的处的单位载荷单位载荷引起的引起的位移。位移。ij可用莫尔积分表示为可用莫尔积分表示为： ij根据位移互等定理，有：根据位移互等定理，有： ij ji lM i (x)M j (x)d xEI 解静不定问题的一般步骤解静不定问题的一般步骤1) 判定静不定判定静不定次次数数；2) 选择选择静定基静定基，得到相当系统；，得到相当系统；3) 分解载荷分解载荷：分别分别将外载荷、各单位载荷作将外载荷、各单位载荷作 用在用在静定基静定基上；上；4) 画出各载荷下

10、的内画出各载荷下的内力力(弯弯矩矩)图或写出内力图或写出内力(弯弯矩矩)方程；方程；5) 用图乘法或莫尔积分等求用图乘法或莫尔积分等求出出iP 和和 ij ；6) 求解正则方程，解出未知力。求解正则方程，解出未知力。1617例例 1 (书例书例11.4)已已知知: q, a, EI为常数。为常数。求求： 静不定问题。静不定问题。 解解： 静不定次数静不定次数 3次次 静定基静定基 分解载荷分解载荷。 外载荷外载荷 相当系相当系统统。 单位载荷单位载荷18 分解载荷分解载荷。 单位载荷单位载荷 用图乘法用图乘法 求系数求系数。 外载荷的外载荷的弯矩图弯矩图。 外载荷外载荷2qa21MP19 用图

11、乘法求系数用图乘法求系数。 外载荷的弯矩图外载荷的弯矩图。 单位载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图1 qa22aM1M2aaMP20。 单位载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图aM1aM2a11M3。 计算常数项计算常数项 iP为为MP图图与与M1图图互乘互乘1P121 qa22MP2P 为为MP图图与与M2图图互乘互乘aM1a。 计算常数项计算常数项 iP1P 为为MP图图与与M1图图互乘互乘1 1 a 1 qa 2 ( a) qa1PEI326EI4221 qa22MPM21 1 a 1 qa 2 ( a) qa1PEI326EI41P 为为MP图图与与M1图图互乘互乘2P 为为MP图图与与M2图图互乘

12、互乘a1 1 a 1 qa 2 ( 3 a) qa2 PEI3248EI4231 qa22MP1 1 a 1 qa 2 ( 3 a) qa2 PEI3248EI42P 为为MP图图与与M2图图互乘互乘3P 为为MP图图与与M3图图互乘互乘11M31 1 a 1 qa 2 ( 1) qa3PEI326EI3241 qa22MP1 1 a 1 qa 2 ( 1) qa3PEI326EI33P 为为MP图图与与M3图图互乘互乘。 计算系数计算系数 ij11M31 1 为为M1图图与与M1图图自乘自乘25a1( 1 a a 2 a a a a)11EI233EI4a3M2。 计算系数计算系数 i ja

13、M1a1 1 为为M1图图与与M1图图自乘自乘1( 1 a a 2 a) 22EI233EIa326M2a1( 1 a a 2 a) 22EI233EIa311M31( a 1 1 a 11) 2a33EIEI3 3 为为M3图图与与M3图图自乘自乘27M2a1( a 1 1 a 11) 2a33 EI EI3 3 为为M3图图与与M3图图自乘自乘 1( a a 1 a) 1221EI22EIa31 2 为为M1图图与与M2图图互乘互乘aM1a28 1( a a 1 a) 1221EI22EIa31 2 为为M1图图与与M2图图互乘互乘aM1a22EI111( 1 a a 1 a a 1) 3

14、a3113EI 21 3 为为M1图图与与M3图图互乘互乘M32913 31EI22EI111( 1 a a 1 a a 1) 3a21 3 为为M1图图与与M3图图互乘互乘M3 1( 1 a a 1) 3223EI22EIa22 3 为为M2图图与与M3图图互乘互乘M2a301( 1 a a 1) 23 32EI22EIa22 3 为为M2图图与与M3图图互乘互乘 将求出的系数和常数代入正则方程，将求出的系数和常数代入正则方程，有有:28aX1 3aX 2 9 X 3 qaX qa , X 7qa ,X161612212aX1 8aX 2 12 X 3 3qa29aX1 3aX 2 12 X

15、 3 qa4823 qa31例例 2 (书例书例11.2)已已知知: P, a, 各杆各杆EA相同。相同。求求： 各杆内力。各杆内力。解解： 静不定次数静不定次数 1次次 静定基静定基 正则方正则方程程 相当系相当系统统1 11 X 1 1P这里这里，1的物理意义的物理意义是是4号号 杆切口处的杆切口处的相对位相对位移移。P1a5432a X16P615432所以应有所以应有：X 1 1P 01132这里这里，1的物理意义的物理意义是是4号号 杆切口处的相对位杆切口处的相对位移移。P615432X1 正则方正则方程程1 X 1 1P11所以应有所以应有： 分解载荷分解载荷。 外载外载荷荷作用时

16、的内力作用时的内力X 01111PP615432N1 P,N3 0,N2 P, N4 0,N6 0N52P,33。 外载荷作用时的内力外载荷作用时的内力N1 P,N3 0,N2 P, N4 0,N6 0N52P,。 单位载荷作用时的内力单位载荷作用时的内力N1 1,N2 1,N3 1,N4 1,N5 2,N6 26154 432P61543221X11 i16iNi NiliPEA 计计算算1P341 i16iNi NiliPEA 计计算算 1PEA2)Pa2(1 611 i1Ni NiliEAi 计计算算 11EA4(12)a 代入正则方程，解代入正则方程，解得得:11X 1P12 P 由叠

17、加原理，各杆的内由叠加原理，各杆的内力力:Ni Ni X1 NiP35例例 3 (书例书例11.3)已已知知: 四分之一圆曲四分之一圆曲 杆，杆，P, a , EI为常数。为常数。 求求： 弯矩图。弯矩图。解解： 静不定次数静不定次数 1次次 静定基静定基 相当系相当系统统 正则方程正则方程 对曲杆，不能用图乘对曲杆，不能用图乘 法，用法，用莫尔积分莫尔积分求。求。 分解载荷分解载荷 011 X 1 1PPABa4545ABX4545P136 分解载荷分解载荷。 外载荷外载荷BC段段 CA段段M 0(0 / 4)M Pa sin( / 4)( / 4 / 2)。 单位载荷的弯矩方程单位载荷的弯

18、矩方程M a sin ABPC(0 / 2)AB1C。 单位载荷单位载荷。 外载荷的弯矩方程外载荷的弯矩方程37 单位载荷的弯矩方程单位载荷的弯矩方程M a sin AC(0 / 2) 用莫尔积分求用莫尔积分求 1PB1 S1Pd sEIM (x)M (x)Pa sin( / 4) ( a sin ) a d EI / 4 / 218 2EIPa3 d s ( a sin )a d EI038 用莫尔积分求用莫尔积分求 1P S1Pd sEIM (x)M (x)Pa sin( / 4) ( a sin ) a d EI / 4 / 218 2EI 用莫尔积分求用莫尔积分求 11Pa3 11 S

19、EIM (x)M (x) / 22139 用莫尔积分求用莫尔积分求 1111 Sd s ( a sin )a d EI0EIM (x)M (x) / 2214EI a3 代入正则方程，代入正则方程，得得:2 21PX X1 4EI8 a3 02EIPa3 由叠加原理，可得到弯矩方由叠加原理，可得到弯矩方程程40 代入正则方程，代入正则方程，得得:2 21PX X1 4EI8 a3 02EIPa3 由叠加原理，可得到弯矩方由叠加原理，可得到弯矩方程程BC段段(0 / 4)M X1M sin 2 2PaCA段段M M P X1M Pa sin( / 4) Pasin 2 2( / 4 / 2) 1

20、4. 3 对称及反对称性质的利对称及反对称性质的利用用1 对称结构的对称变形和反对称变形对称结构的对称变形和反对称变形 对称结构对称结构 若结构的几何尺寸、形若结构的几何尺寸、形 状，构件状，构件材料及约束条材料及约束条件均对称于某一轴，则件均对称于某一轴，则 称此结构为称此结构为对称结构对称结构。 对称载荷对称载荷 若载荷的作用位置，大小和方向也若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构对称于结构 的对称轴，则称为的对称轴，则称为对称载荷对称载荷。4142 对称载荷对称载荷 若载荷的作用位置，若载荷的作用位置，大小和大小和方向也对称于结构的对称轴，方向也对称于结构的对称轴， 则称为则称为对称载

21、荷对称载荷。 反对称载荷反对称载荷 若载荷的作用位若载荷的作用位置，大小对置，大小对 称于结构的对称称于结构的对称轴，但方向轴，但方向反对称，则称为反对称，则称为反对称载荷反对称载荷。 对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 对称变形对称变形43 对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 对称变形对称变形 对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 反对称变形反对称变形2 对称结构受对称结构受对称载荷对称载荷时的特点时的特点 结论：结论：对称结构受对称载荷作用时，对称结构受对称载荷作用时， 在对称截面上，在对称截面上，反对称反对称内力内力（剪力）为零。（剪力）为零。

22、证明：证明： 从对称截面截开。从对称截面截开。44证明：证明： 从对称截面截开。从对称截面截开。 即要证明，即要证明，X3 = 0 由正则由正则方程方程 0 0 011 X1 12 X 2 13 X 3 1P 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 用图乘法可证明用图乘法可证明 3P， 31和和 32 均为零。均为零。45 用图乘法可证明用图乘法可证明 3P， 31和和 32 均为零。均为零。 画出弯矩图。画出弯矩图。由由MP和和M3图图 03P由由M1和和M3图图 31 0由由M2和和M3图图 32 0 33 0X 3 0又又 所以所以4

23、63 对称结构受对称结构受反对称反对称载荷时的特点载荷时的特点 结论：结论：对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面 上，上， 对称内力对称内力（弯（弯矩和轴力）为零。矩和轴力）为零。注意注意： 上述结论只对上述结论只对对称截面对称截面处成立，对其它截面不处成立，对其它截面不 成立。成立。474 可转化为对称载荷或可转化为对称载荷或反对称反对称载荷的情况载荷的情况+4N8例例 1 (书例书例14.5)已已知知: 等截面圆环，等截面圆环，P, a , EI为常数。为常数。求求： 直径直径AB的长度变化。的长度变化。解解： 静不定次数静不定次数 3次次 因为结构

24、和载荷关因为结构和载荷关于于CD对对称称 所以所以在在C、D截面上，截面上， 反反对称内力对称内力 剪力剪力 Q=0。 又因为结构和载荷又因为结构和载荷PPADCBaN0M0M00PACD关于关于AB对称对称 所以所以，C、D截面上的截面上的 内力也关内力也关于于AB对称。对称。49N0M0M0N0PACD 又因为结构和载荷又因为结构和载荷 关于关于AB对称对称 所以所以，C、D截面上的截面上的 内力也关内力也关于于AB对称。对称。由由 Y 0N02PC、D截面上的内力相等。截面上的内力相等。 由半圆环关于由半圆环关于AB的对称的对称性性 可取四分之一圆环研可取四分之一圆环研究。究。M0N0D

25、A50 由半圆环关于由半圆环关于AB的对称的对称性性 可取四分之一圆环研可取四分之一圆环研究。究。这样，就简化为一次静不这样，就简化为一次静不 定问题。定问题。M0N0DAPPADCBa 对整体，由变形的对称性可知对整体，由变形的对称性可知， A、B、C、D截面的转角为零。截面的转角为零。 所以对四分之一圆环所以对四分之一圆环AD， 可将可将A处看作受固定端约束。处看作受固定端约束。而而将将D截面转角为零作为截面转角为零作为变变 形协调条件。形协调条件。51这样，就简化为一次这样，就简化为一次 静不定问题。静不定问题。 记未记未知约束力知约束力偶偶M0为为 X1， N0 用用 P/2 代替。代

26、替。 求解静不定问题求解静不定问题。 正则方程正则方程X1DA2P 011 X 1 1P。 载荷分解载荷分解。 外载荷的弯矩方程外载荷的弯矩方程M Pa (1 cos )2PDA2P1DAM0N0DA52。 载荷分解载荷分解。 外载荷的弯矩方程外载荷的弯矩方程M Pa (1 cos )2PDA2P1DA。 单位载荷的弯矩方程单位载荷的弯矩方程 M 1。 用莫尔积分求用莫尔积分求 1PSM M Pd s1PEIEI0(1 cos) ( 1) a d ( 1)22EI 2 / 2 Pa1Pa353。 用莫尔积分求用莫尔积分求 1PSM M Pd s1PEIEI0(1 cos) ( 1) a d ( 1)22EI 2 / 2 Pa1Pa2。 用莫尔积分求用莫尔积分求 11SM M d s 1EI11EI 0 / 2 a( 1)2 a d 2EI。 代入正则方程，解代入正则方程，解得得:X